第14讲 函数与方程（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 第14讲　函数与方程 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 1.函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 2.函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 3.明确三个等价关系(三者相互转化) 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象       与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 或(x2，0) 无交点 零点个数 2 1 0 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 题型一　函数零点所在区间的判断 【例1】　(1)函数f(x)＝ln x(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1，2) B.(2，3) C.(1，e)和(3，4) D.(e，＋∞) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 (2)设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 (1)∵f'(x)(x＞0)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln，f(2)＝ln 2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)唯一的零点在区间(2，3)内.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 (2)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根， 即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A. 【答案】 (1)B　(2)A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【规律总结】判断函数零点所在区间的三种方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上. (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 变式训练一 已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间 是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 因为f(x)＝ln x－（）x－2在(0，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝ln 1－（）－1＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－（）0＜0，f(3)＝ln 3－（）1＞0， 所以x0∈(2，3)，故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 题型二　函数零点个数的问题 【例2】　(1)函数f(x (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 (2)已知函数f(xx的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 (1)【解析一】由f(x)＝0x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析二】函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 (2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1. 【答案】(1)B　(2)(1，＋∞) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【规律方法】判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质. (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 变式训练二 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示. 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 题型三　函数零点的应用(高频考点) 　　函数零点的应用是每年高考的重点，多以选择题或填空题的形式考查，难度中档及以上.主要命题角度有：①已知函数在某区间上有零点求参数；②已知函数零点或方程根的个数求参数. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 考法一　根据零点求参数 【例3－1】　 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 由函数f(x)有零点得x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，即(x－1)2－1＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解.令t＝x－1，则上式可化为t2－1＋a(et＋e－t)＝0，即ah(t)，易得h(t)为偶函数，又由f(x)有唯一零点得，函数h(t)的图象与直线y＝a有唯一交点，则此交点的横坐标为0，∴a，故选C. 【答案】C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 考法二　已知函数零点或方程根的个数求参数 【例3－2】　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】 令h＝f(x)－g＝ax2＋a－1－cos x，x∈，原题意等价于h有且仅有一个零点，因为h＝a＋a－1－cos＝ax2＋a－1－cos x＝h，则h为偶函数，根据偶函数的对称性可知h的零点只能为0，即h＝a－2＝0，解得a＝2，若a＝2，则h＝2x2＋1－cos x，x∈，又因为2x2≥0，1－cos x≥0当且仅当x＝0时，等号成立，可得h≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意；故选D. 【答案】D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【规律方法】已知函数的零点或方程根的个数，求参数问题的三种方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 变式训练三 1.设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]上有零点，则实数k的取值范围为　　　　.  [1，3]　 【解析】∵f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]单调递增，且有零点，∴，解得1≤k≤3，故答案为[1，3]. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 2.(多选)已知函数f(x)＝xln x＋a(1－x)＋x在区间(1，＋∞)内没有零点，则实数a的取值可以为(　　) A.－1 B.2 C.3 D.4 ABC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】f(x)＝xln x＋a(1－x)＋x＝x，设g(x)＝ln x＋－a＋1，则在x＞1上，y＝f(x)与y＝g(x)有相同的零点.故函数f(x)在区间(1，＋∞)内没有零点，即g(x)在区间(1，＋∞)内没有零点，g'(x)＝，当a≤1时，g'(x)＝＞0在区间(1，＋∞)上恒成立，则g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.所以g(x)＞g(1)＝1＞0，显然g(x)在区间(1，＋∞)内没有零点. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 当a＞1时，令g'(x)＞0，得x＞a，令g'(x)＜0，得1＜x＜a，所以g(x)在区间(1，a)上单调递减.在区间(a，＋∞)上单调递增.所以g(x)≥g(a)＝ln a＋2－a，设h(a)＝ln a＋2－a(a＞1)，则h(a)＝－1＝＜0(a＞1)，所以h(a)在(1，＋∞)上单调递减，且g(3)＝ln 3－1＞0.g(4)＝ln 4－2＜0，所以存在a0∈(3，4)，使得h(a0)＝0，要使得g(x)在区间(1，＋∞)内没有零点，则g(a)＝ln a＋2－a＞0，所以1＜a＜a0∈(3，4)，综上所述，满足条件的a的范围是a＜a0∈(3，4)，由选项可知：选项ABC可使得g(x)在区间(1，＋∞)内没有零点，即满足题意. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 1.已知函数f(xx，则f(x)的零点所在的区间是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，＋∞) C 【解析】 易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0， 故f(x)的零点所在的区间是(3，4). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 2.若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.[0，＋∞) C.(－∞，1) D.[1，＋∞) D 【解析】 由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】由f0可得e－x，作出函数y与y＝e－x的图象如下图所示：   由图可知，函数y与y＝e－x的图象的交点个数为2，故函数f的零点个数为2.故选C. 3.函数f＝ex－1的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 4.函数f(x)＝2x1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) C 【解析】 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0.所以0＜a＜3. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 5.函数f(xg(x)＝f(x)－b有两个零 点，则实数b的取值范围是(　　) A.0＜b＜1 B.－1＜b＜0 C.b＜0 D.－1＜b＜1 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】作出函数f(x)＝的图象，令g(x)＝0，可得f(x)＝b，画出直线y＝b，可得当－1＜b＜0时，直线y＝b和函数y＝f(x)的图象有两个交点，则g(x)有两个零点.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 6.(多选)已知函数f(x)＝ax2－bx＋c(a＜b＜c)有两个零点－1和 m，若存在实数x0，使得f>0，则实数m的值可能是(　　) A.x0－2 B.x0＋ C.x0＋ D.x0＋2 BC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】∵－1是函数f(x)＝ax2－bx＋c的一个零点，∴a＋b＋c＝0，∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，∵－1×m＜0，∴m＞0.由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a＋b＋c＞a＋b＋b＝a＋2b，得，即②，由①②得：＜1.函数f(x)＝ax2－bx＋c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x，则.∴零点－1到对称轴的距离d∈()，另一零点为m＞0，∴m－(－1)＝m＋1＝2d∈(，3)，因为f(x0)＞0，所以x0∈(－1，m)，故0＜m－x0＜(2d)min，∴x0＜m？x0，综合四个选项，实数m的值可能是x0和x0.故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 7.方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是　　　　.  [5，10)　 【解析】 令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数. 当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0， 解得5＜k＜10.当f(1)＝0时，k＝5.故答案为[5，10). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 8.已知函数f(xy＝f(x (　　) A C.2 D.0 D 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 【解析】x≥0时，由(x－1)2－＝0得x＝1±，x＜0时，由|x＋1|－＝0得x＝－或x＝－，∴四个零点和为1＋＋1－＝0.故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 9.(多选)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内， 则实数a的可能取值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】因为函数y＝2x、y＝在定义域上单调递增，所以函数f2xa在上单调递增，由函数f2xa的一个零点在区间内，得ff(2－2－a)(4－1－a)＜0，解得0＜a＜3，故选BC. BC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 10.已知函数f(xf(x)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围为　　　　.  (1，2)　 【解析】画出f(x)的图象，易得x2＋x3＝2×1＝2，且当x＞0时，f(x)的最大值为f(1)＝1，当x＜0时f(x)＝1解得x＝－1， 故x1∈(－1，0)，故x1＋x2＋x3＝2＋x1∈(1，2)，故答案为(1，2). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第14讲　函数与方程 基础训练 $$