7.2.1 任意角的三角函数（第1课时 任意角的三角函数）课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.2.1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数 【课标要求】 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值. 2.熟记特殊角的三角函数值. 3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 任意角的三角函数的定义 条件 如图， 为任意角，它的终边上异于原点的任一点 与原点 的距离 ，此时点 是角 的终边与半径为___的圆的 交点 定义 正弦 比值 叫作 的正弦，记作 余弦 比值 叫作 的余弦，记作 正切 比值 叫作 的正切，记作 三角函数 正弦函数 ， 余弦函数 ， 正切函数 ， ， <m></m> 4 名师点睛 在任意角的三角函数的定义中，应该明确： 是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. 5 知识点2. 三角函数值在各象限的符号 正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示. 6 名师点睛 正弦函数值的符号取决于纵坐标 的符号，它在 轴上方为正，下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标 的符号，在 轴右侧为正，左侧为负;正切函数值的符号取决于横、纵坐标符号，同号为正，异号为负. 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】利用角 的终边上任意一点的坐标求三角函数值 例1（1） 已知角 的终边经过点 ，则 的值为( ) B A.11 B.10 C.12 D.13 [解析] 因为角 的终边经过点 ， 则 ， ， 所以 ，故选B. 9 （2）（多选题）[2023盐城测试] 角 的终边上有一点 ，则 ( ) CD A. B. C. D. 10 [解析] . 当 时， ， ， ， . 当 时， ， ， ， .故选 . 11 规律方法 由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： （1） （2）当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的 辨别，若正、负未定，则需分类讨论. 12 跟踪训练1（1） 已知角 的终边经过点 ，且 ， ， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 因为 ， ， 所以 的终边在第二象限或 轴非负半轴.则 解得 .故选A. 13 （2）已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 ____. <m></m> [解析] 因为 的终边与单位圆的交点为 ， 所以 ，即 . 又 ，所以 . 所以 ， ， 故 . 14 【题型二】求特殊角的三角函数值 例2 利用定义求 的正弦、余弦和正切值. 解 如图所示， 的终边与单位圆的交点为 ，过点 作 轴于点 ，在 中， ， ，则 ， ，则 . 所以 ， ， . 15 规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值. 16 跟踪训练2 对于表中的角 ，计算 ， ， 的值，并填写下表. 0 0 _ __ 1 _ __ ___ ___ _ __ _ _ ___ _ ___ _ ____ _ ___ ___ _ __ _ ___ 不存在 _ ____ _ ____ 0 _ ___ _ ___ 0 _ ____ _ ___ ___ _ _ _ __ ___ _ __ _ ___ 不存在 _ ____ _ ____ ___ <m></m> <m></m> 0 1 <m></m> <m></m> 0 <m></m> <m></m> <m></m> 0 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 0 <m></m> <m></m> 1 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 0 17 【题型三】三角函数值在各象限的符号 例3（1） [2023连云港测试] 给出下列函数值： ; ; ， 其中符号为负的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 因为 ， ， ，则 ，所以其中符号为负的个数为1.故选B. 18 （2）[2023徐州月考] 若 ，且 ，则角 是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析] 由 知 与 异号，所以 的终边在第二或第三象限. 由 知 与 异号，所以 的终边在第三或第四象限. 综上可知， 的终边在第三象限，即 为第三象限角.故选C. 19 规律方法 正弦、余弦函数值的正负规律 20 跟踪训练3（1） 已知点 是第三象限的点，则 的终边位于( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为点 在第三象限， 所以 ，所以 的终边位于第四象限.故选D. 21 （2）三个数 , , 中，值为 负数的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 因为 ， ， ，所以 ； 因为 ， ， ，所以 ， 因为 ， ， ，所以 ， 故 、 ， 中，值为负 数的个数有1个.故选B. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.已知角 终边上一点 的坐标为 ，则 的值为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ， ，所以 ，故 .故 选B. 24 2.已知角 的终边经过点 ，且 ，则 ( ) B A.8 B. C.4 D. [解析] 因为角 的终边经过点 ，且 ，所以 ， 解得 .故选B. 25 3. 的值( ) A A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 [解析] 因为 ， 所以 ， ， ，所以 .故选A. 26 4.（多选题）若 ，则 的终边可能在( ) BD A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 若 ，则可能为 且 ，此时 的终边落在第二象限．或者 且 ，此时 的终边落在第四象限．故选 . 27 5.已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为_ __. <m></m> [解析] 角 的终边经过点 ，则 .又 ，则 ，解 得 .因为 ，所以 ，则 . 28 6.已知角 的终边上一点 ， ，且 ，求 的值. 解 由 ，得 ，所以 . 当 时， ; 当 时， . 29 B层 能力提升练 7.已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为( ) D A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边过点 ，所以 .因为 ， 解得 ，则 ，所以 .故选D. 30 8.若角 的终边经过点 ，则( ) C A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边经过点 ，所以由三角函数的定义可知， ，符号不确定，故A，B圴错误； ，故C正确，D错 误.故选C. 31 9.若 为第一象限角，则 ， ， ， 中必取正值的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [解析] 因为 为第一象限角，所以 ， ，所以 ， ,所以 为第一象限角或第二象限角或终边在 轴正半轴上的角，所以 一定成立， 的正负不确定.又 ， ，所以 为第一象限角或第三象限角，所以 ， 不一定为正值.故选B. 32 10.（多选题）以下式子中符号为正号的有( ) ACD A. B. C. D. 33 11.（多选题）下列四个选项，正确的有( ) ABD A. 在第三象限，则 是第二象限角 B.已知扇形 的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 C.若角 的终边经过点 ，则 D. 34 12.如果点 位于第四象限，那么角 的终边所在的象限是第____象限. 二 [解析] 因为点 位于第四象限，所以 ， ，可得 ， ，所以角 是第二象限角. 35 13.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，若 是角 终边上一点， 且 ，则 ____. <m></m> [解析] 设坐标原点为 ，则有 . 根据任意角三角函数的定义，得 ， 解得 . 36 14.已知角 的终边上一点 的坐标是 ，其中 ，求 ， ， 的值． 解 令 ， ，其中 ， 则 ， ①当 时， ， ， ， ； ②当 时， ， ， ， . 37 C层 拓展探究练 15.在平面直角坐标系 中， 是角 终边上一点， 与原点 之间 距离为 ，比值 叫作角 的正割，记作 ；比值 叫作角 的余割，记作 ；比值 叫作角 的余切，记作 .四名同学计算同一个角 的不同三角 函数值如下：甲： ；乙： ；丙： ；丁： . 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 38 16.已知 ，且 有意义. （1）试判断角 的终边所在的象限； 解 由 ，可知 .由 有意义，可知 ，所以角 的终边在第四象限. 39 （2）若角 的终边上一点 ，且 为坐标原点 ，求 的值及 的值. 解 因为 ，所以 ， 解得 . 又 是第四象限角，故 ，从而 . 由正弦函数的定义可知 . 40 $$