第15讲 导数的概念与运算（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学小题量检测

精简 全面 专业 高效 -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 第15讲　导数的概念与运算 -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 一、选填题(53分) 1.函数f(x)＝exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. C 【解析】因为f'(x)＝exsinx＋excosx,所以f'(0)＝1,即曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为,故选C. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 2.已知直线l是函数f(x)＝2x－cos x＋2的图象在点(0，f(0))处的切线，则直线l在x轴上的截距为(　　) A.－ B. C.2 D.3 A 【解析】f'(x)＝2＋sin x，所以f'(0)＝2，又f(0)＝1，所以直线l的方程为y＝2x＋1，令y＝0，得x＝－，即直线l在x轴上的截距为－，故选A. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 3.已知函数f(x)＝x3＋mln x在区间[2,3]上不是单调函数,则m的取值范围是(　　) A.(－∞,－81) B.(－24,＋∞) C.(－81,－24) D.(－81,＋∞) C -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】由f(x)＝x3＋mln x可得f'(x)＝3x2＋(x＞0),当m≥0时,f'(x)＞0,f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不满足题意;当m＜0时,由f'(x)＞0得x＞,由f'(x)＜0得0＜x＜,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,要使得函数f(x)＝x3＋mln x在区间[2,3]上不是单调函数,则2＜＜3,解得－81＜m＜－24.故选C. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 4.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1,＋∞)单调递增,则k的取值范围是(　　) A.(－∞,－2] B.(－∞,－1] C.[2,＋∞) D.[1,＋∞) D 【解析】因为f(x)＝kx－ln x,所以f'(x)＝k－.因为f(x)在区间(1,＋∞)上单调递增,所以当x＞1时,f'(x)＝k－≥0恒成立,即k≥在区间(1,＋∞)上恒成立.因为x＞1,所以0＜＜1,所以k≥1.故选D. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 5.已知函数f(x)＝x2＋2cosx,若f'(x)是f(x)的导函数,则函数f'(x)的图象大致是(　　) A 【解析】设g(x)＝f'(x)＝2x－2sinx,g'(x)＝2－2cosx≥0,所以函数f'(x)在R上单调递增. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 6.已知函数f(x)＝(x2＋2x－1)ex的图象在x＝0处的切线与g(x)＝aln x－1(a≠0)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x2＝2x1，则a＝(　　) A. B. C. D. B 【解析】由题得f'(x)＝(x2＋4x＋1)ex，所以f'(0)＝1，f(0)＝－1，所以切线方程为y＝x－1.由题意可知，aln x1－1＝x1－1，aln(2x1)－1＝2x1－1，两式相减，解得x1＝aln 2，所以aln x1＝aln 2，即x1＝2，所以a＝.故选B. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 7.(多选)记f的导函数为f',若f＜xf'＜2f－x对任意的正数都成立,则下列不等式中成立的有(　　) A.f＜2f　 　B.f C.f＜4f－1　D.f BC -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】∵f＜xf',∴f'x－f＞0,则F''＝＞0,∴F在x∈单调递增,∴F＞F,即,∴f＞2f,故A错误;同理F＞F,即,∴f,故B正确;∵xf'＜2f－x,∴xf'－2f＋x＜0,构造函数h(x)＝,则h'(x)＝'＝＜0,∴h(x)＝在x∈单调递减,∴h(1)＜h(),即,化简得f＜4f－1,故C正确;同理h(2)＜h(1),即,化简得f,故D错误.故选BC. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 8.(多选)若函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，则(　　) A.a＞0 B.b＞0 C.b2－8a＞0 D.b2＝8a AC -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝＋2ax＋b＝，因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，所以方程2ax2＋bx＋1＝0有两个不等的正根x1，x2，所以解得a＞0，b＜0，b2－8a＞0，所以A和C正确，B和D错误.故选AC. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 9.(多选)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1,a∈R,则下列结论正确的是(　　) A.对任意的a∈R,存在x0∈(0,＋∞),使得f(x0)＝0 B.若x1是f(x)的极值点,则f(x)在(x1,＋∞)上单调递减 C.函数f(x)的最大值为 D.若f(x)有两个零点,则0＜a＜ BD -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】由题意知:x＞0,f'(x)＝－2ax＝,当a≤0时,f'(x)＞0,f(x)单增,无最大值,故C错误;当a＞0时,在上,f'(x)＞0,f(x)单增;在上,f'(x)＜0,f(x)单减;故f(x)max＝f＝ln,当ln＜0,即a＞时,f(x)无零点,故A错误;若x1是f(x)的极值点,则a＞0,x＝,故在单减,B正确;若f(x)有两个零点,则a＞0,且f(x)max＝f＝ln＞0,解得0＜a＜,又x→0时,f(x)→－∞,x→＋∞时,f(x)→－∞,此时f(x)有两个零点,D正确.故选BD. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 10.(多选)已知函数f(x)＝－2ex－12x，则下列说法正确的是(　　) A.曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋12y＝0垂直 B.f(x)在(2，＋∞)上单调递增 C.f(x)的极小值为3－12ln 3 D.f(x)在［－2，1］上的最小值为3－12ln 3 BC -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】因为f(x)＝－2ex－12x，所以f'(x)＝2－2ex－12＝2(ex－3)(ex＋2)，所以f'(0)＝－12，故A错误；令f'(x)＞0，解得x＞ln 3，所以f(x)的单调递增区间为(ln 3，＋∞)，因为(2，＋∞)⊆(ln 3，＋∞)，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；当x＜ln 3时，f'(x)＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln 3)，所以f(x)的极小值为f(ln 3)＝3－12ln 3，故C正确；f(x)在［－2，1］上单调递减，所以f(x)在［－2，1］上的最小值为f(1)＝e2－2e－12，故D错误.故选BC. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 二、解答题(12分) 11.已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax. (1)若a＝1,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围. -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 【解析】(1)∵当a＝1时,f'(x)＝ex－2x＋2,∴f'(1)＝e,又f(1)＝e＋1, ∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1),即ex－y＋1＝0. (2)f'(x)＝ex－2x＋2a, ∵f(x)在R上单调递增,∴f'(x)≥0在R上恒成立, ∴a≥x－在R上恒成立,令g(x)＝x－, 则g'(x)＝1－,令g'(x)＝0,则x＝ln2, 在(－∞,ln2)上,g'(x)＞0;在(ln2,＋∞)上,g'(x)＜0, ∴g(x)在(－∞,ln2)上单调递增,在(ln2,＋∞)上单调递减, ∴g(x)max＝g(ln2)＝ln2－1,∴a≥ln2－1, ∴实数a的取值范围为[ln2－1,＋∞). -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 谢 谢 观 看 -‹#›- 第15讲　导数的概念与运算 $$