第8讲 两角和与差的正弦、余弦与正切（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ； (3)tan(α± 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【常用结论】 1.公式T(α±β)的变形 (1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； (2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 2.公 (1)sin21－cos2α)；(2)cos21＋cos2α). 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)计(　　) A C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (3)(2024·新课标I卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (4)(2022·新课标Ⅰ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝，则(　　) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 (1)∵sin＝cos， ∴cosα－sinα＝cosα－sinα. ∴cosα＝sinα. ∴tanα＝＝－1，故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2) ＝，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (3)由tan αtan β＝2，可得＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.因为cos＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，所以cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos＝－3m，故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【答案】(1)A　(2)B　(3)A　(4)C (4)由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos α·cos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，∴tan(α－β)＝－1，故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【规律方法】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【例1－2】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin ，cos αsin β＝，则cos ＝(　　). A. B. C.－ D.－ (2)tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝　　　　.  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (3) (2019·全国Ⅱ卷)已知α∈(02sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　) A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 (1)∵sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， ∴cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)由tan(20°＋40°)＝， 得tan20°＋tan40°＝(1－tan20°tan40°)， ∴原式＝(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝. (3)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈，∴2sinα＝cosα.又∵tanα＝，∴sinα＝.故选B. 【答案】　(1)B　(2)　(3)B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【规律方法】三角函数求值的三种情况 (1)“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 ∵sinα＝，∴cosα＝，∴sin＝sinα·cos＋cosαsin，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 A 【解析】 cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.  　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】由题意得tan2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈，k，m∈Z，又因为tan2＜0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin＜0，则2，联立sin2cos21，解得sin.故答案为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 题型二　三角恒等变换的综合应用 【例2】　已知函数f(x)＝sin2x－sinx∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 (1)由已知得 f(x) xxx xx ∴f(x)的最小正周期T 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)由(1)知f(x) x，2x， ∴当2x，即x＝，f(x)有最小值， ，当2x，即x，f(x)有最大值， ∴f(x)在区，最小值 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【规律方法】三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用 解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再利用三角函数的图象与性质求解. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 变式训练二 已知函数f(xxcosx＋cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)f(sin2α的值. 【解析】 (1)∵函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x ＝sin2x＋ ＝sin， ∴函数f(x)的最小正周期为＝π. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)若－＜α＜0， 则2α＋， ∴f(α)＝sin， ∴sin， ∴2α＋， ∴cos， ∴sin2α＝sin＝sincos－cossin. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 题型三　三角变换的简单应用 【例3】　已知函数f(x)＝Asin ，x∈R，且f. (1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 (1)，得Asin， 又sin，∴A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)由(1)得f(x)， 由f(θ)＋f(－θ)， ， 化简得cos ，， ∴sin， 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 变式训练三 已知co (1)sin2α； (2)tan 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】 (1)coscos＝cos·sinsin＝－， 即sin＝－.又因为α∈，故2α＋，从而cos＝－， 所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)因为α∈，所以2α∈，则由(1)知cos2α＝－，所以tanα－＝－2×＝2. 【另解】由(1)知2α＋，所以α＝，所以tanα－＝2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 A 【解析】 因为cos2 ＝，故选A. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 2.＝　　　　.  【解析】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：.故答案为. 　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 3.已知锐角α，β满足cossin(α－β)＝sinβ的值为(　　) A A 【解析】 ∵α是锐角，β是锐角，cosα＝，sin(α－β)＝－，∴sinα＝，cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝×(－)＝，故选A. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 D 【解析】 由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝，故选D. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 5.在△ABC中，若cosAtan(A－B)＝tanB＝(　　) A C 【解析】 由cosA＝得sinA＝，所以tanA＝. 从而tanB＝tan[A－(A－B)]＝＝2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 6.(多选)若tan α＋tan β＝tan αtan β，则α＋β的值可能为(　　) A. B. C.－ D.－ 【解析】由题意得tan，所以α＋βkπ，所以α＋β的值可能为，.故选AC. AC　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 7.已知tan＝2，则＝　　　　.  【解析】 由tan2，得2，得tanα，所以. 　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 8.已知0＜α＜，cos. (1)求sin α的值； (2)若－＜β＜0，cos，求α－β的值. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 【解析】(1)因为0＜α＜，∴＜α，又cos，所以sin，所以sin α＝sinsincoscoscos. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)因为cos，sin β＝coscos2cos21＝21＝，又因为＜β＜0，所以cos β，由(1)知，cos α＝coscoscossinsin，所以coscos αcos β＋sin αsin β.因为0＜α＜，＜β＜0，则0＜α－β＜π，所以α－β. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 9.已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值. 【解析】 (1)因为tanα，tanα，所以sinαcosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α，因此，cos2α＝2cos2α－1＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝，所以sin(α＋β)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα，所以tan2α，因此tan(α－β)＝tan［2α－(α＋β)]. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第8讲　两角和与差的正弦、余弦与正切 基础训练 3.公式逆用 (1)s (2)s (3)s 4.辅助角公式 asinα＋bcos 特别的 sinα±cos sin＝2s ±cosα＝2s 题型一　三角函数的化简与求值 【例1－1】(1)已知stanα＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.－1 B.0 C 变式训练一 1.若sins A C 2.若sco(　　) A 1.已知sin2 A 4.若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为(　　) A $$