第10讲 等差数列与等比数列（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 第10讲　等差数列与等比数列 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 1.等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示n∈N*，d为常数). (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是AA叫做a，b的等差中项. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则2d. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak …(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (5)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 4.等差数列前n项和的性质 (1)数列Sm…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (22n－1)ana＝n(an (3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (4){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn， (5)若{an}是等差数列，an}的首项相同，公差是{an}的公差 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 5.等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，ann≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的 证明问题 等差中 项法 n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公 式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空 题中的判 定问题　 前n项和 公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 6.等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式 (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 7.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a (2)前n项和公式： Sn 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 8.运用方程的思想求解等比数列的基本量 (1)若已知n，an，Sn，先验证q＝1是否成立，若q≠1，可以通过列方程(组a1和q，问题可迎刃而解. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)若已知数列{an}中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程q，然后代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式an＝amq，可减少运算量. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 9.等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝amn，m∈N*). (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} an·bn}0)仍然是等比数列. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an…为等比数列，公比为qk. (5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Snqn. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 10.等比数列的四种常用判定方法 定义法 q为非零常数，n∈N*)q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝cc，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 题型一　等差(比)数列的基本量的计算 【例1】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.  (2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列的前n项和.若8S6＝7S3，则的公比为　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】 (1)因为数列an为等差数列，则由题意得，解得，则S10＝10a1＋d＝10×＋45×3＝95.故答案为95. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意. ∴q≠1.当q≠1时，∵8S6＝7S3，∴8·＝7·， 即8·＝7·，即8·＝7·，即8·＝7，解得q＝－. 【答案】 (1)95　(2)－ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【规律方法】 (1)等差数列基本运算的解题方法 ①等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题；②数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)等比数列运算的思想方法 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 变式训练一 1.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和， 若S8＝4S4，则a10＝(　　) A B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】 因为公差为1，所以S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 因为 S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， 所以a10＝a1＋9d＝＋9＝，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 2.(多选)记Sn为等差数n项和，公差为d， 若S9＝a5＋a12，a1＞0，则以下结论一定正确的是(　　) A.d＜0 B.S2＝S5 C D.Sn取得最大值时，n＝3 AB 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】由S9＝a5＋a12，得9a1＋36d＝a1＋4d＋a1＋11d，即a1＝－3d，又a1＞0，∴d＝－a1＜0，选项A正确；由S2＝2a1＋d＝2a1－a1＝a1；S5＝5a1＋10d＝5a1－a1＝a1，得S2＝S5，选项B正确；由a9＝a1＋8d＝a1－a1＝－a1，得|a9|＝a1，又a1＞0，∴|a1|＝a1＜|a9|＝a1，选项C错误；an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)·a1＝a1，令an＜0，得－n＋＜0，解得n＞4，又n∈N*，∴n≥5，即数列{an}满足：当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，∴Sn取得最大值时，n＝4，选项D错误.故选AB. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 3.(2024·天津卷)已知数列是公比大于0的等比数列.其前n项和为Sn.若a1＝1，S2＝a3－1.求数列前n项和Sn. 【解析】设等比数列的公比为q＞0，因为a1＝1，S2＝a3－1，即a1＋a2＝a3－1，可得1＋q＝q2－1，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以Sn2n－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 4.已知正项等比数列{an}首项为1，且4a5，a3，2a4成等差数列，则{an}前6项和为(　　) A.31 B. C C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】∵4a5，a3，2a4成等差数列，∴2a3＝4a5＋2a4， ∴2a1q2＝4a1q4＋2a1q3，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1，又∵an＞0，∴q＝， ∴S6＝，故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 题型二　等差、等比数列的性质的运用 【例2】　(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A.25 B.22 C.20 D.15 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (3)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B.85 C.－85 D.－120 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得：d＝1，a1＝2，∴S5＝5a2＋10＝20.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)∵S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，设其首项为a1，公差为d，S10＝1，S30＝5，2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， ∴S2(S30－S20)＝(S20－S10)＋(S40－S30)，∴S40＝8.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (3)【解法一】(基本量法)如果q＝1，则S6＝6a1，S2＝2a1与题意不符合，∴q≠1，由S6＝21S2，，∴1－q6＝(1－q2)(1＋q2＋q4)＝21(1－q2)，则q4＋q2－20＝0，解得q2＝4.由已知S，而S故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解法二】(性质法)由等比数列性质：{an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n……依次成等比数列，当n＝2时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列.设公比为Q，∴S2＋S4－S2＋S6－S4＝S2(1＋Q＋Q2)＝21S2，∴1＋Q＋Q2＝21，Q＝4，S2＋S4－S2＝(1＋Q)S2＝5S2＝－5，∴S2＝－1， ∴S8＝S2＋(S4－S2)＋(S6－S4)＋(S8－S6)＝S2(1＋Q＋Q2＋Q3)＝－85，故选C. 【答案】 (1)C　(2)B　(3)C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【规律方法】等差数列常见性质的应用 (1)等差数列和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，(a)＝…＝n(an)；(2n－1)an；③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝ n∶(n－1). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法： 当a1＞0，d＜0时，满m使得Sn取得最大值为Sm； 当a1＜0，d＞0时，满m使得Sn取得最小值为Sm. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (3)等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 变式训练二 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30， 则S30＝　　　　.  60 【解析】 由题意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差数列. 则2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2022， S2023＝(　　) A.0 B.1 C.2022 D.2023 A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】设等差数列的公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d； ∵d，∴是等差数列； ∵＝1，∴Sn＝－2022＋(2023－1)×1＝0， ∴S2023＝0；故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 3.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，  　 【解析】 . 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 4.已知等比数列{an}的公比q＞0，且a5·a7＝a2＝1， 则a1＝(　　) A C B 【解析】 a5·a7＝＝4，公比q＞0，∴a6＝2a4，则＝q2＝2. ∴q＝，又a2＝1，∴a1＝，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 5.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 B 【解析】 S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝4＋8＋16＋32＝60. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 题型三　等差、等比数列的判断与证明 【例3－1】　(1) (2021·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列是等差数列，证明：是等差数列. (2) 已知数列满足a1＝5，an＋1－2an＝3n(n∈N*).记bn＝an－3n. (ⅰ)求证：是等比数列； (ⅱ)设cn＝nbn，求数列的前n项和. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】 (1)∵数列是等差数列，设公差为d，∴d＝， ∴＋(n－1)＝n(n∈N*). ∴Sn＝a1n2(n∈N*). ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1n2－a1＝2a1n－a1； 当n＝1时，2a1×1－a1＝a1，满足an＝2a1n－a1， ∴的通项公式为an＝2a1n－a1(n∈N*). ∴an－an－1＝＝2a1. ∴是等差数列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)ⅰ由已知，an＋1－2an＝3n，an＋1＝3n＋2an，bn＝an－3n，bn＋1＝an＋1－3n＋1＝3n＋2an－3×3n＝2an－2×3n＝2＝2bn，又a1＝5，b1＝a1－31＝5－3＝2，易知数列中任意一项不为0，＝2，数列是首项为2，公比为2的等比数列. ⅱ由第(ⅰ)问，bn＝2×2n－1＝2n，cn＝nbn＝n·2n，设数列的前n项和为Sn，则Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n①，2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1②，①－②得，－Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1＝－2＋2n＋1－n·2n＋1，Sn＝2＋2n＋1.数列的前n项和为2＋2n＋1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【例3－2】　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】(1)设等差数列的公差为d， 由题意可，，解， ∴an＝13－2(n－1)＝15－2n. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)∵Snn－n2， 令an＝15－2n＞0，解得n，且n∈N*， 当n≤7时，则an＞0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…9＋an＝Sn＝14n－n2；当n≥8时，则an＜0，可得Tn＝|a1|＋la2|＋…＋|an|＝((a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98；综上所述：Tn 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【规律方法】 (1)判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 变式训练三 1.已知数列{an}中，aan＝n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bnn∈N*). (1)求证：数列{bn}是等差数列；   (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】 (1)因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝ ＝ ＝＝1. 又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)由(1)知bn＝n－， 则an＝1＋＝1＋. 设f(x)＝1＋， 则f(x)在区间上为减函数. 所以当n＝3时，an取得最小值－1， 当n＝4时，an取得最大值3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 2.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. 【解析】 (1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 (2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝－2n＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝3，S8＝48，则 a5＝(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.6 C.7 D.8 C 【解析】由已知可得，，解可得，∴an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，∴a5＝2×5－3＝7，故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 2.在等比数列{an}中，a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q＝(　　) A.2 B.－2 C.3 D.－3 C 【解析】　由题意可得q≠1，由数列{Sn＋2}是等比数列，可得S1＋2，S2＋2，S3＋2成等比数列，所以(S2＋2)2＝(S1＋2)(S3＋2)，所以(6＋4q)2＝24(1＋q＋q2)＋12， ∴q＝3(q＝0舍去). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 3.函数f(xan}满足an＝f(n) (n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A C.(2，3) D.(1，3) C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】　因为an＝f(n) (n∈N*)，{an}是递增数列，所以函数f(x)＝ 为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2，3). 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 4.若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝(　　) A.b＝2×3n B.bn＝2×3n－1 C.bn＝2×3n＋1 D.bn＝2×3n－1＋1 B 【解析】依题意，(bn＋1－1)＝3(bn－1)＋2，∴bn＋1＝3bn，即{bn}是首项为2，公比为3的等比数列，bn＝2×3n－1；故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 5.(多选)已知数列的前n项和是Sn，则下列说法正确的是 ( 　　) A.若Sn＝an，则是等差数列 B.若a1＝2，an＋1＝2an＋3，则是等比数列 C.若是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列 D.若是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 ABC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】对于A，Sn＝an，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，解得an－1＝0，因此n∈N*，an＝0，是等差数列，A正确；对于B，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则an＋1＋3＝2(an＋3)，而a1＋3＝5，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为d，首项是a1，Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n…Sn＋n2d，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝(an＋1＋nd)＋(an＋2＋nd)＋…＋(a2n＋nd)＝(S2n－Sn)＋n2d，因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比q＝－1，则S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0不成等比数列，D错误.故选ABC. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 6.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，且a1＋4a7 ＝a13，则(　　) A.a4＝0 B.S5最大 C.S10＝5S6 D.S7＝0 AD 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 【解析】设{an}的公差为d.由a1＋4a7＝a13，可得a1＝－3d. ∵a1＞0，∴d＜0，∴{an}是递减数列.a4＝a1＋3d＝0，A正确； an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，当n≤3时，an＞0，当n＝4时， an＝0，当n＞4时，an＜0，∴S3＝S4最大，B错误； ∵S10＝15d，S6＝－3d，∴S10＝－5S6，C错误； S7＝7a1＋×d＝7×(－3d)＋21×d＝0，D正确.故选AD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 8.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第10讲　等差数列与等比数列 基础训练 7.已知等差数列满足a3＝10，a5－2a2＝6. (1)求an； (2)数列满足bn＝，Tn为数列的前n项和，求T2n. 【解析】(1)设等差数列的公差为d，因为a3＝10，a5－2a2＝6.则，解得，所以an＝2＋44n－2. (2)由(1)可得bn，则T2n2n2－n，所以T2n＝2n2－2n. (1)【证明】 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故｛bn｝是首项b1＝3，公比为2的等比数列. (2)【解析】 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·，∴，故是首项为，公差为的等差数列.∴(n－1)·，故an＝(3n－1)·. $$