第23讲 直线与圆（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 第23讲　直线与圆 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 1.直线的倾斜角 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 直线倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 2.直线的斜率 (1)直线的斜率定义： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.  知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 3.直线方程的五种形式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 4.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 5.有关公式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 6.圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. (4)点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 |CM|＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 7.圆的一般方程 (1)圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 8.直线与圆的位置关系 位置关系有三种：相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法. (1)代数法： Δ＞0⇔直线和圆相交 Δ＝0⇔直线和圆相切 Δ＜0⇔直线和圆相离 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 9.圆与圆的位置关系的判定 则有：|O1O2|＞r1＋r2⇔☉O1与☉O2外离 |O1O2|＝r1＋r2⇔☉O1与☉O2外切 |r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2⇔☉O1与☉O2相交 |O1O2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔☉O1与☉O2内切 |O1O2|＜|r1－r2|⇔☉O1与☉O2内含 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【例1】 (1)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.0或1 D.－1或1 题型一　直线的方程(基础型) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (3)若直线l1：y＝kx－k＋2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A.(3，1) B.(3，0) C.(0，1) D.(2，1) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【答案】(1)C　(2)C　(3)B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【规律方法】 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 【注意】　要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 变式训练一 1.(多选)点(1，0)到直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)的距离可能是(　 　) ABC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】对于直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.(λ∈R)，令，解得，故直线的必过点为(－2，2)，设点(1，0)到直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.(λ∈R)的距离为d，则dmax＝，∴0＜d≤，而，∴ABC正确，D错误.故选ABC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 2.若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为　　　　　　　　.  4 【解析】 因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 3.直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R). (1)求证：直线l必过定点. (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)将l的方程变形为(3x－y)a－x＋2y－1＝0， 令3x－y＝0，∴2y－x－1＝0， 联立方程解得x＝，y＝， 故直线l必过定点(). (2)l的方程化为＝1(a≠2且a≠)， 由解得a＝. 故直线l的方程为y＝x－1， 即5x＋5y－4＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 4.求适合下列条件的直线方程： (1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； (2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y＝kx， 则－5k＝2，解得k＝－， 所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3). 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 5.已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)【法一】当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α. 要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±. 所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等. 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【法二】由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0， 所以sin α＝±，所以α＝kπ±，k∈Z. 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 6.(多选)关于直线l：2x＋(a－3)y－a－1＝0，下列说法正确的是(　　) A.当a的值变化时，l总过定点 B.存在a∈R，使得l与x轴平行C.存在a∈R，使得l经过原点D.存在a∈R，使得原点到l的距离为3 AC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】l：2x＋(a－3)y－a－1＝0，A.其方程可变形为(v－1)a＋2x－3y－1＝0，令，得，即直线恒过定点(2，1).故选项A正确；B.a＝3时，直线方程变为2x－a－1＝0，此时直线与x轴垂直.a≠3时，直线方程变为y＝x＋，其斜率k＝≠0，则直线l与x轴不可能平行，故选项B不正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 C.当－a－1＝0，即a＝－1时，直线l过原点，故选项C正确； D.若原点到l的距离d＝＝3，则2a2－14a＋29＝0. ∵Δ＝142－4×2×29＝－36＜0，则方程2a2－14a＋29＝0无解，即原点到l的距离d≠3.故选项D不正确.故选AC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 7.已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为　　　　.  [0，10] 【解析】 由题意得，点P到直线的距离为 .又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 8. 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l'的方程. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)设A'(x，y)，再由已知 解得∴A'. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a，b)， 则解得M'. 设m与l的交点为N，则由得N(4，3). 又∵直线m'经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (3)【法一】在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M'，N'均在直线l'上. 易知M'(－3，－5)，N'(－6，－7)，由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0. 【法二】设P(x，y)为l'上任意一点， 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 P'(－2－x，－4－y)，∵P'在直线l上， ∴l'：2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 题型二　圆的方程(基础型) 【例2－1】 (1)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　) A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0 C.x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【答案】(1)C　(2)(x－2)2＋y2＝9　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【规律方法】 圆的3种方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0). (3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 ＋y2＝　 变式训练二 1.一个圆经过椭x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为　 　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点， (4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为2x＋y－3＝0，令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离C的方程为　　 　　.  (x－2)2＋y2＝9　 【解析】 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝， 解得a＝2，所以圆C的半径r＝＝3， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 3.已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，则圆的标准方程为 　 　 　　.  (x＋3)2＋(y＋2)2＝25 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】 【法一】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则圆心坐标为.由题意可得 消去F得解得代入求得F＝－12， 所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0， 标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【法二】因为A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段AB的中点D的坐标为， 直线AB的斜率kAB＝＝1， 因此线段AB的垂直平分线的方程是 y＋＝－，即x＋y＋5＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 圆心C的坐标是方程组的解， 解得所以圆心C的坐标是(－3，－2). 圆的半径长r＝|AC|＝＝5， 所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 题型三　直线(圆)与圆的位置关系(综合型) 【例3－1】 (1)(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 如下图所示： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【例3－2】 (2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，☉M过点A，B且与直线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求☉M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值?并说明理由. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)∵☉M过点A，B，∴圆心M在AB的垂直平分线上. 由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称， ∴M在直线y＝x上，故可设M(a，a). ∵☉M与直线x＋2＝0相切，∴☉M的半径为r＝|a＋2|. 连接MA，由已知得|AO|＝2， 又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故☉M的半径r＝2或r＝6. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得☉M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x. ∵曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，∴|MP|＝x＋1. ∵|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，∴存在满足条件的定点P. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【规律方法】 (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 ①研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较； ②利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 变式训练三 1.(多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是(　　) BD　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】圆C：(x＋1)2＋y2＝2，∴圆心C(－1，0)，半径r＝. ∵圆心C(－1，0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＞r， ∴直线l与圆C相离，A不正确，B正确；|PM|≥|PC|－r≥d－r＝，C不正确，D正确. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 2.(多选)已知点P(2，4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则(　 　) ABC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】当直线l与x轴垂直时，|AB|取得最小值，且最小值为2，∴A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离取得最大值，且最大值为|PQ|＝2，∴B正确；设R(6＋3cos θ，3sin θ)，则＝(2，－4)·(4＋3cos θ，3sin θ－4)＝6cos θ－12sin θ＋24＝6cos(θ＋φ)＋24，其中tan φ＝2，当cos(θ＋φ)＝－1时，取得最小值24－6，∴C正确；∵圆心为C(6，0)，半径r＝3，∴当C在线段PR上时，|PR|最大，且最大值为＋3＝4＋3，∴D错误.故选ABC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 　 【解析】 ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝，此时直线l与圆相离，没有公共点，不符合题意. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－1＝k(x－)，即kx－y－k＋1＝0. 因为直线l和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则 ≤1，计算得0≤k≤. 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 4.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (1)【解析】不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2. 又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)【证明】BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－. 联立＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2. 因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上. 又kPC＝＝－1， 所以切线的斜率k＝－＝1. 所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线. 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2， 解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. 当切线为3x－4y－5＝0时， 因为|MC|＝，所以过点M的圆C的切线长为＝1. 当切线为x＝3时，切线长为1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 1.若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a＝(　　) D 【解析】直线ax＋2y＋1＝0的斜率k1＝－，直线x＋y－2＝0的斜率k2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k1·k2＝－1，即(－)·(－1)＝－1，所以a＝－2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 2.已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝　　　.  13 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 3.已知直线l：y＝x＋1平分圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝4的周长，则直线x＝3与圆C的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 B 【解析】由已知得，圆心C(1，b)在直线l：y＝x＋1上，所以b＝1＋1＝2，即圆心C(1，2)，半径为r＝2.由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 4.两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N两点，则线段MN的长为(　　) D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准方程为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2.故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 5.(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，设直线x＋y－m＝0与圆O：x2＋y2＝8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则实数m的值为(　　) B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】由题意知，点C和圆心O在直线AB的同侧，且圆心O在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的中点为D，圆O的半径r＝2，则|CD|＝|OD|＋r＝|AB|.因为|OD|＝，|AB|＝2，所以＋2×2，解得m＝±2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【优解】设圆O的半径为r，则r＝2，由圆周角∠ACB＝60°，得圆心角∠AOB＝120°，则圆心O到直线x＋y－m＝0的距离d＝r＝，所以，解得m＝±2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 6.已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为(　　) D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r|PB|＝|PB|＝1，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以，即k2＝4，由k＞0，解得k＝2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 7.(多选)过点(0，1)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切的直线的方程是(　　) A.x＝0 B.y＝0 C.4x＋3y－3＝0 D.3x＋4y－4＝0 AC 【解析】当斜率不存在时直线x＝0满足题意.当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，由直线与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切得＝1，解得k＝－，故切线方程4x＋3y－3＝0.故选AC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 8.若点P(1，1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为　　 　　.  2x－y－1＝0 【解析】由圆的方程易知圆心C的坐标为(3，0)，又P(1，1)，所以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.由弦MN所在的直线经过点P(1，1)，得所求直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 9.(多选)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的可能取值是(　　) BC 【解析】圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0，0)到直线的距离d＝，∵圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，∴圆的半径r＞＋1.对比选项，可得BC符合题意.故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 10.(多选)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y－40＝0，则(　　) AB 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】圆C1的标准方程为：(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5，5)，半径为r1＝5，圆C2的标准方程为：(x－3)2＋(y＋1)2＝50，圆心为(3，－1)，半径为r2＝5，∴两圆心的距离：d＝＝2，∴0＜d＜r1＋r2，∴两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：＝r2(r＝r1＝r2)，∴L＝4，选项B正确，选项D错误.故选AB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 BCD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 12.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切. (1)设直线ax－y＋5＝0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； (2)在(1)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z). 因为圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5， 所以＝5，即|4m－29|＝25. 因为m为整数，所以m＝1. 所以圆的方程是(x－1)2＋y2＝25. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 将ax－y＋5＝0变形为y＝ax＋5， 并将其代入圆的方程，消去y并整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0.　 由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，即12a2－5a＞0， 解得a＜0或a＞.所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (2)设符合条件的实数a存在. 由(1)得a≠0，则直线l的斜率为－. 所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0. 因为直线l垂直平分弦AB， 所以圆心M(1，0)必在直线l上. 所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.因为，所以存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 谢 谢 观 看 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第1讲　集合与常用逻辑用语 基础训练 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 同上 两点式 (x1≠x2且y1≠y2) 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 ab≠0) 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为零) 平面直角坐标系 内的直线都适用 (1)中点公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点M(x，y)，则xy (2)两点间距离公式：平面上的两点P1(x1，y2)，P2(x2，y2)，则|P1P2|O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP| (3)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个 D2＋E2－4F＞0 表示 (2)几何法：利用圆心到直线的距离dr的大小关系 d＜r⇔直线和圆相交；d＝r⇔直线和圆相切；d＞r⇔直线和圆相离 设☉O1：(x－a1)2＋(y－b1r1＞0)，☉O2：(x－a2)2＋(y－b2r2＞0) A C 【解析】(1)直线l1的斜率ka≠0时，直线l2的斜率kl1⊥l2，∴k1k2＝－1，即a，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，此时直线l2为y轴，又A(－2，0)，B(1，0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为0或1.故选C. (2)∵l1∥l2，，解得a＝－1，∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y，∴l1与l2的距离d (3)∵y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，∴l1：y＝kx－k＋2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，l2过定点(3，0).故选B. (1)三种距离公式 ①A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB| ②点到直线的距离d(其中点为(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0). ③两平行直线间的距离：d(其中两平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0). A (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离C的方程为　　　　　　　　.  【解析】(1)由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，，解得m＝2或m＝(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C. (2)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，∴圆心到直线2x－y＝0的距离d， 解得a＝2，∴圆C的半径r＝|CM|， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝ D.当∠PBA最大时，|PB|＝ 【解析】(1)圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1， 圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4，两圆圆心距，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l时，，∴kl＝， 设方程为y＝(t＞0)，O到l的距离d，解得t， ∴l的方程为y＝ 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，由题 y 当切线为n时，易知切线方程为x＝－1. (2)圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程，即x＋2y－4＝0， 圆心M到直线AB的距离，∴点P到直线AB的距离的最小值＜2，最大值＜10，A选项正确，B选项错误； 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切， 连接MP，BM，可知PM⊥PB， |BM|，|MP|＝4， 由勾股定理可得|BP|，CD选项正确. 故选ACD. 【答案】(1)y＝yx＝－1　　(2)ACD (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2＝d(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)； ②根据公式：l－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率). ③求出交点坐标，用两点间距离公式求解. A.直线l与圆C相切 B.直线l与圆C相离 C.|PM|的最大值 D.|PM|的最小值 A.|AB|的最小值 B.P到l的距离的最大值 C24－ D.|PR|的最大值 3.过点A1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　.  5.已知点PM(3，1)， 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长. A.1 B.－2 【解析】对于直线l1：x－my＋1＝0，即(x＋1)－my＝0，令y＝0，则x＋1＝0，则可得直线l1过定点A(－1，0)；对于直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m(x－1)＋(y＋3)＝0，令x－1＝0，则y＋3＝0，则可得直线l2过定点B(1，－3).因为1×m＋(－m)×1＝0，所以l1⊥l2.当点P与A，B不重合时，PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(1＋1)2＋(－3－0)2＝13；当点P与点A或B重合时，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝13. A C A.±1 B.±2 C.±± A.1 B. C A C.3 D. A.两圆相交 B.公共弦长 C.两圆相离 D.公切线 11.(多选)过圆x2＋y2＝4上一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则(　 　) A.|AP|＝|BP|＝ B.∠APB＝60° C.|AB|＝ D.直线AB与圆x2＋y2＝相切 【解析】由题意作出示意图如图所示.设圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的圆心为O，则|OA|＝1，|OP|＝2，因为PA与圆x2＋y2＝1相切，所以OA⊥PA，在Rt△OAP中，|AP|，易知∠APO＝30°，所以∠APB＝60°，又|AP|＝|BP|，所以|AB|，故A错误，B，C正确.设AB与OP交于点H，由PA，PB与圆x2＋y2＝1相切，得AB⊥OP，由PA⊥OA，得∠APO＝∠OAB＝30°，在Rt△AOH中，|OH|＝|AO|·sin∠OAH， 又圆x2＋y2的半径为，所以直线AB与圆x2＋y2相切， 故D正确.故选BCD. $$