第20讲 空间几何体（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学小题量检测

精简 全面 专业 高效 -‹#›- 第20讲　空间几何体 第20讲　空间几何体 -‹#›- 第20讲　空间几何体 1.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等 B.五棱锥只有五条棱 C.一个棱柱至少有五个面 D.棱台的各侧棱延长后交于一点 CD 【解析】四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不相等,A错误;五棱锥除了五条侧棱外,底面上还有五条棱,故共10条棱,B错误;一个棱柱最少有三个侧面,两个底面,故至少有五个面,C正确;棱台是由平行于棱锥底面的截面截得,故棱台的各侧棱延长后交于一点,D正确.故选CD. -‹#›- 第20讲　空间几何体 2.如图，圆柱的高为2，四边形ABCD是该圆柱的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D的路径中，最短路径的长为2，则该圆柱的体积是(　　) A.3 B. C.32π D. D 【解析】设圆柱的底面半径为r，则依题意得(πr)2＋22＝(2)2，所以(πr)2＝16，即r＝，所以该圆柱的体积V＝2πr2＝2π×，故选D. -‹#›- 第20讲　空间几何体 3.一个圆锥的母线长为l,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为(　　) A. B. C. D.π D 【解析】圆锥轴截面的母线与轴的夹角为30°,母线长为l,所以底面圆的半径为r＝lsin 30°＝l,所以底面圆的周长为C＝2πr＝πl,所以圆锥侧面展开图的圆心角为α＝＝π. -‹#›- 第20讲　空间几何体 4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.12π B.π C.8π D.4π A 【解析】由正方体的体积为8可知,正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径,即2R＝a(R为正方体外接球的半径),所以R＝,故所求球的表面积S＝4πR2＝12π. -‹#›- 第20讲　空间几何体 5.(多选)a,b是两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,如下有四个命题,其中正确的命题是(　　) A.a⊥α,b∥β,α∥β⇒a⊥b B.a⊥b,a⊥α,α∥β⇒b∥β C.a⊥b,a∥α,α∥β⇒b⊥β D.a⊥α,a∥b,α∥β⇒b⊥β AD 【解析】对于A:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又b∥β,∴a⊥b,故A正确;对于B:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又a⊥b,则b∥β或b⊂β,故B错误;对于C:由a∥α,α∥β,则a∥β或a⊂β,又a⊥b,则b∥β或b⊂β或b与β相交(不垂直)或b⊥β,故C错误;对于D:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又a∥b,∴b⊥β,故D正确;故选AD. -‹#›- 第20讲　空间几何体 6.如图,直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形,AA1＝AB＝2,∠BAD＝60°,M是BB1的中点,则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. D -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】由题意可得,||＝,||＝＝2,cos＜＞＝.故选D. -‹#›- 第20讲　空间几何体 7.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1,动点P在线段BD上,则下述正确的是(　　) A.PC1∥AD1 B.PC1⊥A1C C.PC1⊥平面A1BD D.PC1∥平面AB1D1 BD -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】对A,如图,根据正方体的性质有AB∥D1C1且AB＝D1C1,故ABC1D1是平行四边形,故BC1∥AD1,故当且仅当P在B点时才有PC1∥AD1,故A错误;对B,如图,由正方体的性质可得B1C⊥BC1,A1B1⊥平面BB1C1C,故A1B1⊥BC1,又B1C∩A1B1＝B1,B1C,A1B1⊂平面A1B1CD,故BC1⊥平面A1B1CD,故BC1⊥A1C,同理DC1⊥A1C,故A1C⊥平面BC1D,故PC1⊥A1C,故B正确;对C,当P在B时,∠C1BA1＝60°,故PC1⊥平面A1BD不成立,故C错误;对D,同B有A1C⊥平面AB1D1,故平面BC1D∥平面AB1D1,故PC1∥平面AB1D1成立,故D正确;故选BD. -‹#›- 第20讲　空间几何体 8.已知球O与圆台O1O2的上、下底面及母线均相切，且圆台O1O2的上、下底面半径之比为1∶2，记球O与圆台O1O2的表面积分别为S1，S2，则(　　) A.S1＝S2 B.S1＝ C.S1＝S2 D.S1＝S2 B -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】作出圆台O1O2与球O的轴截面如图所示，连接O1O2，则O为O1O2的中点，设球O的半径为R，圆台O1O2的上、下底面半径分别为r，2r，则圆台的母线长为3r，高为2r，所以R＝r，则R2＝2r2，则S1＝4πR2＝8πr2，S2＝πr2＋4πr2＋9πr2＝14πr2，故，即S1＝S2，故选B. -‹#›- 第20讲　空间几何体 9.如图,圆锥的母线长为4,点M为母线AB的中点,从点M处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B点,这条绳子的长度最短值为2,则此圆锥的表面积为(　 　) A.4π B.5π C.6π D.8π B -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】设底面圆半径为r,由母线长为4,所以侧面展开扇形的圆心角为α＝;将圆锥侧面展开成一个扇形,从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B,最短距离为BM,如图所示:在△ABM中,由余弦定理得,BM的长度为:BM＝＝2,解得cos ＝0,所以r＝1,所以圆锥的表面积为S＝π×12＋π×1×4＝5π. -‹#›- 第20讲　空间几何体 10.在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA＝AB＝2,BC＝2,则三棱锥P－ABC外接球的表面积为(　　 ) A.8π B.12π C.16π D.32π C -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】因为三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,不妨将三棱锥放入一个长方体中,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,长方体的体对角线即为其外接球的直径,因为PA＝AB＝2,BC＝2,则长方体的长、宽、高分别为2,2,2,所以三棱锥P－ABC外接球的半径R＝＝2,故三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝16π. -‹#›- 第20讲　空间几何体 11.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P􀆼ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA＝AB＝2,AC＝4,三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(　　) A.8π B.12π C.20π D.24π C -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】如图所示,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R＝PC＝,所以R＝,球O的表面积为4πR2＝20π,故选C. -‹#›- 第20讲　空间几何体 12.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，则下列结论正确的是(　　) A.三棱锥B1－C1D1P的体积为定值 B.存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1 C.若D1P⊥B1D，则点P的轨迹长度为2 D.若点P是AB的中点，点Q是BC的中点，则经过D1，P，Q三点的平面截正方体所得截面的周长为2＋3 AC -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】对于A，由等体积法得，三棱锥P－B1C1D1的高为BB1＝2，×2×2＝2，所以×2×2＝，所以三棱锥B1－C1D1P的体积为定值，故A正确.对于B，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，设P(x，y，0)，0≤x≤2，0≤y≤2，由题得C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，所以＝(x，y，－2)， ＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0)，假设存在点P，使得 D1P⊥平面A1BC1，则D1P⊥A1B，D1P⊥A1C1，即＝ 2y＋4＝0，＝－2x＋2y＝0，解得x＝y＝－2，不满足 0≤x≤2，0≤y≤2，假设不成立，故B错误. -‹#›- 第20讲　空间几何体 对于C，由上知＝(－2，－2，－2)，若D1P⊥B1D，则＝－2x－2y＋4＝0，即x＋y＝2，所以点P的轨迹是线段AC，AC＝＝2，故C正确.对于D，连接PQ并延长，交DC的延长线于N，连接D1N交CC1于F，连接QF，延长QP交DA的延长线于M，连接D1M交AA1于E，连接PE，则五边形D1EPQF即为经过D1，P，Q三点的平面截正方体所得的截面，如图②，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则AP＝1，∠APM＝∠BPQ＝45°，则△AMP为等腰直角三角形，则AM＝1，易知△AME∽△A1D1E，得，则A1E＝，AE＝，则D1E＝，PE＝， 同理可得D1F＝，QF＝，而PQ＝，所以五边形D1EPQF 的周长为2×＝2，故D错误.故选AC. -‹#›- 第20讲　空间几何体 13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为　　　　.  【解析】设正方体棱长为a,球半径为R,则πR3＝,∴R＝,∴a＝3,∴a＝. -‹#›- 第20讲　空间几何体 14.如图,在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA＝AB＝2,若三棱锥的外接球体积为4π,则△ABC的面积为　　　　.  2 -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】如图,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB＝A,∴BC⊥平面PAB,可得BC⊥PB,取PC的中点O,连接OA,OB,则OA＝OB＝OP＝OC, 可得O为三棱锥的外接球的球心,由三棱锥的外接球体积为4π, 得π×OP3＝4π,解得OP＝,则PC＝2,∴AC＝＝2,在Rt△ABC中,又AB＝2,∴BC＝2,可得S△ABC＝×2×2＝2. -‹#›- 第20讲　空间几何体 15.在三棱锥A－BCD中,AB⊥AD,AB＝2,AD＝2,BC＝CD＝2,当三棱锥A－BCD的体积最大时,三棱锥A－BCD外接球的体积与三棱锥A－BCD的体积之比为　　　 　.  8π∶　 -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】如图所示,当平面BCD⊥平面ABD时,三棱锥A－BCD的体积最大. 取BD的中点O,连接OA,OC, 因为AB⊥AD,AB＝2,AD＝2,所以BD＝4,则OB＝OD＝OA＝2.又BC＝CD＝2, 所以BC2＋CD2＝BD2,所以BC⊥CD,所以OC＝2, 所以三棱锥A－BCD的外接球半径R＝2. V球＝πR3＝×2×2×2＝, 所以三棱锥A－BCD外接球的体积与三棱锥A－BCD的体积之比为8π∶. -‹#›- 第20讲　空间几何体 16.正三棱锥P－ABC的侧棱长为,底面棱长为2,则三棱锥P－ABC内切球的表面积是　　　　.  -‹#›- 第20讲　空间几何体 【解析】如图所示,设顶点P在底面ABC内的射影为O,连接AO,PO, 在正三角形ABC中,AO＝×2＝2,则在直角三角形APO中,OP＝,三角形ABC的面积为S＝×(2)2＝3,取AB的中点M,连接PM,则PM⊥AB,   -‹#›- 第20讲　空间几何体 则在直角三角形PAM中,PM＝＝2,所以三角形PAB的面积为S'＝×2×2＝2,设正三棱锥P－ABC的内切球半径为R,则由等体积法可得:×OP×S＝3××R×S'＋×R×S,即×3＝3R×2＋R×3,解得R＝,所以内切球的表面积为4πR2＝4π×. -‹#›- 第20讲　空间几何体 谢 谢 观 看 -‹#›- 第20讲　空间几何体 $$