第19讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学小题量检测

精简 全面 专业 高效 -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 解答题(每题12分,共48分) 1.某校举办“学党史”知识测试活动,每位教师3次测试机会,规定按顺序测试,一旦测试合格就不必参加以后的测试,否则3次测试都要参加.甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过,且他直到第二次测试才合格的概率为,乙教师3次测试每次测试合格的概率均为,每位教师参加的每次测试是否合格相互独立. (1)求甲教师第一次参加测试就合格的概率P; (2)设甲教师参加测试的次数为m,乙教师参加测试的次数为n,求ξ＝m＋n的分布列. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 【解析】(1)由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列,甲教师第一次参加测试就合格的概率为P,故甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是P＋、P＋,由题意知,(1－P),解得P＝或P＝(舍), ∴甲教师第一次参加测试就合格的概率为. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (2)由(1)知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是,由题意知,ξ的可能取值为2,3,4,5,6,由题意可知P(ξ＝2)＝P(m＝1,n＝1)＝, P(ξ＝3)＝P(m＝1,n＝2)＋P(m＝2,n＝1)＝, P(ξ＝4)＝P(m＝1,n＝3)＋P(m＝2,n＝2)＋P(m＝3,n＝1) ＝,P(ξ＝5)＝P(m＝2,n＝3)＋P(m＝3,n＝2) ＝,P(ξ＝6)＝P(m＝3,n＝3)＝,∴ξ的分布列为: ξ 2 3 4 5 6 P -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 2.为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成. (1)求小明至少正确完成其中3道题的概率； (2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望； (3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (1)　(2)分布列见解析，3　(3)选择小宇，理由见解析 -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 【解析】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则P(A)＝. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (2)X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， P(X＝4)＝，X的分布列为； 数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝3. x 2 3 4 P -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P(A)＝；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则P(B)＝；∵P(B)＞P(A)，故小宇进决赛的可能性更大，∴应选择小宇去参加比赛. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 3.人勤春来早，实干正当时.某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高.已知这批产品的质量指标X~N(80，σ2)，当X∈(60，100)时产品为正品，其余为次品.生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件.若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件. (1)若某客户买到的10件产品中恰有2件次品，现从中任取3件，求被选中的正品数量Z的分布列和数学期望. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (2)已知P(X≤60)＝0.02，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x(x＞0)元.产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售.假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案.方案一：全部检测；方案二：抽样检测.若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 【解析】(1)由题意可知Z的可能取值为1，2，3，P(Z＝1)＝，P(Z＝2)＝，P(Z＝3)＝.所以Z的分布列为 Z 1 2 3 P 所以E(Z)＝1×＋2×＋3×. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (2)因为X~N(80，σ2)且P(X≤60)＝0.02，所以P(X≥100)＝0.02.所以这批产品的次品率为0.04.设该工厂生产的这批产品有n(n∈N*)件，记Y为这批产品的次品数量，则Y~B(n，0.04)，E(Y)＝0.04n.若这批产品不检测，设该工厂的利润的期望为y1，则y1＝n×(40－20)－0.04n×50＝18n.若选择方案一，设该工厂的利润的期望为y2，则y2＝0.96n×(40－20)－nx－0.04n×20＝18.4n－nx，令y2＞y1，得0＜x＜0.4.若选择方案二，假设抽样检测m(m∈N*，m＜n)件，则检测出的次品的期望为0.04m，不检测的产品有(n－m)件，设该工厂的利润的期望为y3，则y3＝18.4m－mx＋18(n－m)＝(0.4－x)m＋18n.令y3＞y1，得0＜x＜0.4.则y3－y2＝(n－m)(x－0.4)，因为0＜x＜0.4，且m＜n，所以y3＜y2.所以x的取值范围是(0，0.4)，并从工厂盈利的角度应选择方案一. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 4.某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车,生产每辆轿车都需要安装一个配件M,其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要,其余的要向甲、乙两个配件厂家订购.已知本厂生产配件M的成本为500元/件,从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件,该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件. (1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量; (2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%,2%和1%,求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率; (3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题,需要返厂维修,维修费用为14000元,若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担,则它们各自应该承担的维修费用分别为多少? -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 【解析】(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a,则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8－a,由已知可得600a＋(0.8－a)800＋500×0.2＝640,解得a＝0.5.所以需要从甲厂订购配件M的数量为10×0.5＝5万个;从乙厂订购配件M的数量为10×(0.8－0.5)＝3万个. (2)由(1)知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5,0.3,0.2, 所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为0.5×0.04＋0.3×0.02＋0.2×0.01＝0.028, 所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 (3)设A＝“该轿车使用了次品配件M”,B1＝“配件M来自甲厂”,B2＝“配件M来自乙厂”,B3＝“配件M来自本厂”.由(2)可知P(A)＝0.028. 该次品配件M来自甲厂的概率为:P(B1|A)＝, 该次品配件M来自乙厂的概率为P(B2|A)＝, 该次品配件M来自本厂的概率为P(B3|A)＝, 所以甲厂应承担的费用为14000×＝10000元,乙厂应承担的费用为14000×＝3000元,本厂应承担的费用为14000×＝1000元. -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 谢 谢 观 看 -‹#›- 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 $$