第20讲 空间几何体（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 第20讲　空间几何体 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点   轴截面 全等的矩形 全等的等腰 三角形 全等的等腰 梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环   (2)旋转体的结构特征 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝ π(r1＋r2)l 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 3.空间几何体的表面积与体积公式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 4.方法技巧 (1)求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 (2)求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 (3)几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 (4)截面问题：在高考立体几何考点中涉及空间几何体的截面的地方较多，如：判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 C　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【规律方法】求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. (2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积. (3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 变式训练一 1.(2022·新课标Ⅱ卷)(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED上平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 (　　) A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 CD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，∵AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝A1B1＝，AO＝AC＝AB＝，故AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝，∴所求体积为V＝×(4＋1＋)×.故答案为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 3.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　) A　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 题型二　球与空间几何体的接、切问题(高频考点) 　　与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是难点、易失分点，命题角度多变.主要命题角度有：①外接球；②内切球. 考法一　外接球 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 A.100π B.128π C.144π D.192π A　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 考法二　内切球 【例2－2】　(1) (2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) B　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( 　　) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 ABD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【规律方法】解决与球有关的切、接问题的策略 (1)“接”的处理 ①构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题； ②空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心，接点等)； ③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线. (2)“切”的处理 ①体积分割法求内切球半径； ②作出合适的截面(过球心，切点等)，在平面上求解； ③多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 变式训练二 1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】 由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. 又∵AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， ∴球O的半径R＝OA＝ . 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 A.4π B.12π C.16π D.64π C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC，又∵SA⊥平面ABC， ∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体， ∴球O的直径＝＝4， 故球O的表面积为4π×22＝16π. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 4.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为　　　　.  8π　 【解析】V球＝π×13＝π，V柱＝π×4＝4π.设重新锻造成的大铁球的半径为R，则πR3＝π＋4π，R＝，则该大铁球的表面积S＝4π()2＝8π. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 题型三　柱锥台的轴截面问题 【例3】(1)(多选)正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2，用垂直于侧棱PC的平面α截该四棱锥，则(　　) A.截面可以是三角形 B.PA与底面ABCD所成的角为60° C.PA与底面ABCD所成的角为45° D.当平面α经过侧棱PC的中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3∶1 ACD　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】(1)如图，取PC的中点E，连接BE，DE，BD. ∵正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2，∴△PBC为正三角形，∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE＝E，则PC⊥面BDE，即△BDE为截面.故A正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 如图，过P作PO⊥底面ABCD于O，则O为AC中点.则∠PAO即为PA与底面ABCD所成的角. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以h＝r，l＝r.因为直角圆锥的侧面积为36π，所以πrl＝πr2＝36π，解得r＝6，所以该直角圆锥的体积为πr2h＝πr3＝π×63＝72π. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 2.已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面所成的角为60°，则圆锥的侧面积为　　　　，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为　　　　.  8π　 　π　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】如图，△ABC是圆锥的轴截面，由题意∠ABD＝60°，BD＝2，则AB＝4，侧面积为S＝π×2×4＝8π；△ABC的外接圆半径为R＝×4＝，即为圆锥外接球半径，所以V球＝π.故答案为8π；π. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 3.(2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3.则该五面体的体积为(　　) C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 1.若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.15π B.21π C.28π D.63π C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】圆台的轴截面如图所示： 则圆台的高h＝＝4，所以圆台的体积V＝πh(r2＋R2＋rR)＝π×4×(12＋42＋1×4)＝28π. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A－BC1M的体积等于(　　) C　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】S△ABM·C1C＝AB×AD×C1C＝.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 4.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD，E，F分别是棱C1D1，CC1的中点，则(　　) A.△BDF是等边三角形 B.直线A1E与BF是异面直线 C.A1F上平面BDF D.三棱锥A1－ABD与三棱锥A1－FDB的体积相等 AC 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】设AB＝1，则BD＝BF＝DF＝，故△BDF是等边三角形，A正确；连接EF，D1C，如图所示：易知EF∥A1B，故点A1，E，B，F共面，B错误；设AB＝1，则A1D＝，DF＝，A1F＝，所以A1D2＝DF2＋A1F2，所以A1F⊥DF，同理可知A1F⊥BF，又因为DF∩BF＝F，所以A1F⊥平面BDF，故C正确； 三棱锥A1－ABD与三棱锥A1－FDB有公共的面A1DB，若要它们的体积相等，则点A与点F到平面A1DB的距离相等，这显然不成立，故D错误. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 16π 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】由题意，△PAC，△PBC均为直角三角形，取PC的中点O，连接OA，OB，可得OA＝OB＝OC＝OP，所以O是三棱锥P－ABC的外接球球心.由PA＝2，AC＝2，得PC＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝2，所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝16π. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 ACD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】由题意得：上底面A1B1C1D1的面积S1＝1×1＝1，下底面ABCD的面积S2＝2×2＝4，侧面ABB1A1为等腰梯形，过A1，B1分别做AB的垂线，垂足为E，F，如图所示， 所以EF＝A1B1＝1，则AE＝BF＝，所以B1F＝，所以梯形ABB1A1的面积为S3＝×(1＋2)×，所以正四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积，S＝S1＋S2＋4×S3＝5＋3，故A正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 如图连接A1C1，B1D1，且交于点O1，连接AC、BD交于点O2，连接O1O2，则O1O2垂直底面ABCD，过A1作A1G⊥AO2于G，则A1G⊥底面ABCD，则四边形A1GO2O1为矩形， 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 由题意得A1C1＝，所以A1O1＝，同理AC＝2，AO2＝，又A1O1＝GO2＝，所以AG＝，在Rt△A1GA中，cos∠A1AG＝，所以∠A1AG＝60°，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确，所以A1G＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 连接C1O2，在Rt△C1O1O2中，C1O2＝，所以点O2到A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的距离相等，均为，所以点O2即为正四棱台ABCD－A1B1C1D1外接球的球心，且外接球半径R＝，所以外接球的表面积S'＝4π×()2＝8π，故B错误； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 正四棱台的体积V1＝×(S1＋S2＋)×O1O2＝×(1＋4＋)×，棱长为的正方体的体积V2＝()3＝2，所以＞1，所以V1＞V2，所以正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 7.(多选)“堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 ACD 【解析】由题意，堑堵的体积V1＝，阳马的体积V2＝，鳖臑的体积V3＝，故选ACD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 C 解析】取SC的中点，设为O，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC＝OS，即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则×2r×r2＝，所以r＝3.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 9.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D－ABC，则三棱锥D－ABC体积的最大值为　　　　.此时该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  　　 5π　 【解析】如图1，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵ABCD为等腰梯形，AB＝2，CD＝1.∴BE＝，∴B＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ＝3，即AC＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 ∵AB2＝BC2＋AC2.∴BC⊥AC.易知当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，BC⊥平面ACD.易知∠D＝.∴S△ACD＝AD·CDsin，∴VD－ABC＝×1＝.如图2，记O为外接球球心，半径为R，∵BC⊥平面ACD，OB＝OC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 ∴O到平面ACD的距离d＝，又△ACD的外接圆半径r＝＝1，∴R2＝r2＋d2＝，∴S＝4πR2＝5π，故答案为，5π. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 10.将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为　　　　.  　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 【解析】如图，设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R ＝5. 设圆柱的高为x(0＜x＜10)，圆柱底面圆的圆心为O1，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1＝，圆柱底面圆的半径O1A＝，所以圆柱的体积V＝π·x＝π(0＜x＜10)， 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 则V'＝π，易知函数V＝π(0＜x＜10)在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，圆柱的体积V取得最大值. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第20讲　空间几何体 基础训练 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 Vh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上 ＋S下 VS上＋S下 h 球 S＝4πR2 VR3 题型一　空间几何体的表面积和体积 【例1】　(1) (2022·新课标Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π (2)设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 【解析】设AB＝ED＝2FB＝2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V1·ED·S△ACD·2a··(2a)2a3，V2·FB·S△ABC·a··(2a)2a3.如右上图，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF.又BM＝DMBDa，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG＝BD＝2a，EG＝a，则EMa，FMa，EF3a，EM2＋FM2＝EF2，则EM⊥FM，S△EFMEM·FMa2，AC＝2a，则V3＝VA－EFM＋VC－EFM AC·S△EFM＝2a3，则2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2，故A、B错误； C，D正确. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，4A1B1＝1，AA  【例2－1】　(1)(2022·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别(　　) (2)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.∵S△ABC，∴AB＝6，BMOM⊥平面ABC，∴在Rt△OBM中，OM，∴当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时， 三棱锥D－ABC的体积取得最大值， 且最大值VmaABC×(4＋OM)＝1B. 3.已知圆锥的高为3，底面半径 (　　) A. B. C. D. 【解析】用一个完全相同的五面体HIJ－LMN(顶点与五面体ABC－DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，N；D，M；F，L重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，VABC－DEFVABC－HIJ.故选C. 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，平面ACE将正方体分成体积为V1，V2(V1≤V2)的两部分，则＝　　　　.  【解析】(1)如图，连接A1C1，易知AC∥A1C1.取B1C1的中点H，连接EH，CH，因为E为A1B1的中点，所以EH∥A1C1，得EH∥AC，故E，H，C，A四点共面，即四边形ACHE为平面ACE截正方体所得的截面.易证AE，BB1，CH三线共点，故几何体EB1H－ABC为三棱台，易知BB1⊥平面ABC.设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，V1S△ABC)·BB12，故. 5.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为　　　　.  $$