第18讲 排列组合、二项式定理（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 第18讲　排列组合、二项式定理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 1.加法原理与乘法原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (3)分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 2.排列与组合 (1)排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)排列数与组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (3)排列数、组合数的公式及性质 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 3.二项式定理 (1)二项式定理 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)二项式系数的性质 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 题型一　加法与乘法原理 【例1】　(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(　　) A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A.400种 B.460种 C.480种 D.496种 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】 (1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法； 另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法. 由分类计数原理可得： 从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法.由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种). 【答案】(1)B　(2)C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【规律方法】 (1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理；注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化. (2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 变式训练一 1.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A.15 B.30 C.35 D.42 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】 发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有＝10(种).所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为(　　) A.240 B.204 C.729 D.920 A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】 若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0.“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 题型二　排列与组合 【例2－1】　3名女生和5名男生排成一排. (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻，有多少种排法? (3)如果女生不站两端，有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法? (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【例2－2】　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种? (3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种? (4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【例2—3】　4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【规律方法】 (1)求解有限制条件排列问题的主要方法 直接法   分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)解决有限制条件排列问题的策略 ①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置； ②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (3)含有附加条件的组合问题的解法 ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (4)解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(或位置)的性质进行分类； ②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 变式训练二 1.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法；若2个0不相邻，则有＝10种排法， 所以2个0不相邻的概率为.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 2.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 (　　) D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】初中部和高中部总共有400＋200＝600(人)，按照分层抽样的原理，应从初中部抽取×60＝40(人)，从高中部抽取×60＝40(人)，第一步：从初中部抽取40人，有种方法，第2步：从高中部抽取20人，有种方法，根据分步计数原理，一共有种方法；故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 3.(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 24 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，2231，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.故答案为24；112. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【答案】20 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【例3－2】　在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【规律方法】 (1)与二项展开式有关问题的解题策略 ①求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项； ②求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可. ③已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 (2)赋值法的应用 ①形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可； ②对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 变式训练三 A.－6 B.－15 C.6 D.15 A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝x6－r＝(－a)rx6－2r，当r＝3时，为常数项.则(－a)3＝－20⇒a＝1，令6－2r＝4，得r＝1，所以含x4项的系数为(－1)1＝－6.故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 2.若(1＋ax2)·(2－x)4的展开式中x3的系数为8，则实数a的值是(　　) A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】(2－x)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝·24－r·(－1)r·xr， 则1×(2－x)4的展开式中含有x3的项为·21·(－1)3·x3＝－8x3， ax2×(2－x)4的展开式中含有x3的项为ax2×·23·(－1)1·x1＝－32ax3，则－8－32a＝8，解得a＝－.故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 A.－20 B.－10 C.10 D.20 C 【解析】 令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以(ax＋) (2x－1)5＝(x＋)(2x－1)5，则展开式中常数项为(2x－1)5展开式中x项的系数，即2(－1)4＝10.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 112 【解答】()n的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8， 通项公式为·(－2)r·＝(－2)r·，令＝0，求得r＝2， 可得二项展开式中常数项等于4×＝112. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 A.－32 B.－88 C.88 D.152 C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】表示5个因式的乘积，要得到常数项，有2种情形： (1)5个因式中每一个因式都取－2，可得到常数项，它的值为(－2)5＝－32； (2)5个因式中，有2个因式取，一个因式取x2，其余的因式都取－2， 则·(－2)2＝120，综上可得，常数项的值为－32＋120＝88.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 6.(多选)若x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则(　　) A.a0＝0 B.a3＝10 C.a1＋a2＋…＋a5＝1 D.a1＋a3＋a5＝－16 BC 【解答】x5＝[－1＋(1＋x)]5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，可得a0＝－1，a1＝5，a2＝－10，a3＝10.a4＝－5，a5＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 40 【解析】由2x·(－2x)2＋(－2x)4＝40x3，所以x3的系数为40.故答案为40. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 2.将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有(　　) A.56种 B.84种 C.112种 D.28种 C 【解析】 根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有种分组方法；若一组3支，另一组4支，有种分组方法.然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(＝112种放法. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 3.某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排法共有 (　　) A.72种 B.144种 C.288种 D.432种 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 A.84 B.－252 C.252 D.－84 A 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 【解析】 由题意可得＝36，∴n＝9. ∴的展开式的通项为 Tr＋1＝·99－r·，令9－＝0， 得r＝6.∴展开式中的常数项为×93×＝84. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 5.为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学(包含甲)平均分配到三个区域(分别编号为1，2，3)进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号区域，则不同的分配方法有(　　) A.560种 B.280种 C.840种 D.1120种 A 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 6.旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为(　　) A.24 B.18 C.16 D.10 D 【解析】 第一类，甲景区在最后一个体验，则有种方法；第二类，甲景区不在最后一个体验，则有种方法，所以小李旅游的方法共有＝10(种)，故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 BCD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 8.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　) A.15 B.20 C.30 D.42 C 【解析】 四个篮球中两个分到一组有种分法，三组篮球进行全排列有种，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有＝36－6＝30(种)分法. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 9.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为　　　　.  24　 【解析】 先排三个空椅子，形成4个间隔，然后插入3个坐人的椅子，故有＝24(种). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 10.在(x2－x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A.－10 B.10 C.－30 D.30 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第18讲　排列组合、二项式定理 基础训练 公式 (1n－1)(n－2)…(n－m＋1 (2n，m∈N*，且m≤n).特别 性质 (1)0!＝1 (2 ①二项式定理：(a＋b)nb＋n∈N*)； ②通项公式：Tr＋r＋1项； ③二项式系数：二项式展开式中各项的系数… 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等， 增减性 二项式 系 当kn∈N*)时，是递增的 当kn∈N*)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一 当n为奇数时，中间的两 (3)各二项式系数和 ①(a＋b)n展开式的各二项式系数和n. ②偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，＝2n－1. 【解析】 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排，而其中每一种排法中，三个女生间又，因此共320(种)不同排法. (2)(插空法)先排5个男生，，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，，因此共400(种)不同排法. (3)【解法一】(位置分析法)　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，，剩余的位置没有特殊要求，，因此共400(种)不同排法. 【解法二】(元素分析法)　从中间6个位置选3个安排女生，，其余位置无限制，，因此共400(种)不同排法. (4)8名学生的所有排列，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其，∴符合要求的排法种数160(种). 【解法一】(特殊元素法)　甲在最右边时，其他的可全排，；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，，其余人全排列，共 由分类加法计数原理，共960(种). 【解法二】(特殊位置法)　先排最左边，除去甲外，，余下7个位置全排，，但应剔除乙在最右边时的排，因此共960(种). 解法三(间接法)　8个人全排，，其中，不合条件的有甲在最左边时，，乙在最右边时，，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，因此共960(种). 【解析】 (1)从余下的34种商品中，选取2种(种)， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中，选取3种，984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)选取2件假货，选取3件假货，共有选取方100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (4)选取3件的总数，因此共有选取方式 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 【解析】 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法?”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共(种). (3)确定2个空盒 4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组；第二类有序均匀分组故共()＝84(种). A A C 题型三　二项式 【例3－1】　(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为　　　　.  【解析】因为的展开式的通项为Tr＋1＝＝36－2rx6(r－3)，r＝0，1，…，6，令6(r－3)＝0，可得r＝3，所以常数项为30＝20.故答案为20. (1)二项式系数的和 (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和， 偶数项的二项式系数和＝29. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， ∴奇数项系数和； ①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶数项系数和 (5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a； x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a1 ③若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋ 1.二项－20，则含x4项的系数为(　　) A 2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 (　　) 45项的二项式系数最大，则二项展开式中常数项等于　　　　.  (　　) 1－2x)4的展开式中x3的系数为　　　　.  【解析】(1)除甲、乙、丙外的3个人排成一排有6(种)排法，再将甲、乙2个人插空，有12(种)排法，最后排丙，丙不在两端，则丙有4种排法，故共有6×12×4＝288(种)不同的排法.故选C. 4n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为 (　　) 【解析】第一步，将9名同学平均分成3组，有种分法；第二步，含有甲同学的一组打扫1号区域，其他两组分别负责2，3号区域，有种分法.由分步乘法计数原理可知，不同的分配方法共有560(种).故选A. 7.(多选)已知的展开式中的第三项的系数为45，则(　 　) A.n＝9 B.展开式中所有项的系数之和为1024 C.展开式中二项式系数最大的项是第6项 D.展开式中含x3的项是第7项 【解析】的展开式的第三项为T3)2，所以第三项的系数为45，所以n＝10，故A错误；，令x＝1，得展开式中所有项的系数之和为210＝1024，故B正确；展开式中总共有11项，则二项式系数最大的项是第6项，故C正确；的展开式的通项为)r，令3，解得r＝6，所以展开式中含x3的项是第7项，故D正确.故选BCD. 【解析】(x2－x＋y)5＝［(x2－x)＋y]5，其展开式的通项为(x2－x·yr，令r＝2，得T3(x2－x)3·y2，而(x2－x)3的展开式的通项为(x2·(－x)k＝(－1)k，令k＝1，则(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(－1)130. $$