第24讲 圆锥曲线（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 第24讲　圆锥曲线 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 1.椭圆 (1)椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2　　　　　 　　 M点的轨 迹为椭圆 F1、F2为椭圆的焦点 |MF1|＋|MF2|＝2a |F1F2|为椭圆的焦距 2a＞|F1F2| 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)椭圆的标准方程和几何性质 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 2.双曲线 (1)双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. ①当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； ③当2a＞|F1F2|时，P点不存在. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)双曲线的标准方程和几何性质 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0 ，a) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 实轴、虚轴 |A1A2|＝2a叫双曲线的实轴 |B1B2|＝2b叫双曲线的虚轴 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义，焦点F到准线l的距离 顶点 O(0，0) 图形 对称轴 y＝0 y＝0 x＝0 x＝0 3.抛物线标准方程与几何性质 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 题型一　圆锥曲线的定义及标准方程(综合型) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【例1】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)(2024·天津卷)(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为　　　　.  知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 A.13 B.12 C.9 D.6 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【规律方法】 (1)圆锥曲线定义的应用 ①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解； ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”. ①定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； ②计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 变式训练一 1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　) A 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】设M(x，y)，由题意知F，由抛物线的定义，可知x＋＝2p，故x＝，由y2＝2p×，知y＝±p.当M时，kMF＝， 当M时，kMF＝＝－，故kMF＝±.故选A. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 BC 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】由题意a＝2， b＝，c＝1，F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴一个端点B2(0，).由题意|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故△PF1F2周长为4＋2＝6，故A错误；利用椭圆的性质可知△PF1F2面积的最大值为×2×，故B正确； 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 ||＝2||，设P(2cos θ，sin θ)，从而||＝，所以||＝2||，故C正确；因为|A1A2|·|yP|＝2，|yP|＝1，则＝1，xP＝±，故D错误. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(　　) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【答案】 (1)C　(2)ABD 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【规律方法】 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 变式训练二 A 【解析】由e2＝e1，得＝3，因此＝3×，而a＞1，∴a＝.故选A. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 BCD 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，得2a＝＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程＝1，C正确﹔椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【规律方法】 (1)与双曲线几何性质有关问题的解题策略 ①求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得； ②求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； ③求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长.依题设条件及a，b，c之间的关系求解. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 (2)确定及应用抛物线性质的技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【规律方法】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标. (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零). (3)利用根与系数的关系及判别式. (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 A -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】 设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝c2＝5，且＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆的方程为＝1.故选A. -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 D -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 3.抛物线y＝ax2(a＜0)的准线方程是 (　　) B 【解析】 抛物线y＝ax2(a＜0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.故选B. -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 4.直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是(　　) A.y2＝12x B.y2＝8x C.y2＝6x D.y2＝4x B -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义， x1＋x2＋p＝8， 因为AB的中点到y轴的距离是2， 所以＝2， 所以p＝4， 所以抛物线方程为y2＝8x.故选B. -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 D -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 6.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，顶点为O，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝3，则(　　) AD -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】对A：由题意可知F(1，0)，由|MF|＝x0＋1＝3，可得x0＝2，故A正确；对B：当x＝2时，y2＝8，解得y＝±2，即y0＝±2，故B错误；对C：|OM|＝＝2，故C错误；对D：S△OMF＝×|OF|×|y0|＝×1×2，故D正确；故选AD. -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 AB -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】由椭圆的方程可得a＝3，b＝，c＝＝2，∴＝2，即p＝4，故A正确；由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，故B正确；由解得即点P的横坐标xP＝，由抛物线的定义可得|PF2|＝xP＋，故C错误；×2c×|yP|＝，故D错误.故选AB. -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 A.x＋y＝0 B.x＋y－3＝0 C.2x＋y＝0 D.2x＋y－3＝0 BD -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 【解析】由题意，c＝，2a＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝1，双曲线的方程为x2－y2＝1，“好直线”就是与双曲线有交点的直线.联立方程解得x2－(－x)2＝1无解，故A不是“好直线”；联立方程解得x＝，y＝，故B是“好直线”；联立方程解得－3x2＝1，无解，故C不是“好直线”；联立方程解得3x2－12x＋10＝0，Δ＝122－4×3×10＝24＞0，即直线2x＋y－3＝0与双曲线有交点，故D是“好直线”﹒ -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 ACD -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 谢 谢 观 看 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第24讲　圆锥曲线 基础训练 标准 方程 a＞b＞0) a＞b＞0) 图形 性 质 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 ee∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 标准方程 a＞0，b＞0) a＞0，b＞0) 图形 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 渐近线 y＝ y＝ 离心率 ee∈(1，＋∞)，其中c 焦点 离心率 e＝1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程 x＝ x y＝ y 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 |PF|＝ x |PF|＝ －x |PF|＝ y |PF|＝ －y 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝ 2a(0＜2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准 方程 (a＞b＞0) (a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0) 图形 A.＝1(y>0) B.＝1(y>0) C.＝1(y>0) D.＝1(y>0) (3)(2021·新课标Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆CM在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　) (4)(2021·全国乙卷)双曲x＋2y－8＝0的距离为　　　　.  【解析】　(1)设点M(x，y)，则P(x，y)，P'(x，0)，因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＝1(y>0).故选A. (2)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，由可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍)，故A(4，±4)，故直线AF：y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝，故答案为. (3)由题意，知a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， ∴|MF1|·|MF2|(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立). 故选C. (4)由已知，c，∴双曲线的右焦点为(3，0)，故右焦点(3，0)到直线x＋2y－8＝0距离 故答案 【答案】 (1)A　(2)　(3)C　(4) A±1 C 2.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为　　　　.  【解析】由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入1得y＝±，即A，故|AB|10，|AF2|5，又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4， 代入5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36， 即c＝6，所以e.故答案为. 3.(多选)已知椭圆EF1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的点，则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2周长为4 B.△PF1F2面积的最大值 C D.若△PA1A2的面积为2，则点P的横坐标 题型二　圆锥曲线的几何性质(综合型) 【例2】　(1)(2024·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C.当|PB|＝2时，PA⊥AB D.满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 【解析】　(1)如图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝0，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝，因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得：|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由＝|PF1|·|PF2|＝m·2m＝8得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，由双曲线第一定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2，a＝， b＝，所以双曲线的方程为＝1.故选C. (2)利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，这里F(1，0)，于是|PA|＝|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，A(0，4)，F(1，0)，AF中点，AF中垂线的斜率为－，于是AF的中垂线方程为：y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确. (1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换， (2)双曲线的渐近线的求法及用法 ①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得； ②用法：(i)可； (ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 1.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1＝1(a＞1)，C2＝1的离心率分别为e1，e2.若ea＝ (　　) A C 2.(多选)如图所示，用一个与圆柱底面若圆柱的底面圆半径为2， ( 　　) A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率 C.椭圆的标准方程可以 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－ 题型三　直线与圆锥曲线(综合型) 【例3－1】　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 【证明】　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0). 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，∴y1y2＝－p2. ∵＝2px1，＝2px2， ∴＝4p2x1x2，∴x1x2＝. (2) ＝. ∵x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得 (定值). (3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 变式训练三 (2024·天津卷)已知椭圆＝1(a>b>0)椭圆的离心率e＝.左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝. (1)求椭圆方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，O.在y轴上是否存在点T使得≤0恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为椭圆的离心率为e，故a＝2c，bc，其中c为半焦距，所以4(－2c，0)，B(0，c)，C.故S△ABC2cc，故c，所以a＝2，b＝3，故椭圆方程为：1. (2)若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y＝kx，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，由可得，(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，故Δ＝144k2＋108(3＋4k2)＝324＋576k2＞0，且x1＋x2，x1x2＝，而(x1，y1－t)，(x2，y2－t)，故x1x2＋(y1－t)(y2－t)＝x1x2(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)(1＋k2)k. 因为≤0恒成立，故，解得－3≤t≤. 若过点的动直线的斜率不存在，则P(0，3)，Q(0，－3)或P(0，－3)，Q(0，3)，此时需－3≤t≤3，两者结合可得－3≤t≤.综上，存在T(0，t)，使得≤0恒成立. 1.过点A(3，－2)且与椭 (　　) A C1 2.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.＝1 D.3x2－＝1 【解析】设双曲线C的半焦距为c(c＞0).由题可知2c＝2，即c.因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，由|OQ||PF2||F2Q|，可得∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，所以|PF2|，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|－|PF2|2a，所以，所以a＝1，b，所以双曲线C的方程为x21.故选A. A.y＝ C.y 5.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点.若直线AM，AN的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，所以kAM，kAN，可得kAMkAN，又1，即，代入可得，所以离心率e.故选D. A.x0＝2 B.y0＝ C.|OM|S△OMF 7.(多选)已知椭F1，F2，且F2是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是(　　) A.p＝4 B.|PF1|＋|PF2|＝6 C.|PF2|＝3 D.△PF1F2的面积 8.(多选)已知点M0)，N0)，若某直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是 (　　) 9.(多选)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，则(　 　) A.C的准线方程为x＝－2 B.∠MON的大小可能为 C.|MN|的最小值为8 D.|MF||NF|＝2(|MF|＋|NF|) 【解析】由题意得p＝4，则C的准线方程为x＝－2，故A正确；易知F(2，0)，设l：x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由整理得y2－8my－16＝0， 所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4，x1x2＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4，则x1x2＋y1y2＝4－16＝－12＜0，所以∠MON＞，故B错误；|MN|8(m2＋1)≥8，当m＝0时，|MN|取得最小值8，故C正确；因为，所以|MF||NF|＝2(|MF|＋|NF|)，故D正确.故选ACD. 10.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(，0)，一条渐近线方程为2x－y＝0. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程. 【解析】(1)由题知c，又一条渐近线方程为2x－y＝0，所以2，由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，所以b2＝4，故双曲线C的标准方程为x21. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点的坐标为(x0，4)，则1①，1②，由②－①得，即，即直线l的斜率kx0，又k＝tan1，所以x0＝－1，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0. $$