第17讲 抽样方法与总体分布的估计（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 精简 全面 专业 高效 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 1.抽样方法 从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查.调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本. (1)简单的随机抽样 简单随机抽样的概念 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 ②简单随机抽样的特点是：不放回抽样，逐个地进行抽取，各个个体被抽到的概率相等； ③简单随机抽样方法体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 简单抽样常用方法 ①抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 适用范围：总体的个体数不多. 优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法. ②随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)分层随机抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.用样本估计总体 (1)频率分布直方图 可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)百分位数与总体百分位数的估计 ①第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. ②可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (3)众数、中位数和平均数与总体集中趋势的估计 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (4)总体集中趋势的估计 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.两变量间的相关关系与统计案例 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线. (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 当r＞0时，表明两个变量正相关； 当r＜0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 4.非线性回归分析 (1)对于非线性回归分析问题，如果给出了经验公式可直接利用换元，使新元与y具有线性相关关系，进一步求出，，对新元的线性回归方程，换回x即可得y对x的回归曲线方程. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时按以下步骤求回归方程： ①画出已知数据的散点图，看是否是线性回归分析问题，如果不是，把它与必修数学中学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把非线性回归分析问题化为线性回归分析问题. ②作相关性检验，即判断寻找线性回归方程是否有意义. ④代回x得y对x的回归曲线方程. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练   Y1 Y2 合计 X1 a b a＋b X2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 5.独立性检验 (1)独立性检验 通过2×2列联表， 再通过卡方统计量公式计算K2的值，利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)变量独立性的判断 通过对K2统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841和6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： ①如果K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的。 ②如果K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与事件B有关； ③如果K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与事件B有关； 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (3)独立性检验的基本步骤及简单应用 要推断“A与B是否有关”，可按下面步骤进行： ①提出统计假设H0：事件A与B无关(相互独立)； ②抽取样本(样本容量不要太小，每个数据都要大于5)； ③列出2×2列联表； 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 ⑤统计推断：当K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关； 当K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关； 当K2＞10.828时，有99.9%的把握说事件A与B有关； 当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 题型一　简单随机抽样 【例1】　下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的 有　　　　.  ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本. ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里. ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验. ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 ①不是简单随机抽样.由于被抽取的样本总体的个数是无限的，而不是有限的。②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样. 【答案】 ①②③④ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况. (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 变式训练一 1.某校高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19， 35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.27 B.26 C.25 D.24 A 【解析】 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 B 【解析】 由题意，这批米内夹谷约为1 534×≈169(石). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.某年级有1 000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是(　　) A.0116 B.0927 C.0834 D.0726 B 【解析】 样本间隔为1 000÷200＝5，因为122÷5＝24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5＝23余1，927÷5＝185余2，834÷5＝166余4，726÷5＝145余1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 4.2015年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，某网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198 000人；家居用品94 000人；化妆品116 000人；家用电器92 000人.为了解消费者对商品的满意度，此网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为(　　) A.92 B.94 C.116 D.118 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则，解得x＝94. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 题型二　分层抽样 【例2】　(1)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【答案】 (1)18　(2)42 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】分层抽样问题的解题策略 (1)确定抽样比.可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比. (2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本数(或总体数). (3)求各层的样本数.可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 变式训练二 1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是(　　) A.8 B.10 C.12 D.15 B 【解析】 因为50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，抽到的女生有4名，所以本次调查抽取的人数是50×＝10，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.某校共有高一、高二、高三学生1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为(　　) A.84 B.78 C.81 D.96 B 【解析】 设高三人数为x，由480＋(30＋x)＋x＝1 290可得x＝390，分层抽样为按比例抽样则样本中的高三学生人数为×96＝78.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何?”其意思为：“今某地北面有若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层抽样的方法)，则北面共有多少人?”(　　) A.8000 B.8100 C.8200 D.8300 B 【解析】设北面人数为x，根据分层抽样，可得，解得x＝8100人.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 题型三　样本估计总体 (一)频率分布直方图(高频考点) 频率分布直方图是高考的热点，选择题、填空题、解答题都有可能出现.难度一般较小. 高考对频率分布直方图的考查主要有以下三个命题角度：①求样本的频率、频数；②求样本的平均数、众数、中位数；③与概率结合考查某区间内的个体被选中的概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【例3】　(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表 亩产量 ［900，950) ［950，1000) ［1000，1050) ［1100，1150) ［1150，1200) 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B.100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【答案】C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系： ①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 变式训练三 1.某平台招聘外卖骑手，该平台提供了两种日工资方案：方案①，规定每日底薪为50元，骑手每完成一单业务提成3元；方案②，规定每日底薪为100元，前44单业务没有提成，从第45单业务开始，骑手每完成一单业务提成5元.该平台记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (1)随机选取一天，估计这一天该平台的骑手人均日业务量不少于65单的概率； (2)若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案①，丁、戊选择了日工资方案②，现从上述5名骑手中随机选取2名，求至少有1名骑手选择日工资方案②的概率； (3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做日工资方案的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)由图知，该平台的骑手人均日业务量不少于65单的频率为0.2＋0.15＋0.05＝0.4，∴随机选取一天，估计这一天该平台的骑手人均日业务量不少于65单的概率为0.4. (2)∵从5名骑手中随机选取2名的基本事件总数n＝＝10， 至少有1名骑手选择日工资方案②的基本事件个数m＝＝7，∴所求概率P＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (3)由图知，该平台的骑手人均日业务量的平均数是30×0.05＋40×0.05＋50×0.2＋60×0.3＋70×0.2＋80×0.15＋90×0.05＝62(单)， ∴方案①的日工资约为50＋62×3＝236(元)，方案②的日工资约为100＋(62－44)×5＝190(元)，故新聘骑手应选择方案①. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 8 14 10 6 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)如图所示. 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图(如图)估计该地接种年龄的中位数为(　　) A.40 B.39 C.38 D.37 C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】年龄位于[18，24)的频率为0.013×6＝0.078， 年龄位于[24，30)的频率为0.023×6＝0.138， 年龄位于[30，36)的频率为0.034×6＝0.204， 年龄位于[36，42)的频率为0.040×6＝0.240， 因为0.078＋0.138＋0.204＝0.42＜0.5， 而0.078＋0.138＋0.204＋0.240＝0.42＝0.66＞0.5， 所以中位数位于[36，42)，设中位数为x， 则0.078＋0.138＋0.204＋(x－36)×0.04＝0.5， 解得x＝38.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 题型四　用样本的数字特征估计总体的数字特征 　　样本的数字特征是每年高考的重点，且多与频率分布直方图、茎叶图相结合考查.主要命题角度有：①数字特征的计算；②用样本的数字特征解决生活中的优化问题. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【例4】　(2023·全国乙卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 ∵没有确定2(x1＋x6)，x5＋x2＋x3＋x4的大小关系，∴无法判断m，n的大小，例如：1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2；例如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，nA错误；对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均，故B正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 对于选项C：∵x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：2，4，6，8，10，12，则平均数n(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2， 当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确；故选BD. 【答案】BD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】样本数字特征及公式推广 (1)平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述.平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 变式训练四 D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 由题图知mo＝5. 由中位数的定义知me应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，所以me＝＝5.5. ≈ 5.97＞5.5，所以mo＜me＜. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 2.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 (1)＝552.3， ＝541.3， ＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝ ＝61 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)由(1)知：＝11，2＝2，故有≥2， ∴认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5， 所以直方图中x的值为0.007 5. (2)月平均用电量的众数是＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 题型五　两变量间的相关关系与统计案例 (一)回归分析 【例6－1】　(1)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确的序号为　　　　.  ①x，y是负相关关系； ③x、y之间不能建立线性回归方程. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)(2024·天津卷)下列图中，相关性系数最大的是(　　) A B C D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3图更接近1.故选A. 【答案】(1)①②　(2)CD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】最小二乘估计的三个步骤 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 变式训练五(一) 1.国家统计局2021年1月的统计数据显示，我国2010－2019年未成年人犯罪人数所占比重如图所示，则下列说法不一定正确的是(　　) A.我国2010－2018年未成年人犯罪比重持续下降 B.与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降4.19个百分点 C.2019年我国未成年人犯罪的人数多于2018年 D.2010－2019年我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为3.91% C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】我国2010~2018年未成年人犯罪比重持续下降，故A选项正确；与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降为6.78－2.59＝4.19个百分点，故B选项正确；由于所有犯罪的人数未知，虽然2019年未成年人犯罪人数所占比重大于2018年，但无法确定2019年我国未成年人犯罪的人数是否多于2018年，故C选项不一定正确；2010~2019年，犯罪人数所占比重从小到大依次为2.41%，2.58%，2.59%，2.93%，3.56%，4.26%，4.82%，5.44%，6.40%，6.78%，由中位数的定义可知，我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为＝3.91%，故D选项正确.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练   ＜m ≥m 对照组     试验组     (ⅱ)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? (1)计算试验组的样本平均数； (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)试验组样本平均数为： (7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋ 23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝＝19.8 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，∴m＝＝23.4，故列联表为：   ＜m ≥m 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (ii)由(i)可得，K2＝＝6.400＞3.841， ∴能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 3.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1－8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据. (1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)由题意可知＝11，＝3，将数据代入r＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 第x年 1 2 3 4 5 花费y/万元 0.4 0.7 1 1.4 1.5 5年花费 /万元 [3，5) [5，7) [7，9) [9，11) [11，13) [13，15] 人数 60 100 120 40 60 20 4.在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员作出相关调查，其中表1为车主张先生买车以后每年的相关花费，表2为对2016年A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，对他们5年以来的新车花费的统计. 表1 表2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)根据表2中的数据，求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差(同一区间的新车花费用区间的中点值替代). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 5年花费 /万元 [3，5) [5，7) [7，9) [9，11) [11，13) [13，15] 人数 60 100 120 40 60 20 频率 0.15 0.25 0.3 0.1 0.15 0.05 (2)依题意，新车花费： 依题意，＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8， s2＝0.15×(－4)2＋0.25×(－2)2＋0.1×22＋0.15×42＋0.05×62＝8. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 5.从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x表示清洗的次数，y表示清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量(单位：微克). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (1)散点图见解析，e－x＋；(2)＝10×e－x＋0.8 【解析】(1)散点图如图， 用e－x＋作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)由题知＝10， ＝2－10×0.12＝0.8， 故所求的回归方程为＝10×e－x＋0.8. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练   不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (二)独立性检验 【例6－2】　(2022·新课标Ⅱ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)由已知 又P(K2≥6.635)＝0.01，24＞6.635， ∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【规律方法】独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (3)查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 变式训练五(二) 1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 附表： 参照附表，得到的正确结论是(　　) A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635可知，我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 购买 金额/千元 [0，1.5) [1.5，3) [3，4.5) [4.5，6) [6，7.5) [7.5，9] 人数 10 15 20 25 20 10 2.某体育彩票站点为了预估2020年彩民购买彩票的情况，对2019年的购买情况进行随机调查并统计，得到如下数据： (1)估计彩民平均购买金额(每组数据取区间的中点值)； (2)根据以上数据完成下面的2×2列联表；   不少于6千元 少于6千元 合计 男   30   女 12     合计       典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (3)根据(2)中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关? k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P(x2≥k) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)彩民平均购买金额为＝4.65(千元). 答：彩民平均购买金额约为4.65千元. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)由所给数据可得2×2列联表如下：   不少于6千元 少于6千元 合计 男 18 30 48 女 12 40 52 合计 30 70 100 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (3)根据2×2列联表中的数据可得x2＝≈2.473＜2.706， 因此根据临界值表可知，没有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是(　　) A.有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B.若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒 C.这种血清预防感冒的有效率为95% D.这种血清预防感冒的有效率为5% A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 由题可知，在假设H成立情况下，P(K2≥3.841)的概率为0.05，即在犯错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95%是我们判断H不成立的概率量度而非预测血清与感冒的概率的量度，故B错误.C，D也犯有B中的错误. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 1.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图： A.新农村建设后，种植收入略有增加 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入不变 D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为m，则建设后的经济收入为2m， A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加2m×37%－m×60%＝m×14%，故A正确； B选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加2m×5%－m×4%＝m×6%＞m×4%，即增加了一倍以上，故B正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误； D选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%，故D正确.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 2.已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据 (　　) A.一样稳定 B.变得比较稳定 C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，故[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2＋(2－2)2]＝1，数据x1，x2，…，x10的方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]＞1，故相对于原数据变得比较不稳定，选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 3.某学校高一年级有1802人，高二年级有1600人，高三年级有1499人，现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 (　　) A.35，33，30 B.36，32，30 C.36，33，29 D.35，32，31 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的人数占总人数的比例分别为，因此，各年级抽取人数分别为98×＝36，98×＝32，98×＝30，故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 4.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为 (　　) A.11 B.11.5 C.12 D.12.5 C 【解析】 由题意，0.06×5＋x×0.1＝0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12，故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 5.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是(　　) A.2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B.2018年1月至7月的仓储指数的中位数为55 C.2018年1月与4月的仓储指数的平均数为52 D.2017年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大 D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由图可知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数为＝53，所以C错误；由图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 广告费x 2 3 4 5 6 销售额y 29 41 50 59 71 6.广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到的统计数据如下表(单位：万元)： A.118.2万元 B.111.2万元 C.108.8万元 D.101.2万元 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 由表格中数据可得，＝4，＝50，∴50＝4×10.2＋，解得＝9.2，∴回归方程为＝10.2x＋9.2，∴当x＝10时，＝10.2×10＋9.2＝111.2，即预测广告费为10万元时销售额约为111.2万元，故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 (　　) A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月份 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 注：(结余＝收入－支出) D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由图可知，结余最高为7月份，为80－20＝60，故B正确；由图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由图可知，前6个月的平均收入为(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45万元，故D错误，故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 A.2 B.3 C.4 D.6 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 ∵s2＝－16) ＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2]， ∴2(x1＋x2＋x3＋x4)－4＝16， ∴8－4＝16，＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＝8，∴＝4，故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 9.(多选)某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是(　　) A.图中的x值为0.020 B.这组数据的第80百分位数约为86.67 C.这组数据的平均数的估计值为82 D.这组数据的中位数的估计值为75 AB 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 质量指标分组 [10，30) [30，50) [50，70] 频率 0.1 0.6 0.3 10.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表： 据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为　　　　.  144　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】 由题意得，这批产品的此项质量指标的平均数为20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，故方差为(20－44)2×0.1＋(40－44)2×0.6＋(60－44)2×0.3＝144. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 11.万众瞩目的第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.作出样本分数的茎叶图，并按照[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100)的分组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢失，可见部分如图所示.据此解答如下问题： 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (1)求出样本容量n，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整； (2)在抽取的学生中，规定：比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良好”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有97.5%的把握认为“比赛成绩是否良好与性别有关”?   非良好 良好 总计 男生   20   女生     25 总计       基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 P(K2≥K0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 【解析】(1)由茎叶图知，分数在[50，60)的人数有6人，分数在[80，90)的人数有4人， 由频率分布直方图得分数在[50，60)的频率为0.012×10＝0.12， 故样本容量n＝＝50，∴分数在[90，100)的频率为＝0.08， ＝0.008，分数在[80，90)的频率为1－(0.012＋0.024＋0.040＋0.080)×10＝0.16， ＝0.016，补全频率分布直方图如图所示： 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练   非良好 良好 合计 男生 5 20 25 女生 13 12 25 合计 18 32 50 (2)比赛成绩不低于70分的频率为P＝0.4＋0.08＋0.16＝0.64， 所以良好的学生人数为0.64×50＝32人. 故根据已知条件完成2×2列联表： K2＝≈5.556＞3.841， 故有97.5%的把握认为比赛成绩是否良好与性别有关. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 12.魔方，又叫鲁比克方块，通常所说的魔方是指三阶魔方，为3×3×3的正方体结构，由26个色块和一个中心轴组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原. (1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x有关，经统计得到如下数据： 训练天数x 1 2 3 4 5 6 7 平均速度y(秒) 99 99 45 32 30 24 21 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 (2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面，某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90°，记扭动两次后顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望E(X). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 参考数据： 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第17讲　抽样方法与总体分布的估计 基础训练 ①用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时，任一个体被抽到的概率 (3)回归方程 (4)相关系数 r ③当寻找线性回归方程有意义时，计算系 ④根据2×2列联表，利用公式：KK2的值； (2)一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率4人，则m＝　　　　.  【解析】 (1)应从丙种型号的产品中抽取 6(件). (2)由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员有y人. 解得x＝16，y＝12，m＝42. 【解析】 对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36＜50，所以亩产量的中位数不小于1050 kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，C正确；对于D，由频数分布表可得，亩产量在［1050，1100)的频数100－(6＋12＋18＋24＋10)＝30，所以平均值为×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，D错误.故选C. (1)频率、频数、样本容量的计算方法：＝频率，，④样本容量×频率＝频数. 【易错警示】①频率分布直方图的纵坐标，而不是频率，切莫与条形图混淆.②制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确. 【解析】对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m， 标准差s，对于数据4，6，8，10，则平均数m(4＋6＋8＋10)＝7，标准差s，显，即s1＞s2； 故C错误； (2)平均数、方差公式的推广，若数据x1，x2，…，xn的平均数，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数，方差为m2s2. 1.某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值mo，则(　　) A.me＝mome＝mo C.me＜momo＜me 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数s2. (1)s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如 ②在该相关关系中，若用y＝c 【解析】 (1)①显然正确；由散点图知，用y＝c，故②正确；x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确.故答案为①②. (1)作出散点图，判断是否线性相关. (2)如果是，则用公式，，写出回归方程. (3)根据方程进行估计. 【注意】回归直线方程恒过点(，). 附：K (2)建立y关于x的回归方0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元.(结果精确到0.01) 参考数据xi－11)(yi－3)＝74.5xi－11)2＝340yi－3)2＝16.518.4406，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1，2，3，…，8. 参考公式：(ⅰ)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数r (2)将数据代入，得＝0.219，＝3－0.219×11≈0.59，所以y关于x的回归方程为＝0.22x＋0.59.由＝0.22x＋0.59＞6，解得x＞24.59，即至少需要投入促销费用24.59万元. (1)通过散点图可知，表1中的数据可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方 参考公式：回归直线方 【解析】(1)依题意，＝3，＝1，(xi－)(yi－)＝2.9，(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10，＝0.29， 故＝y－＝1－0.29×3＝0.13，故所求线性回归方程为＝0.29x＋0.13. (1)在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型：(给出判断即可不必说明理由) 表中ωi 附：①线性回归方 b (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， B表示事件“选到的人患有该疾 R. (ⅰ)证明：R (ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(AR的估计值. 附K K， (2)(i)∵R， ∴R，∴R (ii)由已知P(A|B)，P(A)，又P()，P()， ∴R (2)根据公式KK2的值； 由KK7.8. 附：xn＝a＋b＋c＋d. 则下面结论中不正确的是 (　　) 由上表可得回归方2x10万元时销售额约为 (　　) 8.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差sx1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为 (　　) 【解析】由题得10×(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)＝1，解得x＝0.020，故A正确；在频率分布直方图中，前三个小长方形的面积和为0.6，前四个小长方形的面积和为0.9，所以这组数据的第80百分位数约为8010≈86.67，故B正确；这组数据的平均数的估计值为10×(55×0.005＋65×0.020＋75×0.035＋85×0.030＋95×0.010)＝77，故C不正确；由频率分布直方图可知，得分在［50，70)内的频率为0.005×10＋0.020×10＝0.25＜0.50，得分在［50，80)内的频率为0.005×10＋0.020×10＋0.035×10＝0.60＞0.50，则中位数在［70，80)内，所以这组数据的中位数的估计值为7010≈77.14，故D不正确.故选AB. 参考公式及数据：Kn＝a＋b＋c＋d 现用y＝a＋作为经验回归方程类型，请利用表中数据，求出该经验回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度. ziyi －7 184.5 0.37 0.55 其中zi＝. 【解析】(1)由题可知，50， 所以50－100×0.37＝13，因此y关于x的经验回归方程为13，故预测最终每天魔方还原的平均速度为13秒. (2)由题知，X的可能取值为3，4，6，9，P(X＝3)，P(X＝4)，P(X＝6)，P(X＝9)， 所以X的分布列为 X 3 4 6 9 P E(X)＝3469. $$