7.2.1 任意角的三角函数（第2课时 三角函数线）课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.2.1 任意角的三角函数 第2课时 三角函数线 【课标要求】 1.借助单位圆了解三角函数线的意义. 2.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 单位圆和有向线段 （1）取 ,即选取角 终边与单位圆（圆心在原点、半径等于单位长度的圆） 的交点为 ,则 , . （2）规定了方向（即规定了起点和终点）的线段叫有向线段. 类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段 在有向直线 上 或与有向直线 平行,根据有向线段 与有向直线 的方向相同或相反,分别把它的长度 添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为 . 4 知识点2. 三角函数线 已知角 的终边位置（图中圆为单位圆），则角 的三条三角函数线如图所示, 有向线段 ， , 分别叫作角 正弦线、余弦线、正切线，则 ， ， . 5 名师点睛 三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角 的终边或其反向延长线的交点. 6 知识点3. 三角函数的定义域 三角函数 定义域 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】作三角函数线 例1 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边. （1） ; 解 ，作直线 交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终 边. 9 （2） ; 解 ，作直线 交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终边. 10 （3） . 解 ，作直线 交单位圆的切线 于点 ，直线 交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终边. 11 规律方法 对于（1），设角 的终边与单位圆交于 ，则 , ，所以要作出满足 的角的终边，只要在单位圆上找出横坐标为 的点 ,则 即为角 的终边;对于（2）（3），可采用同样的方法处理. 12 跟踪训练1 分别作出 和 的正弦线、余弦线和正切线. 解 ①在平面直角坐标系中作单位圆，如图1，以 轴为始边作 角，角的终边与单 位圆交于点 ，作 轴，垂足为 ， 图1 由单位圆与 轴正方向的交点 作 轴的垂线，与 的反向延长线交于点 ，则 ， ， ，即 的正弦线为有向线段 ，余弦 线为有向线段 ，正切线为有向线段 . 13 ②同理可作出 的正弦线、余弦线和正切线，如图2. 图2 ， ， ， 即 的正弦线为有向线段 ，余弦线为有向线段 ，正切线为有向线段 . 14 【题型二】用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小. （1） 与 ; （2） 与 ; （3） 与 . 15 . . . 解 如图所示，画出 与 的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 16 规律方法 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 （1）关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线. （2）注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向. 17 跟踪训练2 [2023徐州月考] ， ， 从小到大的顺序是______________ __________. <m></m> [解析] ， ， ，根据三角函数线可得 . 故答案为 . 18 【题型三】用三角函数线解不等式（组） 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边范围，并由此写出角 的集合. （1） ; 解 作直线 交单位圆于 ， 两点，连接 ， ，则 与 围成的区域 （如图1阴影部分）即为角 的终边的范围. 故满足条件的角 的集合为 , . 19 （2） . 解 作直线 交单位圆于 ， 两点，连接 与 ，则 与 围成的区域（如图2阴影部分）即为角 的终边的范围. 故满足条件的角 的集合为 ， . 20 规律方法 1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤： 作出取等号的三角函数线 确定角的终边 在单位圆中确定满足条件的角的终边所在的区域 将图中的区域用不等式表示出来 2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式（组），然后借助三角函 数线解此不等式（组）即可得函数的定义域. 21 跟踪训练3（1） 在 内，使 成立的 的取值范围是( ) C A. B. C. D. [解析] 在 内，画出 与 对应的三角函数线分别是 ， （图 略），满足在 内，使 即 ，所以所求 的范围是 ， 故选C. 22 （2）若 ，且 ， ，利用三角函数线，得到 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 23 [解析] 在单位圆内作三角函数线如图： 在 内， ， ， 分别为 , 的终边， 由正弦线可知，满足 的 的取值范围是 或 ; 在 内， ， ， 分别为 , 的终边， 由余弦线可知，满足 的 的取值范围是 或 . 综上所述， 的取值范围是 ，故选D. 24 成果验收•课堂达标检测 25 A层 基础达标练 1.如图中角 的正弦线、余弦线和正切线分别是( ) D A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， [解析] 由角的终边及单位圆可知，正弦线，余弦线，正切线分别为 ， ， .故选D. 26 2.角 和角 有相同的( ) C A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 [解析] 与 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线. 故选C. 27 3.设 ， ， ，则有( ) C A. B. C. D. [解析] 如图，作 的正弦线，余弦线，正切线，则 ， ， ，且 .所以 ，故选C. 28 4.（多选题）依据三角函数线作出如下四个判断，其中判断正确的有( ) BD A. B. C. D. [解析] 分别作出各角的三角函数线（图略）， 可知 ， ， ， .故选 . 29 5.若 ，则 的取值范围是_ ___________________. <m></m> [解析] ，如图，利用三角函数线可得 ， . 30 6.求函数 的定义域. 解 为使 有意义， 则 ， 所以 ， 所以角 的终边所在区域如图所示. 所以 ， ， 所以原函数的定义域是 , . 31 B层 能力提升练 7.若角 是三角形的内角，且 ，则这个三角形的形状是( ) D A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 [解析] 当 时，由单位圆中的三角函数线知， .而 ，所以 必为钝角.即该三角形为钝角三角形.故选D. 32 8.若 是第二象限角，则( ) D A. B. C. D. [解析] 因为 是第二象限角，所以 ,所以 .当 ， 时， ，此时 .当 ， 时， ，此时由 的 正切线知 .故选D. 33 9.设 点为角 的终边与单位圆 的交点，且 ， ，则下列命 题成立的是( ) C A.总有 B.总有 C.存在角 ，使 D.不存在角 ，使 [解析] 当角 的终边不在第一象限时， ， 都有可能成立；当角 的终边落在 轴或 轴正半轴时， .故选C. 34 10.（多选题）下列说法正确的是( ) ABC A.当角 的终边在 轴上时，角 的正切线是一个点 B.当角 的终边在 轴上时，角 的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 [解析] 根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点为原点，而正切线的始点为单位圆与 轴正半轴的交点.故选 . 35 11.（多选题）在 内，使得 成立的 的取值范围为( ) CD A. B. C. D. [解析] 可转化为 的正弦线的长度大于余弦线的 长度，如图.观察图形可知，在 内，使得 成 立的 的取值范围是 .故选 . 36 12.已知 ,在单位圆中角 的正弦线、余弦线、正切线分别是 ， ， ，则它们从大到小的顺序为_ ______________. <m></m> [解析] 因为 ，画出图象如图所示.由图可知， . 37 13.若 ，则满足 的 的取值范围为______________. <m></m> [解析] 当 时，令 得， 或 .要使 ，由图可知， . 38 14.利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图象解下列各题. （1）求满足不等式 的 的集合； 解 由 得 . 如图，在直角坐标系单位圆中，角 的顶点在原点，其始边在 轴的 正半轴上. 由图可知，在 范围内余弦线为 的角度有 ， ， 所以满足条件的角 的集合是 . 39 （2）求函数 的定义域. 解 函数 的定义域满足 ，即 . 如图，在直角坐标系单位圆中，角 的顶点在原点，其始边在 轴的 正半轴上.由图可知，在 范围内正弦线为 的角度有 ， ， 所以满足条件的角 的范围是 . 40 C层 拓展探究练 15.在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆 上的 四段弧（如图），点 在其中一段上，角 以 为始边， 为终 边．若 ，则点 所在的圆弧是( ) C A. B. C. D. [解析] 若在 段，正弦线小于余弦线，即 不成立，故A不满足条件． 若在 段，正切线最大，则 ，故B不满足条件． 若在 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足 ， 若在 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足 ,不满足 .故选C. 41 16.已知 是锐角，求证： . 证明 设角 的终边与单位圆交于 ，过 作 ， ， ， 分 别为垂足，连接 ， ，如图所示. 因为 ， ， 在 中， ， 42 所以 . 由图可知， ， ， . 又 ， 所以 ，即 . 综上可知， . $$