第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 定理 正弦定理 余弦定理 变形 形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC；sinAsin BsinCa∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC；asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin AR cos A cos B cos C 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 2.三角形中常用的面积公式 (1)Sh表示边a上的高)； (2)SABC； (3)Sa＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 3.三角形的判别 (1)应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC中，c是最大的边， 若c2＜a2＋b2，则△ABC是锐角三角形； 若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形； 若c2＞a2＋b2，则△ABC是钝角三角形. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用三角形三个内角的和等于180°这个结论. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积D为BC的中点，且AD＝1. ①若∠ADCtan B； ②若b2＋c2＝8，求b，c. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 (1)asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cosA，故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)①【解法一】由△ABC面积，可知S△ABCB，∴acsin B＝， 又在△ABD中，，由∠ADC，可，故csin B，代入acsin B＝a＝4. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 在△ADB中，由余弦定理可得AB2＝c2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cosc2＝12＋22－2×1×2×cos，解得cABD中， cos B， 故B∈(0，)，有sin B，∴tan B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解法二】D为BC中点，S△ABC，则S△ACD 过A作AE⊥BC，垂足为E， 在△ADE中，DE，AE，S△ACDCD， ∴CD＝2， ∴BD＝2，BE，∴tan B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 ②在△ABC中，由中线定理可得b2＋c2＝2(AD2＋BD2) 即AD2＋BD2＝4，∴BD，a＝，由SA和b2＋c2－a2＝2bccos A， S(b2＋c2－a2)tan A，∴tan A＝，又A∈(，π)，A，又SA，bc＝4，因b2＋c2＝8，可得b＝c＝2. 【答案】(1)A　(2)①tan B　② b＝c＝2 　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【规律方法】应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a，b，c (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 变式训练一 1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且CB＝(　　) A C C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解法一】由正弦定理及acos B－bcos A＝c得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin ＝sin C＝sin ，∵A－B＜A＋B，∴A－B＋A＋B＝π，A＝，∴B＝π－A－C＝π－，故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解法二】由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin ＝sin Acos B＋sin Bcos A， 整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈，故sin B＞0， 据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－.故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 2.(2024·天津卷)在△ABC中，cos B＝，b＝5，. (1)求a； (2)求sin A； (3)求cos. 【解析】(1)设a＝2t，c＝3t，t＞0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t，解得t＝2(负舍)；则a＝4，c＝6. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)因为B为三角形内角，所以sin B，再根据正弦定理得，即，解得sin A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (3)因为cos B＞0，且B∈，所以B∈，由(2)知sin B，因为a＜b，则A＜B，所以cos A，则sin 2A＝2sin Acos A＝2，cos 2A＝2cos2A－1＝21coscos Bcos 2A＋sin Bsin 2A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 3.(多选)设a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，Ac sin C－b sin B)，则下 列结论正确的是(　　) A.B B.B C D BD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】由正弦定理得2casin B－a2＝(c2－b2)，∴＝sin B，即cos B＝sin B，∵B∈，∴tan B＝，B＝，故B对，A错； 又，在锐角△ABC中，B＝，∴＜C＜，tan C＞，故.故选BD. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sinB. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)，∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A，即tan A＝3，∴0＜A＜，∴sin A＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)由(1)知，cos A＝，由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝)＝，由正弦定理，，可得b＝＝2，∴AB·h＝AB·AC·sin A，∴h＝b·sin A＝2＝6. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 题型二　与三角形面积有关的问题 【例2】　(2022·新课标Ⅱ卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋Ssin B (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin Cb. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 (1)由题意得Sa2，S，S，则S1－S2＋S，即a2＋c2－b2＝2.由余弦定理得cos B，整理得accos B＝1，则cos B＞0，又sin B，则cos B，ac，则S△ABCsin B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)由正弦定理，，，bB 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【规律方法】求解三角形面积问题的方法 (1)对于面积公式Ssin Csin Bsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac①，又B＝，所以a2＋c2＝b2②，联立①②解得a＝c＝，所以＝3，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 2.(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 (1)求bc； (2)ABC的面积. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】(1)∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴＝2bc＝2，解得：bc＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2) ＝＝1， 变形可得：sin －sin ＝sin B，即－2cos Asin B＝sin B， 而0＜sin B≤1，∴cos A＝－，又0＜A＜π，∴sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 题型三　判断三角形的形状 【例3】　(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 (1)∵acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)由b2＋c2＝a2＋bc得cosAA∈(0，π)，∴A 由sinB·sinC＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，从而△ABC是等边三角形，故选C. 【答案】(1)D　(2)C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【规律方法】判定三角形形状的两种常用途径 【注意】　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 变式训练三 (多选)下列结论正确的是(　 　) A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B.在锐角△ABC中，不等式b2＋c2＞a2恒成立 C.若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 D.在锐角△ABC中，sin A＋sin B＞cos A＋cos B ABD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】在△ABC中，若A＞B，则a＞b，2Rsin A＞2Rsin B，即sin A＞sin B，A正确；由A为锐角可得，cosA＝＞0，即b2＋c2－a2＞0恒成立，B正确；若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；锐角△ABC中，A＋B＞，所以＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，同理sin B＞cos A，所以sin A＋sin B＞cos A＋cos B，D正确. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 题型四　求解几何计算问题 【例4】　如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1) (2)若AD＝1，DCBD和AC的长. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 (1)ADsin∠BAD， ADsin∠CAD. ，∠BAD＝∠CAD， ∴AB＝2AC.由正弦定理可 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)DC，∴BD 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 又由(1)知AB＝2AC，∴解得AC＝1. 故BD，AC＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【规律方法】求解几何计算问题的方法 (1)根据已知的边角画出图形并在图中标示； (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 变式训练四 1.如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCDBD＝　　　　　；△ABD的面积为　　 　　.  2 －1　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2.在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝，由正弦定理可得AD＝＝2(－1)，则S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB＝×2(－1)×2×sin30°＝－1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 2.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝BD＝BCD的面积S (1)求CD； (2)求∠ABC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 (1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，∵BC＝2，BD＝3＋，∴sin∠CBD＝.∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)在△BCD中，由正弦定理得，即，解得sin∠BDC＝.∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝.在△ACD中，由正弦定理得，即.①在△ABC中，由正弦定理得，即.②∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.由①②得，解得sin∠ABC＝.∵∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 1.已知△ABC三边a＝3，b＝4，c＝5，则cos A＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A B 【解析】 △ABC三边a＝3，b＝4，c＝5，则cos A＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 2.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a＝3， C＝120°，△ABC的面积Sc＝(　　) A.5 B.6 C D 【解析】 ∵△ABC的面积S＝absin 120°，∴ab＝15，又a＝3，∴b＝5.∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋52－2×3×5cos 120°＝49，∴c＝7. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 3.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， sin A＞sin B，则下列结论不一定成立的是(　　) A.A＞B B.sin 2A＞sin 2B C.cos 2A＜cos 2B D.a＞b B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】 由题意sin A＞sin B及正弦定理，可得a＞b，.∴A，D选项正确. 对于B选项：sin 2A＝2sin Acos A，sin 2B＝2sin Bcos B， ∵π＞A＞B＞0， 设A＝60°，B＝45°， 则sin 2A＜sin 2B，故B不对. 对于C：cos 2A＝1－2sin2A， cos 2B＝1－2sin2B， ∵sin A＞sin B＞0∴cos 2A＜cos 2B. ∴C正确.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 4.满足A＝60°，a＝b＝4的△ABC的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 【解析】 由正弦定理得，即，解得sin B＝1，∴B＝90°，∴△ABC是直角三角形，C＝30°.故符合条件的三角形只有1个. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 5.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B＝(　　) A.60° B.60°或120° C.120° D.135° C 【解析】 由b2＝a2＋c2＋ac，得到a2＋c2－b2＝－ac，所以根据余弦定理得：cos B＝＝－， ∵B∈(0，180°)， 则B＝120°. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝(　　) A B 【解析】 由正弦定理及＝1，得＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝，又C∈(0，π)，所以C＝.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 7.在△ABC中，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2 B＝(　　) A.1 B. A 【解析】 ∵acos A＝bsin B，∴由正弦定理得sin Acos A＝sin Bsin B，∴sin Acos A＋cos2 B＝sin2 B＋cos2 B＝1. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 A 【解析】 因为sin A＝2sin Bcos C，所以sin (B＋C)＝2sin Bcos C，所以sin Bcos C－sin Ccos B＝0，即sin (B－C)＝0，因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C.因此三角形为等腰三角形. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 9.在△ABC中，面积Sa2＋b2－c2)，则∠C＝　　　　.  45° 【解析】 由三角形的面积公式得：S＝absin C，而S＝(a2＋b2－c2)，所以absin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝＝cos C，则sin C＝cos C，即tan C＝1，又∠C∈(0，180°)，则∠C＝45°. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，bcC＝(　　) A D 【解析】由余弦定理得cos C＝＝－，∵C∈，∴C＝.故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 11.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝3，bB＝45°，则∠A＝(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.135° C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】∵a＝3，b＝，∠B＝45°， 由正弦定理得sin A＝， ∵a＞b，∴A＞B，∴45°＜A＜180°，∴A＝60°或A＝120°.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 12.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积 AC的长为(　　) A C B 【解析】∵S△ABC＝×sin A＝×2×，∴＝1.故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝4，则下列判断中正确的是(　　) A.若A＝，则a＝ B.若a＝该三角形有两解 C.△ABC周长的最小值为12 D.△ABC面积的最大值4 ABD　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】对于A，B＝60°，b＝4，A，由正弦定理得，所以a，故A正确；对于B，由正弦定理得得，所以sin B＜sin A＜1，因为a＞b⇒A＞B，则A有两个解，所以该三角形有两解，故B正确； 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 对于C，由b2＝a2＋c2－2accos B，得16＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2(a＋c)2(a＋c)2，所以a＋c≤8，当且仅当a＝c＝4时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；对于D，由选项C知，16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c＝4时取等号，故S△ABCacsin Bac≤4，所以△ABC面积的最大值为4，故D正确.故选ABD. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 c－bcos A＜0，则△ABC形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】c－bcos A＜0，所以由正弦定理可得2Rsin C－2Rsin Bcos A＜0所以sin C－sin Bcos A＜0，所以sin(A＋B)－sin Bcos A＜0，所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Bcos A＜0，所以sin Acos B＜0，在三角形中sin A＞0，所以cos B＜0，所以B为钝角，故选C. C　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 15.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan B＋tan C＝. (1)求A； (2)若a＝，求b＋c的取值范围. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】(1)因为tan B＋tan C，即，由于B，C∈，则cos B≠0，cos C≠0，即cos Bcos C≠0，两边同乘以cos Bcos C可得：cos A＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sinsin A，则tan A，且A∈，解得A. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)由题意及正弦定理2，得b＝2sin B，c＝2sin C，则b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin2sin Bsin Bcos B＝3sin Bcos B＝2sin，由(1)可知A，且△ABC为锐角三角形，则，解得＜B＜，则＜B，所以sin，故b＋c的取值范围是. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 16.如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3 km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tan α＝2，cos β＝，OA＝15 km. (1)求大学M与站A的距离AM； (2)求铁路AB段的长AB. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 【解析】(1)在△AOM中，OA＝15，∠AOM＝β，且cos β，OM＝3，由余弦定理，得AM2＝OA2＋OM2－2OA·OMcos β＝1522×15×372，所以AM＝6，所以大学M与站A的距离AM为6 km. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 (2)因为cos β，且β为锐角，所以sin β，在△AOM中，由正弦定理得，即，解得sin∠MAO，由题意知∠MAO为锐角，所以∠MAO，所以∠ABO＝α，因为tan α＝2，sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，所以sin α，cos α，所以sin∠ABO＝sin，又∠AOB＝π－α，所以sin∠AOB＝sin(π－α)＝sin α，在△AOB中，由正弦定理，得，即，解得AB＝30，所以铁路AB段的长AB为30 km. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第9讲　正弦定理、余弦定理及解三角形 基础训练 题型一　利用正、余弦定理解三角形 　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　(1) (2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝ A.6 B.5 C.4 D.3 变式训练二 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若Basin2 B＝2sin A sin C，则△ABC的面 A C $$