第16讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率与全概率（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 第16讲　随机事件的概率、古典概型、 条件概率与全概率 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 1.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 2.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 3.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 4.古典概型的概率公式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 5.条件概率的概念 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)P(B|A).我们称上式为概率的乘法公式. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (3)条件概率的性质 设P(A)＞0，则①P(Ω|A)＝1； ②如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋(C|A)； 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 6.全概率公式 (1)完备事件组 设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足： ①A1∪A2∪…∪An＝Ω. ②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 7.贝叶斯公式 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 题型一　 随机事件与概率　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　随机事件之间的关系 【例1－1】　对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是　　　　，互为对立事件的是　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，∵A∩B＝∅，B∩C＝∅，A∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，B与C，A与C，B与D为互斥事件.而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件. 【答案】A与B，A与C，B与C，B与D；　B与D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【规律方法】判断互斥、对立事件的两种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件. (2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 考点二　随机事件的概率与频率 【例1－2】　(2023·新课标Ⅱ卷)(多选)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1) (　　) A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D.当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】设事件“发送信号0收到0”为事件A0，设事件“发送信号0收到1”为事件A1，设事件“发送信号1收到0”为事件B0，设事件“发送信号1收到1”为事件B1，由题知，P(A0)＝1－α，P(A1)＝α，P(B0)＝β，P(B1)＝1－β，且事件A0，A1，B0，B1互相独立，考察选项A，所求事件为B1A0B1，∴P(B1A0B1)＝P(B1)P(A0)P(B1)＝(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，∴A正确；考察选项B，所求事件为B1B0B1，∴P(B1B0B1)＝P(B1)P(B0)P(B1)＝(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，∴B正确﹔ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 考察选项C，所求事件为B1B1B0＋B1B0B1＋B0B1B1＋B1B1B1，又P(B1B1B1)＝P(B1)P(B1)P(B1)＝(1－β)3，∴P(B1B1B0＋B1B0B1＋B0B1B1＋B1B1B1)＝(1－β)3＋3β(1－β)2，∴C错误；考察选项D，采用三次传输，事件为A0A1A0＋A1A0A0＋A0A0A1＋A0A0A0，∴P(A0A0A1＋A0A1A0＋A1A0A0＋A0A0A0)＝3α(1－α)2＋(1－α)3，采用单次传输，P(A0)＝1－α. ∴P(A0A0A1＋A0A1A0＋A1A0A0＋A0A0A0)－P(A0)＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝(1－α)[3α(1－α)＋(1－α)2－1]＝(1－α)(α－2α2)＝α(1－α)(1－2α).∵0＜α＜0.5，∴α(1－α)(1－2α)＞0.∴采用三次传输的概率大于单次传输的概率，∴选项D正确. 【答案】ABD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【规律方法】 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 考点三　互斥事件与对立事件概率公式的应用 【例1－3】　(1)(2021·新课标Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得. 1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A， B，C，求： ①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率； ③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【规律方法】复杂事件的概率的两种求法 (1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 变式训练一 　 　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】由题意得 得P(A)＝，P(B)＝.所以P(B)＝P()P(B)＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 现随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频　数 60 50 30 30 20 10 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 (3)由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练   ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 3.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： (1)求有4人或5人外出家访的概率； (2)求至少有3人外出家访的概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】(1)设派出2人及以下为事件A，3人为事件B，4人为事件C，5人为事件D，6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知， P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4. (2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 题型二　古典概型 【例2】　(1)(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　　　　.  (2)(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) A.0.3　　B.0.5　　C.0.6　　D.0.8 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)将3个1和2个0随机排成一行，可以是： 00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： 01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种.故2个0不相邻的概率6.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【规律方法】 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 变式训练二 1.从1，2，3，…，50中任取一个数，它能被4整除的概率是 (　　) B 【解析】从1，2，3，…，50中任取一个数，共有50种情况，其中能被4整除的数有4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，共12个，故所求概率P＝.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 2.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是 (　　) D 【解析】 基本事件的个数有5×3＝15(种)，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 3.甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上，乙正好坐中间的概率为 (　　) B 【解析】 甲、乙、丙坐一排的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，乙正好坐中间的基本事件有2个.故所求概率P＝.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 4.袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球.现在从袋中无放回地依次摸出2个球，则摸出的球全为白球的概率为　　　　.  【解析】袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球.现在从袋中无放回地依次摸出2个球，则摸出的球全为白球的概率P＝.故答案为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 A组 10 11 12 13 14 15 16 B组 12 13 14 15 16 17 18 C组 13 14 15 16 17 18 19 5.为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从A，B，C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表(单位：厘米)： 假设所有植株的生长情况相互独立.从A，B，C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙. (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】 (1)设“丙的高度小于15厘米”为事件M，因为丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的两株，所以P(M)＝.即丙的高度小于15厘米的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件N.记A组7株植物依次为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7.B组7株植物依次为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7.从A中选出甲，从B中选出乙共有7×7＝49种情况，其中满足甲的高度大于乙的高度的有(A4，B1)、(A5，B1)、(A5，B2)、(A6、B1)、(A6、B2)、(A6、B3)、(A7，B1)、(A7，B2)、(A7，B3)、(A7，B4)共10种.所以P(N)＝.即甲的高度大于乙的高度的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (3)表格中所有数据的平均数记为μ0.从A，B，C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14，16，15(单位：厘米).这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小.(结论不要求证明) (3)μ0＜μ1 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 题型三　条件概率与全概率 【例3－1】(1)(多选)某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，事件B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是 (　　) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【例3－2】(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为　　　　；己知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)若第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记1分，负一局记0分，记X为比赛结束时甲的得分，求随机变量X的分布列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 X的分布列为： 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 变式训练三 1.(多选)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有(　 　) A.若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立 B.若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6 C.若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12 D.若A⊆B，则P(A|B)＝0.3 ABC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】因为随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6.因为P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)＝0.3×0.6，所以A，B相互独立，故A正确；若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.6，故B正确；若P(B|A)＝＝0.4，则P(AB)＝0.12，故C正确；若A⊆B，则P(A|B)＝＝0.5，故D错误. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】设Ai(i＝1，2，3)表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，P(A1)＝，P(A2|)＝，P(A3|)＝， 所以P(B)＝P()＝P()P()P()＝. 所以手机屏落地三次未打破的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】(1)设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.由全概率公式得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝，P(B2|A)＝，P(B3|A)＝. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 4.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同. (1)从1号箱中不放回地依次取1个球，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率； (2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】(1)设“从1号箱中第1次取得红球”为事件A，“从1号箱中第2次取得红球”为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝，所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件C，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件B1，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件B2，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件B3，则事件B1，B2，B3彼此互斥. P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝，P(C|B1)＝，P(C|B2)＝，P(C|B3)＝.所以P(C)＝P(B1)P(C|B1)＋P(B2)P(C|B2)＋P(B3)P(C|B3)＝，所以取出的这个球是红球的概率为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】 A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系.故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4下方的概率为(　　) C 【解析】 试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件.事件“点P(m，n)落在x＋y＝4下方”，包含(1，1)，(1，2)，(2，1)共3个基本事件，故P＝.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 C 【解析】 2粒棋子恰好同一色可以同是黑色，也可以同是白色，故所求概率为P＝.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　) C 【解析】 前2位共有3×5＝15种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为P＝.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　) C 【解析】 基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 6.(多选)已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件Ai为第一次取出的球为i号，事件Bi为第二次取出的球为i号，则下列说法正确的是(　　 ) ABD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 7.某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学.若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　) A 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝.故选A. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是(　　) ①事件A1与A2相互独立；②A1，A2，A3是两两互斥的事件； A.5 B.4 C.3 D.2 C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】显然，A1，A2，A3是两两互斥的事件，且P(A1)＝，P(A2)＝，而P(A1A2)＝0≠P(A1)·P(A2)，①错误，②正确；P(A2)＝，P(A2B)＝，所以P(B|A2)＝，③正确； P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝，④正确；P(A1|B)＝，⑤错误.综上，结论正确个数为3. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 BC 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】若正确选项的个数为2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有(1，2，3，4)共1种组合，这种组合为正确答案的概率为.随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，A错误； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 1选项是正确选项的概率为3×＋3×，B正确；1选项为正确选项为事件A，由B选项知，P(A)＝，正确选项有3个为事件B，则P(B|A)＝，C正确；1选项为错误选项为事件C，P(C)＝，正确选项有2个为事件D，则P(D|C)＝，D错误. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 10.某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(xi，yi)，i＝1，2，3，4，5，其中xi表示连续用药i天，yi表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (1)试判断y＝a＋bx与y＝a＋bln x哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型?并建立y关于x的回归方程； (2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的2倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品的概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立. (i)随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率； (ii)若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 【解析】(1)刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故y＝a＋bln x适宜作为y关于x的回归方程类型. 令u＝ln x，得y＝a＋bu，于是b＝＝12， 因为ui≈4.79，yi≈62，所以＝0.958，＝12.4，所以a＝－b·＝12.4－0.958×12＝0.904，y＝0.904＋12u，即y＝0.904＋12ln x. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 (2)(i)设A＝“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”， B1＝“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”， B2＝“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，则P(B1)＝，P(B2)＝， 又P(A|B1)＝0.012，P(A|B2)＝0.009，于是 P(A)＝P(A∩(B1∪B2))＝P(AB1∪AB2)＝ P(AB1)＋P(AB2)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝ ×0.012＋×0.009＝ 0.011. (ii)P(B1|A)＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第16讲　随机事件的概率、古典概型、条件概率 与全概率 基础训练 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A P(A (1)条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|AA发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. B互为对立事件，则P＝1－P(B|A). (2)全概率公式 设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任一事件B，有P(BAi)P(B|Ai). 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)＞0， 有P(Ai|B 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率. ②事件A的对立事，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 【解析】(1)P(甲)，P(乙)，P(丙)， P(丁)(甲丙)＝0≠P(甲)·P(丙)， P(甲丁)(甲)P(丁)，P(乙丙)P(乙)P(丙)， P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)， 故选B. (2)①P(A)，P(B)，P(C) 故事件A，B，C的概率分别，， ②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ， 故1张奖券的中奖概率约 ③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝， 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便. 1. 事件A，B，C相互独立，如果P(ABPP(AP(B)＝　　　　；P＝　　　　.  【解析】 (1)从5名同学中随机选3名的方法数，甲、乙都入选的方法数，∴甲、乙都入选的概率P，故答案 【答案】 (12)C A A A A.事件A中包括78种情况 B.P(A C.P(A∩B D.P(A|B 【解析】(1)由学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则学生甲只能在中间3个出场，所以事件A中包，故A错误；P(A)，故B正确；P(A∩B)，故C正确；P(B)，则P(A|B)，故D错误. (2)设B表示“中途停车修理”，A1表示“经过的是货车”，A2表示“经过的是客车”， 则B＝A1B∪A2B，由题意得P(A1)，P(A2)，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01， 由贝叶斯公式得，P(A1|B) 【答案】(1)BC　(2) 【解析】列举法：从五个活动中选三个的情况有：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，其中甲选到A有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，则甲选到A得概率为：P＝；乙选A活动有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，其中再选则B有3种可能性：ABC，ABD，ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为. 【答案】 【例3－3】某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率 【解析】(1)设事件A为“乙在第一局中获得胜利”，设事件B为“甲先发球”，事件C为“乙先发球”，则B∪C＝Ω，B，C互斥.由全概率公式可知P(A)＝P(BA∪CA)＝P(BA)＋P(CA)＝P(B)P(B|A)＋P(C)P(A|C) (2)X的可能取值为0，1，2，X＝0时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴P(X＝0)； X＝1时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”，∴P(X＝1)； X＝2时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”，∴P(X＝2) X 0 1 2 P 2.对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率 A C 3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率2粒都是白子的概率2粒恰好是同一色的概率是(　　) A A A A.P(B3|A3)＝ B.P(A3)＝ C.P(B3)＝ D.P(B3A3)＝ 【解析】由题意得，P(A3)，P(B3)，P(A3B3)，P(B3|A3)，故ABD正确，C错误.故选ABD. A ③P(B|A2P(BP(A1|B 9.(多选)在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1、2、3、4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A.某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高 B.1选项是正确选项的概率高 C.在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率 D.在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率 其xiyi＝474.79 ui2≈1.615uiyi19.38，ui＝ln xi. 参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，其回归直线y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计分别 $$