7.3.1 三角函数的周期性课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.3.1 三角函数的周期性 【课标要求】 1.结合具体实例了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数 ， ， 都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数 , 及 的周期. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 周期函数 1.周期函数的定义 一般地，设函数 的定义域为 .如果存在一个非零的常数 ，使得对于任 意的 ,都有 ,并且 ，那么函数 就叫作周期函数，非 零常数 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这 个最小的正数就叫作 的最小正周期. 4 名师点睛 对周期函数的理解 （1）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一. （2）并非所有的周期函数都有最小正周期，如 为常数， ，所有的非零实数 都是它的周期，不存在最小正周期. 5 知识点2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1.正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数， 且 都是它们的周期，它们 的最小正周期都是 . 2.正切函数的周期 正切函数 是周期函数，并且最小正周期是 . 3.函数 、 和 的周期 一般地，函数 及 （其中 ， ， 为常数， 且 ， ）的周期为 .函数 （其中 ， ， 为常数， 且 ， ）的周期为 . 6 名师点睛 若函数 的周期为 ，则 ， 也是 的周期，利用周期函数的定义， . 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】求三角函数的周期 例1 求下列函数的最小正周期： （1） ; 解 的最小正周期为 . （2） ; 解 函数 的最小正周期为 . （3） . 解 由 的图象可知最小正周期为 ， 的图象可由 图象把 轴下方部分沿 轴翻折得到，易得函数 的最小正周期为 . 9 规律方法 求三角函数最小正周期的方法 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解. （2）公式法，对形如 或 ， ， 是常 数， ， 的函数， ;形如 , , 是常数, , 的函数， . （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期. 10 跟踪训练1（1） 函数 的最小正周期为____. <m></m> [解析] 中 ，故 .故答案为 . （2）若函数 的最小正周期是 ，则 ____. <m></m> [解析] 因为 ，所以 ，所以 .故答案为 . 11 【题型二】利用周期求函数值 例2（1） 若 是以 为周期的奇函数，且 ，求 的值. 解 因为 是以 为周期的奇函数， 所以 . 又 ,所以 . 12 （2）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ， 且当 时， ，求 的值. 解 因为 是周期函数，且最小正周期为 ， 所以 . 因为 是偶函数，所以 . 当 时， ，所以 ， 所以 . 13 规律方法 1.利用函数的周期性，可以把 的函数值转化为 的函数值. 2.利用函数周期性的定义，将所求转化为可求的 的函数值，从而可解决求值问题. 3.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值. 14 跟踪训练2 [2023盐城月考] 若函数 是 上的奇函数，且周期为3，当 时， ，则 _____. <m></m> [解析] 定义在 上的奇函数 周期为3， 则 ，则 ， 当 时， ， 所以 ，故答案为 . 15 【题型三】三角函数周期性的证明 例3 若函数 ，对任意 都有 ，求证：函数 的一个正周 期为4. 证明 由 ，得 ， 所以 ，即 的一个正周期 . 16 题后反思 证明一个函数是周期函数，一般从定义出发，只需找到非零常数 ，使对定义域内任意 都有 即可. 17 跟踪训练3 已知函数 对于任意 满足条件 ，且 ，则 ___. 2 [解析] 因为 ，所以函数 的周期为6，故 . 18 成果验收•课堂达标检测 19 A层 基础达标练 1.函数 的最小正周期为( ) D A. B. C. D. [解析] 函数 的最小正周期 . 20 2.若函数 的最小正周期是 ，则 ( ) D A.1 B. C. D. [解析] 由 ，解得 . 21 3.函数 图象的相邻两支截直线 所得线段长为 ，则 的值是( ) A A.0 B.1 C. D. [解析] 因为周期 ，所以 ，故 . 22 4.（多选题）下列函数中，周期不为 的是 ( ) BCD A. B. C. D. [解析] 对于选项A，周期为 ; 对于选项B，周期为 ; 对于选项C，周期为 ; 对于选项D，周期为 .故选 . 23 5.[2023淮安测试] 已知函数 为定义在 上的奇函数，对任意 都有 ，当 时， ，则 的值为___. 2 [解析] 根据题意，对任意 都有 ， 则 ，则函数 是周期为6的周期函数， 则 ， 当 时， ，则 ，故 ，故答案为2. 24 6.求下列函数的周期： （1） ， ； 解 的周期为 . （2） ， ； 解 的周期为 . （3） ， . 解 的周期为 . 25 B层 能力提升练 7.若 为偶函数，满足 ， ，则 的值为 ( ) D A.0 B.1 C.1 010 D.2 020 [解析] 因为 ， 所以 ，所以函数 的周期为6. 又 为偶函数， ，所以 . 所以 .故选D. 26 8.设函数 满足 ， ，则函数 的图象 是( ) B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 由 ，得 是偶函数，图象关于 轴对称，排除A，C.由 ，得 的周期为2，故选B. 27 9.[2023宿迁测试] 定义在 上的函数 满足 为偶函数，且 .若 ，则 ( ) A A. B. C. D.2 28 10.（多选题）设函数 ， ， ，且以 为最小 正周期.若 ，则 的取值可以为( ) CD A. B. C. D. [解析] 因为 的最小正周期为 ， ，所以 . 所以 . 由 ，得 . 则 . 故选 . 29 11.[2023南通月考] 写出一个同时具有下列性质①②的函数 _ _________________________.（注： 不是常数函数．） ① ； ② . <m></m> （答案不唯一） [解析] 由 知函数的周期是 ， 则 满足条件②， 因为 ，所以 满足条件， 故答案为 （答案不唯一）. 30 12.设函数 是以4为周期的周期函数，且 时， ，则 __. <m></m> [解析] 由题意知， ， 所以 .故答案为 . 31 13.已知定义在 上的函数 满足 ，则 的最小正周期为___；且 当 时， ，则 _ ___. 2 <m></m> [解析] 因为 ，所以 ，故 的最小正周期为2，则 . 又 时， ，则 ，所以 . 32 14.已知函数 是定义在 上的偶函数，若对任意的 ，都有 ， 且当 时， ，试求 的值. 解 因为当 时， ， 所以 ，即4是 的一个周期. 所以 . 又 ， 所以 . 33 C层 拓展探究练 15.已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ， 则 ( ) B A. B.2 C.0 D.50 34 16.已知函数 （1）求其定义域和值域； 解 因为 ，所以 ，所以 ， . 所以函数 的定义域为 ， }. 因为 ，所以 ， 所以函数 的值域为 . （2）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期. 解 因为 ， 所以函数 是周期函数，且最小正周期是 . 35 $$