第11讲 数列的通项与求和（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 第11讲　数列的通项与求和 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 1.数列的通项公式 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项). (2)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (3)数列的递推公式 如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一an＝fan＝fan}的递推公式. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (4)Sn与an的关系 已知数列{an}的前n项和为Sn，则 an 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他标 准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 3.数列求和的常用方法 (1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式：Sn ②等比数列的前n项和公式： Sn 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (3)并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋ (2＋1)＝5 050. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (5)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的裂项技巧： 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 题型一　用归纳法求数列的通项 【例1】　根据数列的前n项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3…； (41…； (5)0，1，0，1，…. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 略 【答案】 (1)an＝(－1)n(6n－5) (2)an (3)an＝(－1)n (4)an (5)ananan 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－，k∈N*处理. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练一 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1 (2 (3)7，77，777，7777； (4)00 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)an＝　(2)an＝1＋ (3)an＝(10n－1)　(4)an＝ 或an＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 题型二　an与Sn关系式的应用(高频考点) an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题.主要命题角度有：①利用an与Sn的关系求通项公式an；②利用an与Sn的关系求Sn. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【例2－1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.  (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于n＝1时，a1＝1≠2×1－3，∴{an}的通项公式为an 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴ Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵ Sn≠0，， ，－1，公差为－1的等差数列. ＋(n－1)×(－1)＝－n，∴ Sn＝ 【答案】 (12 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【例2－2】　 (2022·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1 (1)求{an}的通项公式； (2)证明 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，，， (n－1)，∴Sn ∴当n≥2时，Sn－， ∴an＝Sn－Sn－，整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1， ， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 ∴an＝a，显然对于n＝1也成立. ∴{an}的通项公式an 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2) 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】 (1)已知Sn求an的三个步骤： ①先利用a1＝S1求出a1； ②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； ③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)Sn与an关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； ②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练二 1.若数列{an}的前n项和Snan}的通项公式an＝　　　　.  (－2)n－1　 【解析】 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 2.设正项数列的前n项和为Sn，且a1＝1，当n≥2时，αn＝. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足b1＝1，且bn＋1－bn＝2n－1·an，求数列的通项公式. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)由an，得Sn－Sn－1，因为Sn＞0，所以1，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1＋(n－1)＝n，所以，当n≥2时，ann＋n－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝1也满足上式，所以数列的通项公式为an＝2n－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由bn＋1－bn＝2n－1·an＝(2n－1)·2n－1知：当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)，＝1＋1×20＋3×21＋…＋(2n－3)·2n－2①，则2bn＝2＋1×21＋3×22＋…＋(2n－3)·2n－1②，由①－②得：－bn＝2(21＋22＋…＋2n－2)－(2n－3)·2n－1＝2(2n－3)·2n－1，化简得：bn＝(2n－5)·2n－1＋4(n≥2)，当n＝1时，b1＝1也满足上式，所以数列的通项公式为bn＝(2n－5)·2n－1＋4. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 题型三　数列求和 (一)分组与并项求和 【例3】　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－ a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和，(21＋22＋)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练三(一) 1.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1－nan(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数n项和为Tn，求T2n的表达式. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－a1，即a1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－nan－1＋(n－1)an－1，即(n＋1)an＝(n－1)an－1，因此. 所以an＝·…··a1＝×…×， an＝，经检验，n＝1时成立，所以an＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)＝(－1)n(n＋1)＝(－1)n(n2＋n)，所以 T2n＝－(12＋1)＋(22＋2)－(32＋3)＋(42＋4)－…－[(2n－1)2＋(2n－1)]＋[(2n)2＋2n]＝－12＋22－32＋42－…－(2n－1)2＋(2n)2－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n＝3＋7＋…＋(4n－1)＋n＝＋n＝2n2＋2n. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (二)错位相减法求和 【例4】　已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，n∈N*. (1)求数列的通项公式； (2)设bn＝的前n项和为Tn，若对任意的正整数n，不等式Tn>恒成立，求实数m的取值范围. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)由Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，得＋1，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，，即Sn＝·2n－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·2n－1－·2n－2＝·2n－2，又a1＝1不满足上式，所以an＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)知Sn＝·2n－1，所以bn＝， 所以Tn＝＋…＋，① Tn＝＋…＋，② ①②得：Tn＝＋…＋，整理得Tn＝5－， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 又因为对任意的正整数n，Tn>恒成立，所以， 所以Tn＋1－Tn＝>0， 所以Tn在上单调递增，＝T1＝，由，可得－1＜m＜2，所以实数m的取值范围是 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】错位相减法求和策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解. (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练三(二) 1.在数列{an}中，aan＋n∈N*. (1)求证：数 (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)【证明】 由an＋1＝an知， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)【解析】 由(1)知是首项为，公比为的等比数列. 所以＝()n. 所以an＝. 所以Sn＝＋…＋，① 则Sn＝＋…＋，② ①－②得Sn＝＋…＋＝1－， 所以Sn＝2－. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bnbn}是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【证明】 (1)由已知an＋1＝2an＋2n， ∴＋1. ∵bn＝， ∴bn＋1＝bn＋1，而bn＋1－bn＝1， 又a1＝1， ∴b1＝＝1. ∴数列{bn}是首项，公差均为1的等差数列. bn＝1＋(n－1)·1＝n，即＝n. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)【解析】 由(1)知an＝n·2n－1 ∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1， 2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减(1－2)Sn＝1＋(21＋22＋…＋2n－1)－n·2n＝ －n·2n， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (三)裂项相消法求和 【例5】　已知数列{an}的通项，求其前n项和Sn. (1)an (2)an (3)an (4)an 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)an(2)an(3)an(4)an 【答案】 (1)Sn2)Sn (3)Sn (4)Sn 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项. (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{an}是等差数列，， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练三(三) 1.已知数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且满足4Snan－3对任意的正整数n都成立. (1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式； (2)设bnbn}的前n项和Tn. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)当n＝1时，4S1＝＋2a1－3，即－2a1－3＝0， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)， 由4Sn＝＋2an－3，得当n≥2时，4Sn－1＝＋2an－1－3，两式相减， 得4an＝＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 又an＞0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2(n≥2)， ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由an＝2n＋1，得Sn＝·n＝n(n＋2)， ∴bn＝， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝ ＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 2.已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2019＝　　 　　.  2－1 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 由f(4)＝2，可得4α＝2， 解得α＝，则f(x)＝. ∴an＝， S2019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019 ＝(－1)＋()＋()＋…＋()＋()＝－1＝2－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 3.在等差数列{an}中，a2＝4，a1＋a4＋a7＝30，其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数n项和Tn. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d. 【法一】由已知可得 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【法二】由等差数列的性质可得a1＋a4＋a7＝3a4＝30，解得a4＝10， 所以d＝＝3， 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×3＝3n－2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)知Sn＝， 所以Sn＋2n＝＋2n＝， 所以. 所以Tn＝＋…＋. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 题型四　由数列的递推关系求通项公式 考法一　形如an＋1＝an＋f(n)，求an. 【例6－1】　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 ∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－)＋…＋(a2－a1)＋a(n≥2). 当n＝1时，a(3×1＋1)＝2符合公式，∴an 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 考法二　形如an＋1＝anf(n)，求an. 【例6－2】　(多选)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则(　　) A.an＝ B.an＝n C.数列为递增数列 D.数列为递减数列 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 因为数列满足，a1＝1，an＋1＝an，则当n≥2时，，……，，所有的式子相乘得＝n，即an＝n，当n＝1时也符合通项，故an＝n，数列为递增数列，故选BC. 【答案】BC 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 考法三　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an. 【例6－3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式. 【解析】∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【规律方法】由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1. (2)已知a1(n)，可用“累乘法”求an，即an…a1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}. (4)形如an＋(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 变式训练四 根据下列条件，求数列{an}的通项公式. (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)aann≥2)； (3)a1＝1，an＋1＝2an＋3； (4)a1＝1，an＋ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 　【解析】(1)由题意知an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)因为an＝an－1(n≥2)， 所以当n≥2时，， 所以，…，， 以上n－1个式子相乘得·…··…·， 即×2×1，所以an＝. 当n＝1时，a1＝，与已知a1＝相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3). 又a1＝1，∴a1＋3＝4. 故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (4)因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0， 所以，即. 又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列. 所以＋(n－1)×.所以an＝(n∈N*). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 1.已知数…，则其前n项和Sn为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.n2＋n2＋ C.n2＋n2＋ A 【解析】　因为an＝2n－1＋，所以Sn＝＝n2＋1－. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 2.已知等差数列{an}，a2＝3，a5＝6，则数8项和为(　　) A C B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】由a2＝3，a5＝6可得公差d＝＝1，∴an＝a2＋(n－2)d＝n＋1，因此，∴前8项和为＋…＋，故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 3.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A.an＝n－1 B.an＝(n－1)2 C.an＝(n－1)3 D.an＝(n－1)4 B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)， 则an＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1 ＝＝(n－1)2.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 4.数列{an}的首项a1＝1，对于任意m，n∈N*，有an＋m＝ an＋3m，则{an}前5项和S5＝(　　) A.121　　　B.25　　　C.31　　　D.35 D 【解析】 由题意知an＋1＝an＋3，∴{an}是首项为1公差为3的等差数列，a5＝a1＋12＝13，∴S5＝＝35.故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 5.(多选)设数列{an}满足：a1＝1，且对任意的n∈N*，都有 an＋1＝2an＋1，Sn为数列{an}的前n项和，则(　　) A.{an}为等比数列 B.an＝2n－1 C D.Sn＝2n－n BC 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】依题意an＋1＝2an＋1，则an＋1＋1＝2(an＋1)，∵a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，∴＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴是首项为，公比为的等比数列.an＋1＝2×2n－1＝2n，an＝2n－1，a1＝1，a2＝3，a3＝7，≠a1·a3，∴{an}不是等比数列.Sn＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.∴AD选项错误、BC选项正确.故选BC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 6.已知ann∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝　　　　.  8 　【解析】 an＝＝1＋(n∈N*)，根据函数的单调性知，当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列，因为当n≤7时，an＜1，当n≥8时，an＞1，所以a8为最大项，可知m＝8. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 7.在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列 {an}的前n项和，则S60＝　　　　.  480 【解析】 【法一】依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58＋a60)＝15. 因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【法二】∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}为等差数列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4， ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8， S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，∴S60＝4×15＋×4＝480. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 8.已知等比数列的前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn＋1，2Sn＋2成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足bn＝，求的前2n项和T2n. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)由4Sn，3Sn＋1，2Sn＋2成等差数列知4Sn＋2Sn＋2＝6Sn＋1，即2Sn＋Sn＋2＝3Sn＋1，所以Sn＋2－Sn＋1＝2，即an＋2＝2an＋1，因为是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1，所以的通项公式an＝2n－1. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)知，an＝2n－1，所以b2k－1＝a2k－1＝22k－2＝4k－1，b2k＝2k－1，所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n(40＋41＋…＋4n－1)＋［1＋3＋…＋(2n－1)]n2，所以的前2n项和T2n. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 9.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bnbn}的前n项和为Tn，证明：Tn 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】 (1)由题意知 解得a1＝d＝2，故an＝2n. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)可知bn＝， 则Tn＝ ＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 10.已知Sn为数列的前n项和，a1＝2，Sn＝an＋1－3n－2. (1)求数列的通项公式an； (2)设bn＝，记的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝a2－3－2，则a2＝7，因为Sn＝an＋1－3n－2，所以Sn－1＝an－32，，两式相减得：an＋1＝2an＋3，，所以an＋1＋3＝2，a1＝2，a1＋3＝5，a2＋3＝10，则a2＋3＝2，即n＝1也适合上式，所以是以5为首项，公比为2的等比数列，故：an＋3＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 (2)由(1)得bn， 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ，当n∈N*时，＞0，故Tn＜. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第11讲　数列的通项与求和 基础训练 $$