第19讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 1.离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 2.离散型随机变量X的均值与方差 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 3.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数). (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 4.条件概率与事件的相互独立 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立. (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)·P(B). ②如果事件A与B相互独立，那么AB 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)条件概率 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 5.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X 0 1 … m P … 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【注意】正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 题型一　离散型随机变量的分布列的性质与均值 【例1－1】　设离散型随机变量X的分布列为 求2X＋1的分布列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 【解析】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3.首先列表为： 从而2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【例1－2】　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 因此X的分布列为 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【规律方法】 (1)离散型随机变量分布列性质的应用 ①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；②若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列. (2)求离散型随机变量X的均值的方法 ①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列；④由均值的定义求E(X). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X －1 0 1 P a b c 变式训练一 1.随机变量X的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝　　　　，公差d的取值范围是　　　　.  　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 2.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为(　　) A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1 C 【解析】 由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 3.2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100)分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (1)求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数； (2)现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P(X＝2)； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量(单位：本)及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】(1)因为0.025＋0.15＋0.20＝0.375，0.025＋0.15＋0.20＋0.25＝0.625，所以中位数位于[60，70)之间，设这200名同学竞赛成绩的中位数为x，则0.025＋0.15＋0.20＋0.025(x－60)＝0.5，解得x＝65. 竞赛成绩不低于80分的学生人数为200×(0.10＋0.05)＝30. (2)由题意可知，按分层抽样抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3人， 所以P(X＝2)＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)设这名同学获得书籍的数量为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，8. P(ξ＝2)＝； P(ξ＝4)＝； P(ξ＝6)＝； P(ξ＝8)＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 ξ 2 4 6 8 P 所以ξ的分布列为 E(ξ)＝2×＋4×＋6×＋8×. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 4.甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为p(0＜p＜1)，乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互独立. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】(1)因为进行了5场比赛，所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢4场，乙嬴1场；甲赢3场，乙赢2场；甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场. 5场比赛不同的输赢情况有种，即28种. ①若甲赢4场，乙赢1场；甲获得全部奖金8000元； ②若甲赢3场，乙赢2场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得6000元奖金； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 ③若甲赢2场，乙赢3场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得2000元奖金； ④甲赢1场，乙赢4场.甲没有获得奖金. 设甲可能获得的奖金为X元，则甲获得奖金的所有可能取值为8000，6000，2000，0， P(X＝8000)＝； P(X＝6000)＝； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 P(X＝2000)＝； P(X＝0)＝. 所以甲获得奖金数X的分布列为 X 8000 6000 2000 0 P 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢. 当Y＝3时，乙以4∶2赢，P(Y＝3)＝(1－p)3； 当Y＝4时，乙以4∶3赢，P(Y＝4)＝p(1－p)3＝3p(1－p)3； 所以，乙赢得全部奖金的概率为P(A)＝(1－p)3＋3p(1－p)3＝(1＋3p)(1－p)3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 设f(p)＝(1＋3p)(1－p)3. f'(p)＝3(1－p)3＋(1＋3p)·3(1－p)2(－1)＝－12p(1－p)2. 因为≤p＜1所以f'(p)＜0，所以f(p)在上单调递减， 于是f(p)max＝f＝0.0272＜0.05. 故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件. 所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 题型二　离散型随机变量的均值与方差的应用 【例2】　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 X 20 60 P 0.5 0.5 ∴顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元. ∴先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，∵60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，∴可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1元，则X1的分布列为 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2元，则X2的分布列为 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【规律方法】利用均值与方差解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来.(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 变式训练二 　为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； (2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 　【解析】(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 ξ 0 1 2 P (2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以ξ的分布列为 故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 题型三　超几何分布与二项分布 【例3－1】　PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均 值(微克/ 立方米) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【规律方法】求超几何分布的分布列的步骤 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【规律方法】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率. (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 变式训练三 1.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 2.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图如图. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2， X服从超几何分布. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B，P(X＝k)＝， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 所以P(Y＝0)＝， P(Y＝1)＝， P(Y＝2)＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 题型四　均值与方差在决策中的应用与正态分布 【例4－1】　(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(u.σ2)，P(Z＜u＋σ)≈0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)＜0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)＜0.8 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【规律方法】正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1的性质. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 变式训练四 1.(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝　　　　.  0.14 【解析】因为X~N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.故答案为0.14. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 2.(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 3.下图是随机调查某城市1000名有固定工作的市民月收入状况所得的频率分布直方图： (1)以频率估计概率，在该市任取一人，其月收入以所在区间的中点值为代表，记为X，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X)(计算结果保留小数点后一位). (2)从频率分布直方图上看，该市具有固定工作的市民月收入近似服从正态分布，以样本估计总体的思想，用样本的数学期望估计μ，用样本的方差估计σ2，就上述正态分布求解下列问题： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】(1)依题意得X＝2，4，6，8，10 由频率分布直方图得每段的频率依次为0.1，0.25，0.3，0.2，0.15. 所以频率估计概率得 P(X＝2)＝0.1，P(X＝4)＝0.25，P(X＝6)＝0.3，P(X＝8)＝0.2，P(X＝10)＝0.15. 其分布列为 X 2 4 6 8 10 P 0.1 0.25 0.3 0.2 0.15 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 所以E(X)＝0.1×2＋0.25×4＋0.3×6＋0.2×8＋0.15×10＝6.1， D(X)＝0.1×(2－6.1)2＋0.25×(4－6.1)2＋0.3×(6－6.1)2＋0.2×(8－6.1)2＋0.15×(10－6.1)2＝2×(0.05×4.12＋0.125×2.12＋0.15×0.12＋0.1×1.92＋0.075×3.92)＝2×2.9＝5.8. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)依题意X~N(6.1，2.42)，μ＝6.1，σ＝2.4， ①由μ＋σ＝8.5，知p(X≥8.5)＝＝0.1587； ②依题意，Y~B(100，0.1587)，故Y的数学期望为E(Y)＝100×0.1587＝15.87≈16. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 C 【解析】 由题意得P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝，所以E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，故E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝11. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 2.设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X＞a－2)，则实数a的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B 【解析】 因为随机变量X~N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X＞a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 D 【解析】 由题意，P(X＝2)＝p2(1－p)2＝， 即p2(1－p)2＝，解得p＝或p＝，因为0＜p＜，故p＝， 故P(X＝1)＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 AB 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】对于A，若X服从二项分布B，则E(X)＝4×，故A正确；对于B，X服从超几何分布，E(X)＝，故B正确；对于C，若X的方差为D(X)，则D(2X－3)＝22D(X)＝4D(X)，故C错误；对于D，若X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.7，则P(1＜X＜5)＝2P(3＜X＜5)＝2×(0.7－0.5)＝0.4，故D错误.故选AB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝， 第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝， ∴P(B|A)＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】 由已知条件可得P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2 ＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p＜， 又p∈(0，1]，可得p∈. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 BD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】设答对的题目数为Y，则Y~B，X＝20Y－10(5－Y)＝30Y－50.对于A，该选手恰好答对2道题的概率为，故A错误；对于B，E(Y)＝5×，则E(X)＝E(30Y－50)＝30×E(Y)－50＝30×－50＝50，故B正确；对于C，D(Y)＝5×，则D(X)＝D(30Y－50)＝302×D(Y)＝900×＝1000，故C错误；对于D，P(X＞60)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝，故D正确.故选BD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 8.(多选)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下. 在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到优质品，则(　 ) A.P(A1)＝0.50 B.P(B|A2)＝0.90 C.P(BA3)＝0.70 D.P(B)＝0.81 ABD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 【解析】依题意可得 P(A1)＝0.50，P(B|A2)＝0.90，P(B|A3)＝0.70，P(A3)＝0.20，∵P(B|A3)＝， ∴P(BA3)＝P(B|A3)·P(A3)＝0.70×0.20＝0.14，P(B)＝0.5×0.8＋0.3×0.9＋0.2×0.7＝0.81.故选ABD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 9.乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20 品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率； (2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 10.为深入学习党的二十大精神，某校团委组织学生开展了知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们的竞赛成绩的分布情况，如下表： 成绩 (分) ［40，50) ［50，60) ［60，70) ［70，80) ［80，90) ［90，100］ 人数 2 4 22 40 28 4 (1)估计抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 (2)现发现该校参赛学生的竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.若μ－σ＜X≤μ＋2σ，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若X>μ＋2σ，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若该校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)； ②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第19讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 基础训练 均值(数学期望) 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn D(Xxi－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均水平 刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方X的标准差 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|AA发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) X 0 1 2 3 4 P 奖品数量/本 2 4 概率 X1 20 60 100 P X2 40 60 80 P 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 【例3－2】　某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各2株.假定银杏移栽的成活率为，垂柳移栽的成活率为，且各株大树是否成活互不影响. (1)求两种大树各成活1株的概率； (2)设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列. 【解析】(1)记“银杏大树成活1株”为事件A，“垂柳大树成活1株”为事件B，则“两种大树各成活1株”为事件AB. 由题可知P(A)，P(B)， 由于事件A与B相互独立， ∴P(AB)＝P(A)·P(B) ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 【解析】依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.1).故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y＜2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误；因为X~N(1.8，0.1)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X＜1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)~1－0.8413＝0.1587＜0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2*0.1)＜P(X>1.8＋0.1)＜0.2，B正确，A错误，故选BC. 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1，X2，X3，X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率P(Xk＝1)，所以E(Xk)(k＝1，2，3，4).从而E(X)＝E(X1＋X2＋X3＋X4)E(Xk).记pk＝P(X＝k)(k＝0，1，2，3).如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p0；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p3.而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0＋p1＋p2＋p3＝1，p1＋2p2＋3p3＝E(X).所以p1＋p21，p1＋2p2，两式相减即得p2，故p2＋p3.所以甲的总得分不小于2的概率为p2＋p3.故答案为. 1.已知随机变量X的分布列为P(X＝kk＝1，2，3，则E(3X＋5)＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.9 C.11 D.14 【解析】(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.记事件A＝“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”，事件B＝“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A). (2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0123. 【解析】(1)由题意，估计抽取的100名学生竞赛成绩的平均数45556575859575，故估计抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2＝(45－75)2(55－75)2(65－75)2(75－75)2(85－75)2(95－75)2100. (2)因为μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，所以μ≈75，σ2≈100，则σ≈10.①因为竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，所以估计参赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率为P(μ－σ＜X≤μ＋2σ)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.68270.9545＝0.8186，又3000×0.8186＝2455.8≈2456，所以估计获得“参赛纪念证书”的学生人数约为2456.②当X＞μ＋2σ，即X＞95时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”. $$