第15讲 导数的概念与运算（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 第15讲　导数的概念与运算 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 1.导数的概念与运算 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x＝x0， 即f'(x0 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)函数f(x)的导函数 称函数f'(xf(x)的导函数. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (3)基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x ax(a＞0) ex logax(a＞0，且a≠1) ln x 导函数 cos x －sin x axln a ex 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (4)导数运算法则 [f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)·g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)； g(x)≠0). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (5)复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'＝yu'·ux'，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (6)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f'(x0)(x－x0).特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f'(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间 (1)函数的单调性 在(a，b)内函数f(x)可导，f'(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f'(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数. f'(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)辨明导数与函数单调性的关系 (1)f'(x)＞0(或＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件. 【注意】　由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)＞0(或＜0)恒成立，“＝”不能少. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 3.利用导数解决函数的极值问题 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f'(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f'(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，则点x＝b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 4.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 题型一　导数的运算 【例1】　分别求下列函数的导数： (1)y＝ex·cos x； (2)y＝ (3)y＝x－sin 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【规律方法】 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 变式训练一 1.分别求下列函数的导数. (1)y (2)y＝sin 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】(1)y'＝'＝. (2)∵y＝sin2(1－cos x) ＝cos x ∴y'＝－(cos x)'＝－·(－sin x)＝sin x. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.已知函数f(xe是自然对数的底数)，则其导函数f'(x)＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A＋x D.1－x B 【解析】因为函数f(x)＝，所以其导函数f'(x)＝，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 题型二　导数的几何意义及应用 考法一　求切线方程 【例2－1】　(1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2) (2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　，　　　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f'(x)＝3x2＋1，f'(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)∵y＝ln|x|，当x＞0时y＝ln x，设切点为(x0，lnx0)，由y'，∴y，∴切线方程为y－ln x(x－x0)，又切线过坐标原点，∴－ln x(－x)，解得x0＝e，∴切线方程为y－(x－e)，即y；当x＜0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y'，∴y，∴切线方程为y－ln(－x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，∴－ln(－x1)(－x1)，解得x1＝－e，∴切线方程为y－(x＋e)，即y＝；故答案为y；y＝ 【答案】(1)D　(2)①yy＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 考法二　求切点问题 【例2－2】　(1) (2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　.  (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x1＋x).当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 　(1)∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)，切线方程为y－(x0＋a)(x0＋1＋a)(x－x0)，∵切线过原点，∴－(x0＋a)(x0＋1＋a)(－x0)，整理得：－a＝0，∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)当a＝－1时，f(x)(x＋1)(x＞－1)， 则f'(x)＝(x＋1)， 据此可得f(1)＝0，f'(1)＝－ln 2， ∴函数在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)， 即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. 【答案】(1)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　 (2)(ln 2)x＋y－ln 2＝0 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 考法三　求参数的值 【例2－3】　(1)已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 (1)f'(x)＝(x2＋ax－1)'ex＋(x2＋ax－1)(ex)' ＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex ＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex， 故f'(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1. ∵f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f'(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln＋a相切的切点为，由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.故答案为ln 2. 【答案】(1)C　(2)ln 2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【规律方法】导数几何意义的应用类型及求解思路 (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f'(x0). (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)， (3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f'(x1)＝k. (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 变式训练二 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若f'(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线 B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在 C.若f'(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在 AC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】∵k＝f'(x0)，∴f'(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为x＝x0，故AC正确.故选AC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为　　　　.  1＋ln 2　 【解析】 由y＝xln x得，y'＝ln x＋1.设直线y＝kx－2与曲线 y＝xln x相切于点P(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(ln x0＋1) (x－x0)，又直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y0＝x0ln x0代入切线方程，得x0＝2，故P(2，2ln 2).把(2，2ln 2)代入直线方程y＝kx－2， 得k＝1＋ln 2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 3.(多选)已知曲线f(x－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值是(　　) A AC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax－1.∴f'(x)＝2x2－2x＋a，可令切点的横坐标为m，且m＞0，可得切线斜率k＝2m2－2m＋a＝3即2m2－2m＋a－3＝0，由题意，可得关于m的方程2m2－2m＋a－3＝0有两个不等的正根，且可知m1＋m2＝1＞0，则解得3＜a＜，所以a的取值可能为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 题型三　利用导数研究函数的单调性 【例3－1】　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增等价于f'(x)＝aex0在区间(1，2)上恒成立，即a，设g(x)＝xex，则在x∈(1，2)上恒有g'(x)＝(x＋1)ex＞0，∴g(x)＞g(1)＝e，，即a≥e－1，故选C. 【答案】C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【例3－2】　(2021·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)，试讨论f(x)的单调性. 【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，又f'(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当x∈(0，1)时，f'(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＜0，故f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【规律方法】 (1) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (3)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间恒等于0，若f'(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'(x)＝0，则参数可取这个值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (4)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式. 【注意】①f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f'(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f'(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；②注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 变式训练三 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.讨论f(x)的单调性. 【解析】∵f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，∴f'(x)＝aex－1，当a≤0时，由于ex＞0，则aex≤0，故f'(x)＝aex－1＜0恒成立，∴f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，令f'(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a， 当x＜－ln a时，f'(x)＜0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； 当x＞－ln a时，f'(x)＞0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增； 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.若函数f(x＋x＋1在区a的取值范围是　　 　　.  　 【解析】f'(x)＝x2－ax＋1，因为函数f(x)在区间(，3)上单调递减，所以f'(x)≤0在区间(，3)上恒成立，所以 解得a≥，所以实数a的取值范围为[，＋∞). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 3.若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是　　 　　.  (－3，－1)∪(1，3)　 【解析】　因为f'(x)＝3x2－12，由f'(x)＞0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f'(x)＜0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，解得－3＜k＜－1或1＜k＜3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意的x∈R总有f'(x)＜3，则不等式f(x)＜3x－15的解集为　　　　.  (4，＋∞)　 【解析】　令g(x)＝f(x)－3x＋15，则f(x)＜3x－15的解集即为g(x)＜0的解集.又g'(x)＝f'(x)－3＜0，所以g(x)在R上是减函数.又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以g(x)＜g(4)，故x＞4.所以f(x)＜3x－15的解集为(4，＋∞). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 题型四　利用导数研究函数的极值与最值 考法一　根据导函数图象判断函数的极值 【例4－1】　(2024·新课标Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A.x＝3是f(x)的极小值点 B.当0＜x＜1时，f(x)＜f C.当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0 D.当－1＜x＜0时，f(2－x)>f(x) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 对A，因为函数f的定义域为R，而f'＝2＝3，易知当x∈时，f'＜0，当x∈或x∈时，f'>0，函数f上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故x＝3是函数f的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f上单调递增，所以f>f，B错误； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f上单调递减，所以f>f>f，即－4＜f＜0，C正确；对D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝>0， 所以f(2－x)>f(x)，D正确；故选ACD. 【答案】ACD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 考法二　根据函数的解析式求极值 【例4－2】　(2024·新课标Ⅰ卷)　设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D.存在a，使得点为曲线y＝f(x)的对称中心 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】A选项，f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，故x∈时f'(x)>0，故f(x)在上单调递增，x∈(0，a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)在x＝0处取到极大值，在x＝a处取到极小值，由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3＜0，则f(0)f(a)＜0，根据零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点，又f(－1)＝－1－3a＜0，f(2a)＝4a3＋1>0，则f(－1)f(0)＜0，f(a)f(2a)＜0，则f(x)在(－1，0)，(a，2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 B选项，f'(x)＝6x(x－a)，a＜0时，x∈(a，0)，f'(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(0，＋∞)时f'(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)在x＝0处取到极小值，B选项错误；C选项，三次函数不存在对称轴，C选项错误；D选项正确.故选AD. 【答案】AD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 考法三　已知函数的极值求参数 【例4－3】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝aln xa≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)(2022·新课标Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 (1)由函数f(x)＝aln x，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x) f(x)既有极大值也有极小值，∴g(x)＝ax2－bx－2c在(0，＋∞)上有两个不同的零点. ∵a≠0， ∴b2＋8ac＞0，且ab＞0，ac＜0，bc＜0，∴A不正确，B，C，D正确.故选BCD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)由题意，f'(x)＝3x2－1，令f'(x)＞0得xx＜，令f'(x)＜0，∴f(x)在(，)上单调递减，在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增，∴x＝，故A正确； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 因f()＝，f()＝，f(－2)＝－5＜0，∴函数f(x)在(－∞，)上有一个零点，当x，f(x)≥f()＞0，即函数f(x)在(，＋∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，∴点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f'(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1.又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误.故选AC. 【答案】(1)BCD　(2)AC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 考法四　利用导数求函数的最值 【例4－4】　 (2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值.求a. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】f(x)＝ex－ax的定义域为R，而f'(x)＝ex－a，若a≤0，则f'(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.g(x)＝ax－ln x的定义域为(0，＋∞)而g(x)＝a－. 当x＜ln a时，f'(x)＜0，故f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，当x>ln a时，f'(x)>0，故f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 当0＜x＜时，g'(x)＜0，故g(x)在上为减函数，当x>时，g'(x)>0，故g(x)在上为增函数，故g(x)min＝g＝1－ln.∵f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，故1－ln＝a－aln a，整理得到＝ln a，其中a>0，设g(a)＝－ln a，a>0，则g'(a)＝≤0，故g(a)为(0，＋∞)上的减函数，而g(1)＝0，故g(a)＝0的唯一解为a＝1，故＝ln a的解为a＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【规律方法】 (1)利用导数研究函数极值问题的一般流程 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【注意】若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (3)最值 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 1.已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 变式训练四 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，所以f'(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m).由f'(1)＝0可得m＝1或m＝3.若m＝3，则f'(x)＝3(x－1)(x－3)，当1＜x＜3时，f'(x)＜0，当x＜1或x＞3时，f'(x)＞0，此时在x＝1处取得极大值，不合题意，若m＝1，则f'(x)＝(x－1)(3x－1)，当＜x＜1时，f'(x)＜0，当x＜或x＞1时，f'(x)＞0，此时在x＝1处取得极小值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y，即x－y－1＝0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；若a＞0，令f'(x)＞0，解得x＞ln a；令f'(x)＜0，解得x＜ln a；可知f(x)在内单调递减，在内单调递增，则f(x)有极小值fa－aln a－a3，无极大值，由题意可得：fa－aln a－a3＜0，即a2＋ln a－1＞0，构建ga2＋ln a－1，a＞0，则g'2a＞0，可知g内单调递增，且g0，不等式a2＋ln a－1＞0等价于g＞g，解得a＞1，所以a的取值范围为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 3.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 C　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】由题意可知：f(x)的定义域为，令x＋a＝0解得x＝－a；令ln(x＋b)＝0解得x＝1－b；则当x∈时，ln＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；x∈时，ln＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0；故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a22，当且仅当a＝，b时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 1.函数y＝4x(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0，＋∞) B. C.(－∞，－1) D. B 【解析】 函数y＝4x2＋的定义域为(－∞，0)∪]， y'＝8x－，令y'＞0，得8x3－1＞0. 解得x＞，故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 2.已知曲线f＝ex－1与曲线g＝ex－2有相同的切线，则这条切线的斜率为　　　　.  　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】设曲线fex－1与曲线gex－2的切点分别为，又f'ex，g'ex－2，所以f'，g'，所以切线为y，即y·x－x11，y，即y·x－x2，所以，－x11＝－x2，所以x2＝x1＋2，，即这条切线的斜率为.故答案为. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 3.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　). A. B. C. D. 【解析】若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y'＝3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，即Δ＝4－12m≤0，所以m≥.故m的取值范围为.故选B. B　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 4.已知x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，则a＝(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】 由f(x)＝xln(ax)＋1，可得f'(x)＝ln(ax)＋1，因为x是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，所以ln1＝0，解得a＝1.经验证a＝1满足题意.故选B. B　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 5.(多选)设函数f，则下列说法正确的是(　　) A.f没有零点 B.当x∈时，f的图象位于x轴下方 C.f存在单调递增区间 D.f有且仅有两个极值点 BC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】函数f的定义域为，f'，令hln x，则h'＜0，所以函数h上递减，又h1＞0，h1＜0，所以存在x0∈上，使得h0，即函数h有唯一零点x0，且ln x0，当x∈时，h＞0，即f'＞0，函数f递增，故C正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 当x∈时，h(x)＜0，即f'(x)＜0，函数f(x)递减，所以x0为函数f(x)的极大值点，无极小值点，即f(x)有且仅有一个极值点，故D错误；所以f(x)max＝f(x0)＞0，又f＜0，所以函数f(x)在上存在一个零点，故A错误；当x∈(0，1)时，ln x＜0，ex＞0，所以f(x)＜0，即当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方，故B正确.故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 6.(多选)已知函数f(x)＝(x－1)ln x，则(　　) A.函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B.函数f(x)有且仅有一个零点 C.函数f(x)有且仅有一个极值点 D.直线y＝x－1是曲线y＝f(x)的切线 BC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】函数f(x)＝(x－1)ln x的定义域为(0，＋∞)，则f(x)＝ln x＋1，令g(x)＝ln x＋1，则g'(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，g(x)＜0，即f'(x)＜0，所以函数f(x)在(0.1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，即f'(x)＞0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)存在极小值f(1)＝0，所以A选项不正确，B，C选项正确；由(x－1)ln x＝x－1得x＝1或x＝e，因为f(1)＝0，f'(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝0，同理f(x)在点(e，e－1)处的切线方程为yx－e，所以D选项不正确，故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 7.(多选)已知函数f(x)＝＋bln x＋x＋cx2(a，b，c∈R)，则(　　) A.若a＝b＝c＝1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y＝0 B.若a＝0，b＝－1，c＝1，则函数f(x)在区间上的最大值为ln 2＋ C.若b＝1，c＝0，且f(x)在区间(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(－∞，2］ D.若a＝0，b＝－1，函数g(x)＝f(x)－x在区间(0，＋∞)上存在两个不同的零点，则实数c的取值范围 ACD　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】f(x)ln x＋x＋x2，得f(1)＝3，且f'(x)＝1＋2x，所以f'(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0，所以A正确；f(x)＝－ln x＋x＋x2，得f'(x)＝1＋2x，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，又fln 3，f(1)＝2，且易知f(1)＞f，所以当x∈时，f(x)max＝f(1)＝2，所以B不正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 f(x)ln x＋x，定义域为(0，＋∞)，f'(x)1.因为f(x)在区间(1，2)上单调递增，所以f'(x)≥0在区间(1，2)上恒成立，即a≤x2＋x在区间(1，2)上恒成立，而当x∈(1，2)时，函数y＝x2＋x的值域为(2，6)，所以a≤2，所以C正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 f(x)＝－ln x＋x＋cx2，所以g(x)＝－ln x＋cx2，定义域为(0，＋∞)，g(x)在区间(0，＋∞)上存在两个不同的零点，等价于关于x的方程cx2－ln x＝0，即c在区间(0，＋∞)上存在两个不同的根.令h(x)，则原问题等价于函数y＝h(x)和y＝c的图象有两个不同的交点，h'(x)，所以由h'(x)＞0，得0＜x＜，由h'(x)＜0，得x＞，所以h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，h(，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时h(x)→0， 作出函数h(x)和y＝c的大致图象，如图所示， 由图可得c∈，所以D正确. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 8.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝　　　　.  －　 【解析】由f(x)＝3xf'(2)＋ln x，则f'(x)＝3f'(2)＋，∴f'(2)＝3f'(2)＋，则f'(2)＝－.故答案为－. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 9.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值. 【解析】(1)f'(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f'(0)＝4. 故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f'(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－). 令f'(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f'(x)＞0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f'(x)＜0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增， 在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第15讲　导数的概念与运算 基础训练 【解析】 (1)y'＝(ex)'·cos x＋ex(cos x)' ＝ex·cos x－exsin x. (2)y＝x3＋，∴y'＝3x (3)y＝x－sx， ∴y'x. $$