第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学小题量检测

精简 全面 专业 高效 -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 一、选填题(47分) 1.在△ABC中，满足9sin2A＋6cos A＝10，且AB＝3，BC＝2，则AC＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 【解析】9sin2A＋6cos A＝9(1－cos2A)＋6cos A＝9－9cos2A＋6cos A＝10，即9cos2A－6cos A＋1＝(3cos A－1)2＝0，解得cos A＝，由余弦定理可知cos A＝，则，整理得AC2－2AC－15＝(AC－5)(AC＋3)＝0，解得AC＝5或AC＝－3(舍)，故选C. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 2.若在△ABC中,2a·cos B＝c,则三角形的形状一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 B 【解析】由2a·cos B＝c以及余弦定理得2a·＝c,化简得a＝b,∴三角形的形状一定是等腰三角形.故选B. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 3.在△ABC中,B＝,BC边上的高等于BC,则sinA＝(　　) A. B. C. D. D -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】如图,过A作AD⊥BC于D,设BC＝a,由已知得AD＝,∵B＝,∴AD＝BD,∠BAD＝,∴BD＝,DC＝a,tan∠DAC＝＝2. ∴tan∠BAC＝tan＝－3. cos2∠BAC＝,sin∠BAC＝.故选D. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 4.若在△ABC中,2a·cos B＝c,则三角形的形状一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 B 【解析】因为△ABC的面积为4,所以acsinB＝4.因为2bcosA＋a＝2c,所以由正弦定理,得2sinBcosA＋sinA＝2sinC,又A＋B＋C＝π,所以2sinBcosA＋sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB,所以sinA＝2cosBsinA,因为sinA≠0,所以cosB＝,因为0＜B＜π,所以B＝,所以ac＝16,又a＋c＝8,所以a＝c＝4,所以△ABC为正三角形,所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 5.在△ABC中，A＝，BC＝2，则AC－AB的最小值为(　　) A.－4 B.－ C.2 D.2 A -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】在△ABC中，＝4，所以AC＝4sin B，AB＝4sin C，所以AC－AB＝4(sin B－sin C)＝4 ＝4 ＝4 ＝4＝4cos，因为C∈，所以C＋，所以cos，所以4cos∈［－4，2)，所以AC－AB的最小值为－4.故选A. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 6.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A，则下列说法正确的是(　　) A.A＝ B.若B＝，则b＝a C.若a＝，b＋c＝3，则bc＝2 D.若a＝2，则△ABC面积的最小值为 BC -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】对于A选项，由asin B＝bcos A，结合正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝，可得A＝，故A选项错误；对于B选项，由正弦定理得，即b＝a，故B选项正确；对于C选项，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，将a＝，A＝代入，得b2＋c2－bc＝3，即(b＋c)2－3bc＝3，又b＋c＝3，所以bc＝2，故C选项正确；对于D选项，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，将a＝2，A＝代入，得b2＋c2－bc＝4，则b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤，即△ABC面积的最大值为，故D选项错误.故选BC. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin2A－sin2B＝sinBsinC, sinC＝2sinB,则A＝　　　　.  30° 【解析】根据正弦定理可得a2－b2＝bc,c＝2b,解得a＝b.根据余弦定理cosA＝.∵0＜A＜π,∴A＝30°. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 8.如图所示,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于2 km,从三点分别遥望塔M,在A处看见塔在北偏东45°方向,在B处看塔在正东方向,在点C处看见塔在南偏东60°方向,则塔M到直路ABC的最短距离为 　　 　　.  -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】 已知AB＝BC＝2,∠AMB＝45°,∠CMB＝30°,∴∠CMA＝75°,易见△MBC与△MBA面积相等, ∴·CM·BMsin 30°＝AM·BMsin 45°,即AMsin 45°＝CM·sin 30°, 即CM＝AM,记AM＝a,则CM＝a, 在△MAC中,AC＝4,由余弦定理得16＝3a2－2a2cos 75°, ∴a2＝,记M到AC的距离为h,则a·a·sin 75°＝×4 h, 得h＝,∴塔M到直路ABC的最短距离为. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 9.(多选)已知△ABC中,AB＝3,AC＝5,BC＝7,O为△ABC外接圆的圆心, I为△ABC内切圆的圆心,则下列叙述正确的是(　　 ) A.△ABC外接圆半径为 B.△ABC内切圆半径为 C.＝8 D.＝1 BCD -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】在△ABC中,cos A＝＝－,∴sin A＝,设△ABC外接圆半径为R,则2R＝,则R＝,故A错误;设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC＝r＝×3×5×,解得r＝,故B正确;∵cos∠BAO＝,cos∠CAO＝, ∴＝×5××3×＝8,故C正确;设内切圆与三角形分别切于D,E,F,则设AE＝AF＝x,CE＝CD＝y,BD＝BF＝z,,解得x＝,y＝,z＝,∴AI＝＝1,则cos∠BAI＝,cos∠CAI＝,∴＝1×5×－1×3×＝1,故D正确.故选BCD. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 二、解答题(每题12分，共36分) 10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋1＝tan Btan C. (1)求角A的值； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD的最大值. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】(1)因为＋1＝，所以2(cos Bcos C－sin Bsin C)＝2cos(B＋C)＝2cos(π－A)＝－2cos A＝－1，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以b2＋c2＝4＋bc，bc≤4.因为)，所以＋2)＝(b2＋c2＋2bccos A)＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤×(4＋8)＝3，所以||≤，即AD的最大值为. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 11.如图,在平面四边形ABCD中,BC＝2,CD＝2,且AB＝BD＝DA. (1)若∠CDB＝,求tan∠ABC的值; (2)求四边形ABCD的面积的最大值. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】(1)【法一】∵AB＝BD＝DA,∴∠ABD＝,在△BCD中,由正弦定理得, ∴sin∠CBD＝.∵0＜∠CBD＜π, ∴∠CBD＝或∠CBD＝. 当∠CBD＝时,A,B,C三点共线,不满足题意,∴∠CBD＝. ∴tan∠ABC＝tan(∠ABD＋∠CBD)＝tan＝tan ＝－. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【法二】∵AB＝BD＝DA,∴∠ABD＝,在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC＝,即BD2－6BD＋8＝0,∴BD＝2或BD＝4. 若BD＝2,则∠CBD＝,此时A,B,C三点共线,不满足题意. ∴BD＝4,则∠CBD＝,∴tan∠ABC＝tan(∠ABD＋∠CBD)＝tan＝－. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 (2)设∠BCD＝θ,θ∈(0,π),在△BCD中,由余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos θ＝22＋(2)2－2×2×2cos θ＝16－8cos θ, ∴BC·CDsin θ＋BA·BDsin BC·CDsin θ＋BD2＝2sin θ＋4－6cos θ＝4sin＋4. ∴当θ＝时,四边形ABCD的面积取得最大值,为8. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 12.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，cos C－sin B＝，角A的平分线交BC于D，AD＝. (1)求角A； (2)求△ABC外接圆面积的最小值. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 【解析】(1)因为cos C－sin B＝，所以2abcos C＋c2－a2＝absin B，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，可得a2＋b2－c2＋c2－a2＝absin B，化简得b＝asin B，由正弦定理得，可得sin A＝，因为0＜A＜，所以A＝. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 (2)由(1)得A＝，所以∠DAB＝∠DAC＝.因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以bcsin A＝AD·(csin∠BAD＋bsin∠CAD)，又AD＝，所以2bc＝3(b＋c).由基本不等式得2bc＝3(b＋c)≥6，所以bc≥9(当且仅当b＝c＝3时，等号成立).因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥bc≥9，所以a≥3，所以△ABC外接圆的直径2R＝a≥2，所以R≥，当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立，所以△ABC外接圆面积的最小值为πR2＝3π. -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 谢 谢 观 看 -‹#›- 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 $$