8.1.2 用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第8章 函数应用 8.1.2 用二分法求方程的近似解 【课标要求】 1.了解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法求函数零点的步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 二分法概念 二分法：对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 名师点睛 二分法的求解原理是函数零点存在定理. 4 知识点2. 二分法求方程近似解的步骤 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】二分法概念的理解 例1 已知函数 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( ) D A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 [解析] 图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D. 7 规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合. 8 跟踪训练1 通过下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( ) C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 在A中，函数无零点；在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符 号相同，因此它们都不能用二分法来求零点；而在C中，函数图象是连续不断的，且 图象与 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法 求其零点. 9 【题型二】用二分法求函数的零点 例2（1） 已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个 零点的初始区间可以为( ) C A. B. C. D. [解析] 函数 为连续函数且定义域为 ， ， ， ， ， 所以根据函数零点存在性定理，可得其零点的初始区间为 .故选C. 10 （2）求函数 的负零点的近似值（精确到 ）. 解 由于 , ,故函数 的零点在区间 内.用二分法逐次计算,列表如下: 11 区间 中点的值 中点函数值（近似值） 1.25 由于 与 精确到0.1的近似值为 ,所以函数的一个近似负零 点可取 . 12 题后反思 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间 （一般采用估计值的方法完成）. （2）取区间端点的平均数 ，计算 ，确定有解区间是 还是 ，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 13 跟踪训练2 [2023天津测试] 已知函数 的图象是条连续不断的曲线，有如下对 应值，则下列说法正确的是( ) 1 2 3 4 5 6 123.56 21.45 11.45 B A.函数 在区间 上有3个零点 B.函数 在区间 上至少有3个零点 C.函数 在区间 上至多有3个零点 D.函数 在区间 上无零点 14 [解析] 由表可知 ， ， .由函数零点存在定理，知函数 在区间 ， ， 上分别至少存在1个零点，所以函数 在区间 上至少有3个零点.虽然 ，但函数 在 上也有可能存在零点.故选B. 15 【题型三】用二分法求方程的近似解 例3 [2023宿迁月考] 用二分法求方程 在 内的近似解时，记 ，若 ， ， ， ，据此判 断，方程的根应落在区间( ) B A. B. C. D. 16 [解析] 因为 与 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 因为 ， ， 所以 在 上有唯一零点 ， 即 ，故 ， 所以方程的根落在区间 上，且为 ， 对于 ，易知选项中的区间与 没有交集，故 不在 选项中的区间 上，故 错误； 对于B，显然满足题意，故B正确.故选B. 17 题后反思 利用二分法求方程的近似解的步骤 （1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间 ， . （2）利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间 . （3）区间 内满足要求的唯一近似值就是方程的解. 18 跟踪训练3（1） [2023南通测试] 若函数 在区间 内的一个零 点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 0.875 那么方程 的一个近似根（精确度为 ）可以为( ) B A.1.3 B.1.32 C. D.1.25 [解析] 由 ， ，且 ， 所以方程 的一个近似根在 内， 结合选项，由 ，故 错误，B 正确.故选B. 19 （2）[2023杭州期末] 用二分法判断方程 在区间 内的根（精确 度 ）可以是( ) （参考数据： ， ） B A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25 [解析] 设 ， 所以 ， ， 因为 ，且 在 上单调递增， 所以 在 内有零点， 因为 ， 所以 在 内有零点， 所以方程 的根可以是0.635.故选B. 20 成果验收•课堂达标检测 21 A层 基础达标练 1.下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) A A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即图象穿过 轴，由图象可得，B、C、D能满足此条件，A不满足.故选A. 22 2.已知函数 的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示： 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875 4.00 0.86 0.18 则方程 的近似解可取为（精确度 ）( ) B A.1.50 B.1.66 C.1.70 D.1.75 [解析] 由表格可得，当函数 的零点在区间 时， 满足精确度为0.01；结合选项可知，方程 的近似解（精确度为 ） 可以是1.66.故选B. 23 3.用二分法求函数 在区间 上的唯一零点的近似值时,验证 , 取区间 的中点 ,计算得 ,则此时零点 所在的区间是 ( ) B A. , B. C. D.无法确定 [解析] 因为 , , 所以 ,所以 .故选B. 24 4.（多选题）下列函数零点能用二分法求解的是( ) ABD A. B. C. D. 25 5.用二分法求方程 在区间 上的实数根时，取中点 ，则下 一个有根区间是_ _____. <m></m> [解析] 设函数 ，因为 ， ， ，所以下一个有根区间是 . 26 6.求方程 的一个近似解（精确到 ）. 27 解 设 .因为 ， ，所以可以确定区间 作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下： 端点（中点） 端点或中点的函数值 ， 因为2.375与 精确到0.1的近似值都为 ，从而方程 的一个近似解 为2.4. 28 B层 能力提升练 7.[2023宿迁月考] 用二分法求方程 在 内的近似解时，记 ，若 ， ， ， ，据此判 断，方程的根应落在区间( ) B A. B. C. D. 29 8.下列函数不能用二分法求零点的是( ) C A. B. C. D. [解析] 二分法的主要原理是零点存在定理， 即 ， 而C选项 ，故不能用二分法来求零点. A,B,D三个选项都可以用二分法来求零点. 故选C. 30 9.[2023徐州期末] 用二分法求函数 在区间 上的零点，要 求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] 闭区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过 次操作后，区间长度变为 ， 因为用二分法求函数 在区间 上近似解，要求精确度为 ， 所以 ，解得 ， ，故选B. 31 10.（多选题）下列说法正确的有( ) BCD A.函数 的零点是 , B.方程 有两个解 C.函数 , 的图象关于直线 对称 D.用二分法求方程 在 内的近似解的过程中得到 , ， ，则方程的根落在区间 上 32 11.用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则其中一个零点所在的区间为_ ______，第二次应计算的函数值为_______． <m></m> <m></m> [解析] 因为 ，所以其中一个零点所在的区间为 ，第二次应该计算区间中点的函数值，即 . 33 12.在用二分法求函数 的一个正实数零点时，经计算， ， ， ，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为____． 0.7 [解析] 已知 ， ，则函数 的零点的初始区间为 ， 又 ，且 ， 所以零点在区间 上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0. 7.因此， 就是所求函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值. 34 13.函数 有零点，但不能用二分法求出，则 ， 的关系是_______ ___． <m></m> [解析] 因为函数 有零点，但不能用二分法求出， 所以函数 的图象的顶点在 轴上， 所以 ，所以 . 35 14.用二分法求函数 在区间 内的零点的近似值 （精确到 ）. 解 , ，故函数 的零点在区间 内. 用二分法逐步计算，列表如下： 中点的值 中点的函数值 区间 因为 和 精确到0.1的近似数都是 ,因此可取 为所求函数在区 间 内的零点的近似值. 36 C层 拓展探究练 15. 表示不超过 的最大整数，例如 ， .已知 是方程 的根，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 令 . 当 时， ， 当 时， ；即 ，所以 在 上有零点或者方程 有根.所以 ，故选C. 37 16.已知函数 满足：对任意的 ， ，都有 ，且 .在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为 ， , ，又 ，则函数 的零点为( ) C A. B. C. D. 38 $$