第21讲 空间几何体的平行与垂直（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 第21讲　空间几何体的平行与垂直 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a， a⊂α，l⊄α， 所以l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α， l⊂β，α∩β＝b， 所以l∥b 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β， b∥β，a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， 所以a∥b 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 性质 定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 题型一　空间线面位置关系的判定与异面直线所成的角 【例1－1】　(1)(2024·天津卷)若m，n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交 C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2) (2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】 (1)对于A，若m∥α，n⊂α，则m，n平行或异面，故A错误.对于B，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故B错误.对于C，m∥α，n⊥α，过m作平面β，使得β∩α＝s，因为m⊂β，故m∥s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故C正确，对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，故D错误.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE. ∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点. ∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD. ∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EF⊥平面ABCD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【例1－2】　(1)(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 (　　) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 (　　) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)如图，连接BC1，PC1，PB，∵AD1∥BC1， ∴∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角， ∵BB1⊥平面A1B1C1D1， ∴BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1， ∴PC1⊥平面PBB1，∴PC1⊥PB. 【答案】(1)C　(2)D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【规律方法】用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 变式训练一 1.(多选)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，点P是△ABC的中心，过点P作某截面将正四面体ABCD分开，并使截面平行于AD和BC，则下列说法正确的是(　　 ) ACD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 2.(多选)如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或棱的中点，则下列满足MN∥平面ABC的是(　　) BC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】对于A，如图①所示，点E，F为正方体的两个顶点，连接EF，AM，则MN∥EF∥AC，∴N，M，C，A四点共面，同理可证AM∥BC，即B，C，M，A四点共面，∴MN⊂平面ABC，故A错误； 对于B，如图②所示，D为正方体的一个顶点，连接MD，ND，则AC∥MD，BC∥ND，AC⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴DM∥平面ABC，同理可证DN∥平面ABC，又MD∩ND＝D，MD⊂平面DMN，ND⊂平面DMN，∴平面ABC∥平面DMN，又MN⊂平面DMN，∴MN∥平面ABC，故B正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 对于C，如图③所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面ABC，故C正确； 对于D，如图④所示，连接CM，则AB∥CM，∴A，B，C，M四点共面，∴MN∩平面ABC＝M，不满足MN∥平面ABC，故D错误.故选BC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为　　　　(把你认为正确的结论的序号都填上).  ③④ 【解析】 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 A.30° B.45° C.60° D.90° A　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】 取AC的中点O，连接OM，ON，则 OM BC，ON PA. ∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角. 在△OMN中，MN＝4，OM＝2，ON＝2， ∴cos∠ONM＝， ∴∠ONM＝30° 即异面直线PA与MN所成角的大小为30°，故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 题型二　空间平行、垂直关系的证明 【例2－1】　 (2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求点C到平面C1DE的距离. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【例2－2】　 (2023·新课标Ⅱ卷)三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点. 证明：BC⊥DA； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】证明：连接DE， ∵DB＝DC，E为BC中点，∴BC⊥DE. ∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°， ∴△ABD，△ACD均为等边三角形， ∴AB＝AC，又E为BC中点，∴BC⊥AE， ∵AE，DE⊂平面ADE，AE∩DE＝E， ∴BC⊥平面ADE，又AD⊂平面ADE， ∴BC⊥DA. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【例2－3】　 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F－EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】(1)如图所示，连接AF， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1M1，如图所示，设棱AM，BC的中点分别为H，G，连接A1H，HG，GB1，在正方形BCC1B1中，G，F为中点，则BF⊥B1G， 又BF⊥A1B1，A1B1∩B1G＝B1， 故BF⊥平面A1B1GH，而DE⊂平面A1B1GH， 从而BF⊥DE. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【规律方法】 (1)平行 ①证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行；②应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线；③利用平面几何知识证明线线平行的主要方法：有中点，找中点，连中线，证平行；构造三角形的中位线；构造平行四边形条件. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)垂直 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 变式训练二 1.如图，四棱锥P－ABCD中， (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】 (1)连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD， 所以BC AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点， 所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)连接FH，OH， 因为F，H分别是PC，CD的中点， 所以FH∥PD， 所以FH∥平面PAD. 又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，所以OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H， 所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GH⊂平面OHF， 所以GH∥平面PAD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)【证明】因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)【解析】如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内， 所以PO⊥底面ABCD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO⊄平面GEFH， 所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而KB＝DB＝OB， 即K为OB的中点. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 再由PO∥GK得GK＝PO， 即G是PB的中点， 且GH＝BC＝4. 由已知可得OB＝4. PO＝＝6， 所以GK＝3. 故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD， 所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， 所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A， 所以PD⊥平面ABE. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 已知AC⊥BC，BC＝CC1. 设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点， 因此DE∥AC. 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1， BC⊂平面BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 又因为BC1⊂平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1， 所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因为AB1⊂平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 题型三　平面图形的折叠问题 【例3】　 (2018·全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)【证明】由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又∵BA⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. ∵AB⊂平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【规律方法】解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 变式训练三 (1)证明：CD⊥平面A1OC； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)【证明】在题图1中，连接EC(图略)， 因为AB＝BC＝AD＝a， E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC. 即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而BE⊥平面A1OC. 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)【解析】由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE， 又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1－BCDE的高. 由题图1知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3. 由a3＝36，得a＝6. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 题型四　空间中的平行、垂直综合问题 【例4】　如图，三棱台DEF􀆼ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】(1) 【解法一】　如图，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH. 在三棱台DEF􀆼ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， ∴四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点，又H为BC的中点， ∴HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH， ∴BD∥平面FGH. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解法二】在三棱台DEF􀆼ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， ∴四边形HBEF为平行四边形， 可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点， H为BC的中点，∴GH∥AB. 又GH∩HF＝H， ∴平面FGH∥平面ABED. 又∵BD⊂平面ABED， ∴BD∥平面FGH. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB. 由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF＝HC， 因此四边形EFCH是平行四边形， ∴CF∥HE.又CF⊥BC，∴HE⊥BC. 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H， ∴BC⊥平面EGH. 又BC⊂平面BCD， ∴平面BCD⊥平面EGH. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【规律方法】线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 变式训练四 1.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠PAB＝∠PDC＝90°. (1)求证：AB⊥平面PAD； (2)若点E、F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面PAB. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 1.【解析】证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵∠PAB＝∠PDC＝90°，∴AB⊥PA，DC⊥PD.又∵四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB⊥PD.∵PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)如图，取AD的中点G，连EG，GF. 在△PAD中，∵E是棱PD的中点，∴EG∥PA.又EG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB. 在平行四边形ABCD中，G，F分别是棱AD，BC的中点，∴AG＝BF＝BC，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形，∴FG∥BA.又FG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB.∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAB. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 2.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (1)【证明】因为PA⊥AB，PA⊥BC， 所以PA⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC， 所以PA⊥BD. (2)【证明】因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC. 所以平面BDE⊥平面PAC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (3)【解析】因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因为D为AC的中点， 所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 题型五　空间中的平行、垂直探索性问题 【例5】　 如图，四棱锥P􀆼ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点. (1)求证：CE∥平面PAD； (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF?若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】(1)如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH， ∵E为PB的中点，∴EH∥AB，EH， 又AB∥CD，CD ∴EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH是平行四边形， ∴CE∥DH， 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD， ∴CE∥平面PAD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 又AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴CF∥AD， 又CF⊄平面PAD，∴CF∥平面PAD，由(1)可知CE∥平面PAD， 又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【规律方法】解决探索性问题的策略方法 (1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. (2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 变式训练五 如图，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点. (1)若F为BB1的中点，判断AC1与平面DEF是否平行?若平行， 请给予证明，若不平行，说明理由； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】 (1)【法一】连接B1C，BC1交于点G，连接DG，FG， 则DG∥AC1，因为DG⊂平面GDF，AC1⊄平面GDF， 则AC1∥平面GDF.由于平面GDF∩平面DEF＝DF，故AC1与平面DEF不可能平行. 【法二】连接B1C，BC1交于点G，连接DG，FG， 则DG∥AC1，而DG⊄平面DEF，且DG与平面DEF交于点D，故AC1与平面DEF不可能平行. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)假设点F存在，由 ＝，得，显然，点F不存在. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 1.已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　) A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行 C.直线a，b，c必然交于一点 D.直线c与平面α可能平行 C 【解析】因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ，又β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点，故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】 A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误； B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误； C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确； D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 3.(多选)有下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 其中正确命题是(　　) A.① B.② C.③ D.④ BC 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；对于②，∵梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 4.在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 A 【解析】 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在正方形ADD1A1内(不含边界)运动，则在正方形DCC1D1内(不含边界)一定存在一点Q，使得(　　) A.PQ∥AC B.PQ⊥AC C.AC⊥平面PQC1 D.平面PQC1∥平面ABC A 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】对于选项A，连接A1C1，在正方体中，显然有A1C1∥AC，连接AP并延长.若AP的延长线交棱A1D1于点M(如图①)，则过M作MN∥A1C1，交C1D1于N，连接CN，则四边形ACNM是梯形，过P作PQ∥AC，交CN于Q，则Q在正方形DCC1D1内；若AP的延长线交棱DD1于点F(如图②)，则连接CF，在三角形ACF内过P作PQ∥AC，交CF于Q，也有Q在正方形DCC1D1内.故A正确. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 对于选项B，C，连接BD，B1D1，在正方体中，易知AC⊥平面BDD1B1，因此与AC垂直的直线在平面BDD1B1内或与平面BDD1B1平行，而直线PQ与平面BDD1B1相交，所以AC与PQ不可能垂直，因此AC与平面PQC1也不可能垂直，故B，C错误.对于选项D，过C1的平面只有平面A1B1C1D1与平面ABC平行，而P∉平面A1B1C1D1，Q∉平面A1B1C1D1，因此平面PQC1与平面ABC不平行，故D错误.故选A. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 6.已知ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与 (　　) A.AC，BD之一垂直 B.AC，BD都垂直 C.AC，BD都不垂直 D.AC，BD不一定垂直 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】 ∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CDB，连接AN，CN，则AN＝CN. 在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC. 同理可得MN⊥BD.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 7.(多选)如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有(　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面ABCD所成角是∠SAB D.AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角 AB　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】A选项，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥DB，A选项正确；B选项，∵ABCD为正方形，∴AB∥CD，又AB⊄平面SCD，且CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，B选项正确；C选项，∵SD⊥底面ABCD，∴SA与平面ABCD所成角是∠SAD，C选项错误；D选项，∵ABCD为正方形，则AB与BC所成的角90°，又SD⊥底面ABCD，则∠SDC＝90°，∴DC与SC所成的角∠SCD＜90°，D选项错误；故选AB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为　　　　.  基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点. (1)求证：平面BDM∥平面EFC； (2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【证明】(1)如图，连AC，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC， EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， ∴BF∥DE且BF＝DF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF. ∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)如右图，连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDFF，又N是AC的中点， ∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2××2＝，∴三棱锥A－CEF的体积为. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 【解析】(1)连接BD，∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，又∵G为AD的中点，∴BG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 (2)如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB， ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第21讲　空间几何体的平行与垂直 基础训练 ∵FN⊂平面ABCD，∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF， ∴ENEM＝MD，DG＝GF， ∴MG∥EF，且MG， ∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG，BG，∴BMBM≠EN. ∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交.故选B. A A 【解析】 (1)如图，连接BE，∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BEAB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，∴tan∠EABC. 设正方体的棱长为2，则BC1＝，PCB， sin∠PBC，∴∠PBCD. A.截面是矩形 B.截面不是平行四边形 C.截面的面积为 D.截面所在平面与平面ABD的交线平行于平面ACD 【解析】过点P作EF∥BC，分别交AB，AC于E，F，过F作FG∥AD交CD于G，连接EG，设平面EFG与棱BD交于点H，连接EH，HG，因为BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，所以BC∥平面EFG，同理可得AD∥平面EFG，则四边形EFGH即为截面.因为BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD＝HG，BC⊂平面BCD，所以BC∥HG，则EF∥HG，同理可得FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形，即截面是平行四边形，B错误.设M为BC的中点，连接AM，DM，则AM⊥BC，DM⊥BC，因为AM，DM⊂平面ADM，AM∩DM＝M，所以BC⊥平面ADM，又AD⊂平面ADM，所以BC⊥AD，又EF∥BC，FG∥AD，所以EF⊥FG，则四边形EFGH为矩形，即截面是矩形，A正确.因为点P是△ABC的中心，所以APAM，故EFBC，AFAC，所以FGAD，故矩形EFGH的面积为EF×FG，即截面的面积为，C正确.因为平面EFGH与平面ABD的交线为EH，且EH∥FG，FG⊂平面ACD，EH⊄平面ACD，所以EH∥平面ACD，即截面所在平面与平面ABD的交线平行于平面ACD，D正确.故选ACD. 4.已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝PA与MN所成角的大小是 (　　) 证明：(1)如下图，连接B1C，ME.∵M，E分别为BB1，BC的中点， ∴ME∥B1C，且MEC.又∵N为A1D的中点， ∴NDD.由题设知A1B1􀱀DC，可得B1C􀱀A1D， 故ME􀱀ND，因此四边形MNDE为平行四边形， ∴MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE， ∴MN∥平面C1DE. (2)如上图，过点C作C1E的垂线，垂足为点H. 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，且BC∩C1C＝C， ∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离. 由已知可得CE＝1，C1C＝4， ∴C1E，故CH C到平面C1DE的距离 由题意，可得BF， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB，BB1∩BC＝B，故AB⊥平面BCC1B1， 而BF⊂平面BCC1B1，故AB⊥BF， 从而有AF， 从而AC， 则AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，△ABC为等腰直角三角形. S△BCEABC， VF－EBCBCE×CF AD∥BC，AB＝BCE，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. 2.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ Q－ABP的体积. (2)【解析】由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝BP＝DQ，∴BP＝ 如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为点E，由QE 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为 VQ－ABPABP×QE1＝1. 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BADAB＝BCE是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE. (2)当平面A1BE⊥平面BCDE时， 四棱锥A1－BCDE的体积为3a的值. (2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，∴AF， 又CD，∴AF＝CD， (2)试问：在侧棱BB1上是否存在点F，使三棱锥F􀆼DEB的体积与三棱柱ABC􀆼A1B1C1的体积之比 3 【解析】如图，连接BD，AD1，延长EG交CB的延长线于Q，则BQCB，过Q作QH∥BD交AB于H，延长QH交AD于K，则BH＝HA，AK＝KD，过K作KT∥AD1交DD1于T，连接FT，GH，则六边形FEGHKT即为平面EFG截正方体所得截面，又F，E，G，H，K，T均为所在棱的中点，所以截面的周长为3. $$