7.1.2 弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.1.2 弧度制 【课标要求】 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的 为1度的角，记作 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作 4 知识点2. 弧度数的计算与互化 1.弧度数 （1）正角：正角的弧度数是正数. （2）负角：负角的弧度数是负数. （3）零角：零角的弧度数是0. 2.弧度数的计算 如果半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，那么，角 的弧度数的绝对值是 . 5 3.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 6 名师点睛 1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“ ”可以略去不写，只写这个角对应 的弧度数即可，如角 可写成 .而用角度为单位表示角的大小时， “度”或“ ”不可以省略. 2.（1）度数 弧度数，（2）弧度数 度数. 7 知识点3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为 ,弧长为 , 为其圆心角,则 度量制 为度数 为弧度数 扇形的弧长 扇形的面积 名师点睛 两者相比较，弧度制下的扇形的弧长公式和面积公式具有更为简单的形式，其记忆和应用更易操作，如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免计算过程或结果出错. 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】角度与弧度的互化 例1 将下列角度数化为弧度数,弧度数化为角度数. （1） ; 解 . （2） ; . （3） ; 解 . （4） . 解 . 10 规律方法 “ 弧度”是进行“弧度数”与“角度数”换算的关键,在此基础上可得 ， . 11 跟踪训练1（1） 写出表中各角的度数或者弧度数. 角的度数 _ ___ _ ____ _ ____ 角的弧度数 ___ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ <m></m> <m></m> <m></m> 0 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> （2）已知 , , , , ,试比较 , , , , 的大小. 解 , , 因为 , 所以 . 12 【题型二】用弧度制表示角的集合 角度1 用弧度制表示终边相同的角、象限角 例2 将下列各角化为 的形式，并判断其是第几象限角. （1） ; 解 ，是第一象限角. （2） ; 解 ，是第一象限角. （3） . 解 ，是第四象限角. 13 规律方法 本题应先将度数化为弧度数，然后再化为 的形式，最后根据象限角的概念判断其是第几象限角. 14 跟踪训练2 （多选题）[2023扬州月考] 下列给出的各角中，与 终边相同的角有 ( ) ABD A. B. C. D. [解析] 与 终边相同的角的集合为 , , 当 ， ， 时，可得 正确，故选 . 15 角度2 用弧度制表示区域角 例3 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 轴的正 半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边 界，如图）. 解 （1）以 为终边的角为 ，以 为终边的角为 ，所以阴影部 分（不包括边界）内的角的集合为 , . （2）终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集 合为 , . 16 规律方法 1.用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一. 2.在表示角的集合时，可以先写出 内的一个角（或写出 内的一个角），再加上 ， . 17 跟踪训练3 已知集合 , ，则角 的终边落在阴影处 （包括边界）的区域是( ) B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 当 时，该集合表示 内所有的角，为 表示的区域，由终边相 同的角的集合知，集合 , 终边落在阴影处（包括边界） 的区域是B.故选B. 18 【题型三】弧度制下扇形的弧长与面积公式 例4（1） 已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的弧长为( ) C A. B. C. D. [解析] 因为圆心角为 ，设扇形的弧长为 ，半径为 ,则 ， 因为扇形的周长是12，所以 ，解得 ，所以此扇形的弧长 .故选C. 19 （2）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为( ) A A. B. C. D. [解析] 设扇形的半径为 ， 因为扇形的周长为 ，圆心角为 ，所以 ，解得 ， 所以此扇形的面积 ，故选A. 20 题后反思 一般地，在几何图形中研究的角，其范围是 .利用 ， ， ， 四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意： （1）看清角的度量制，选用相应的公式; （2）扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题. 21 跟踪训练4（1） [2023宿迁月考] 已知某扇形的面积为 ，若该扇形的半径 、 弧长 满足 ，则该扇形圆心角大小的弧度数是( ) D A. B.5 C. D. 或5 [解析] 由题意可得 解得 ，或 可得 或5.故选D. 22 （2）已知一个扇形的周长为8,则当该扇形的面积取得最大值时,圆心角大小为( ) D A. B. C. D.2 [解析] 设扇形弧长为 ，半径为 ， 则 ,扇形面积 ,当且仅当 时等号成立， 即 时面积 取最大值，此时扇形的圆心角 .故选D. 23 成果验收•课堂达标检测 24 A层 基础达标练 1. 化为弧度数为( ) A A. B. C. D. [解析] 根据 ，得 .故选A. 25 2.与 角终边相同的角的集合是( ) D A. ， B. ， } C. ， } D. ， [解析] 与 角终边相同的角表示为 ， ，化为弧度为 ， .故选D. 26 3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) C A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] 设扇形所在圆的半径为 ，则 ，所以 ，所以 .所以扇形的弧长为 ，故扇形的周长为 .故选C. 27 4.（多选题）[2023淮安测试] 下列说法正确的是( ) AB A. B.1弧度的角比 的角大 C.用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D.扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4 28 [解析] 对于 ， ，故A正确； 对于B，根据弧度制与角度制的互化，可得 ，故选项B正确； 对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项C错误； 对于D，由题意得 解得 或 ， 当 时， ， ， 当 时， ， ，故D错误．故选 . 29 5.如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角 的集合为 _ _______________________________. <m></m> [解析] 由题图知，终边落在射线 上的角为 ， 终边落在射线 上的角为 ，所以终边落在 题图中阴影部分的角 的集合为 ， . 30 6.[2023盐城测试] 已知一扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 . （1）若 ， ，求扇形的弧长 及该弧所在的弓形的面积 ； 解 由题意知， ， . 31 （2）若扇形的周长为定值 ，求该扇形的面积的最大值，并指出此时 的值． 解 扇形周长 ， 所以 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时，扇形面积有最大值 . 32 B层 能力提升练 7.下列角中与 终边相同的角是( ) D A. B. C. D. [解析] 因为 ， 所以与角 终边相同的角的集合为 ， . 取 ，得 ， 所以与角 终边相同的角是 . 故选D. 33 8.集合 ， 中的角所表示的范围（阴影部分）是( ) C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 当 ， 时， ， ；当 ， 时， ， .故选C. 34 9.小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了1小时，他需要将时钟的时针旋转( ) B A. B. C. D. [解析] 因为时钟经过12小时转了 ， 所以时钟经过1小时转了 ， 即需要将时钟的时针旋转 .故选B. 35 10.（多选题）下列转化结果正确的是( ) AB A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 [解析] 对于A， ,故A正确; 对于B，因为 ，所以 ，故B正确; 对于C， ，故C错误; 对于D，因为 , 所以 ，故D错误.故选 . 36 11.（多选题）在一块顶角为 ，腰长为2的等腰三角形钢板废料 中裁剪扇形， 现有如图所示两种方案，则( ) AD A.方案一中扇形的周长更长 B.方案一和方案二中扇形的周长相等 C.方案二中扇形的面积更大 D.方案一和方案二中扇形的面积相等 37 [解析] 因为 为顶角为 ，腰长为2的等腰三角形， 所以 ， ， . 方案一中扇形的周长为 ， 方案二中扇形的周长为 ， 方案一中扇形的面积为 ， 方案二中扇形的面积为 .故选 . 38 12.若角 ， 的终边关于直线 对称，且 ，则在 内满足要求的 _ ______. <m></m> ， <m></m> [解析] 由角 ， 的终边关于直线 对称及 ，可得 .当 时， ；当 时， . 39 13.《乐府诗集》辑有晋诗一组,属清商曲辞吴声歌曲,标题为《子夜四时 歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰:叠扇放床上,企想远风来. 轻袖佛华妆,窈窕登高台.诗里的叠扇,就是折扇.一般情况下,折扇可看作 <m></m> [解析] 因为 与 所在扇形的圆心角分别为 , ，所以 .由 ,得 ,所以 . 是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为 ,其圆心角为 ,圆面中 剩余部分的面积为 ,当 与 的比值为 时,扇面为 “美观扇面”.若扇面为“美观扇 面”,扇形的半径 ,则此时的扇形面积为_____________. 40 14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 41 （1）当圆心角 为 ，矢为2时,求弧田（如图阴影部分所示）的面积； 解 设扇形的半径为 .如图，由题意知 , ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以弧田面积 ， 而 ， 所以 . 42 （2）如图已知该扇形圆心角 是 ，半径为 ，若该扇形周长是一定值 ，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？ 解 由题意知 的长为 ，则该扇形周长 ，所以 . 扇形面积 ，当且仅当 时等号成立. 即当 时，该扇形面积最大. 43 C层 拓展探究练 15.（多选题）在扇形 中， , ， 为弧 上一动点， .若扇形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，则下列结 论正确的是( ) ACD A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 44 16.单位圆上有两个动点 ， ，它们同时从点 出发，沿圆周运动，点 按逆 时针方向每秒旋转 弧度，点 按顺时针方向每秒旋转 弧度. （1）点 ， 首次在点 相遇需要多长时间？ 解 设从点 出发， 秒后点 ， 首次在点 相遇.设此时是点 ， 的 第 次相遇，则 ，即 .① 又由点 沿圆周运动到点 处，得 ， 即 .② 由①②得 ，则当 ， 时，点 ， 首次在点 相遇，所需要的时 间为12秒. 45 （2）在1分钟内，点 ， 在第二象限内相遇的次数为多少？ 解 设第 次相遇时所需的时间为 秒，则 ，即 .由 得， ，③ 又由点 在第二象限，知 ，消去 得 .④ 由③④知，当 ，1，2，3，4时， ，4，7，10，13，即在1分钟内，点 ， 在第二象限内共相遇5次. 46 $$