第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学小题量检测

精简 全面 专业 高效 -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线; ④如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 以上命题中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 D -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 【解析】①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;④不正确,当b＝0时,a与c不一定平行,故正确命题的个数为0. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a B 【解析】对于A,当λ＞0时,a与λa的方向相同,当λ＜0时,a与λa的方向相反.B正确;对于C,|－λa|＝|－λ||a|,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|－λa|表示长度,两者不能比较大小. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 3.设a,b不共线,＝2a＋pb,＝a＋b,＝a－2b,若A,B,D三点共线,则 实数p的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 B 【解析】因为＝a＋b,＝a－2b,所以＝2a－b.又因为A,B,D三点共线,所以共线.设＝λ,所以2a＋pb＝λ(2a－b),所以2＝2λ,p＝－λ,即λ＝1,p＝－1. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 4.已知＝6,＝3,向量a在b方向上投影向量是4e,则a·b为(　　) A.12 B.8 C.－8 D.2 A 【解析】a在b方向上投影向量为cos θ·e＝4e,∴cos θ＝4,∴a·b＝cos θ＝4×3＝12.故选A. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 5.在平行四边形ABCD中,E,F分别为CD,BC的中点,则＝(　　) A. B. C. D. A 【解析】由题意可得,则.故选A. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若点D是斜边 AB的中点，点P是中线CD上一点，且＋λ，则λ＝(　　) A.1 B. C. D. D 【解析】因为点D是斜边AB的中点，所以＝2，所以＋λ＋2λ，因为点P在线段CD上，所以＋2λ＝1，解得λ＝.故选D. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 7.(多选)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则等于(　 　) A. B. C. D. BCD 【解析】∵D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,∴DF∥BE,且DF＝BE,DF∥EC,且DF＝EC,∴,∴,故选BCD. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 8.已知△ABC和点M满足＝0.若存在实数m使得＝m成立,则m＝(　　) A.2 B.3 C.4 D. B 【解析】 由题意＝0,则M为△ABC的重心. 设点D为底边BC的中点, 则AD＝)＝), ∴＝3,∴m＝3,故选B. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 9.已知向量a＝(－1,2),b＝(－x,1－y)且a∥b,若x,y均为正数,则的最小值是(　　) A.9 B.8 C. D. B 【解析】因为a∥b,所以－2x＝－1＋y即2x＋y＝1(x＞0,y＞0),所以·(2x＋y)＝2＋2＋≥4＋4＝8.当且仅当且x＞0,y＞0即x＝且y＝时“＝”成立. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 10.设点O在△ABC的内部,且有),则△ABC的面积与△BOC的面积之比为(　　) A.3 B. C.2 D. A -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 【解析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,连接OD交BC于点M,如图所示. 由),得＝2,∴＝3,∴△ABC的面积与△BOC的面积之比为＝3.故选A. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 11.设e1,e2是两个不共线的向量,已知＝2e1＋ke2,＝e1＋3e2,＝2e1－e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为　　　　.  －8 【解析】因为＝2e1＋ke2,＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2,由A,B,D三点共线,得,所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2),所以则k＝－8. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 12.若a与b不共线,已知下列各向量: ①a与－2b;②a＋b与a－b; ③a＋b与a＋2b;④a－b与a－b. 其中可以作为基底的是　　　　(填序号).  ①②③ 【解析】对于①,因为a与b不共线,所以a与－2b不共线;对于②,假设a＋b与a－b共线,则有a＋b＝λ(a－b),所以λ＝1且λ＝－1,矛盾.所以a＋b与a－b不共线;对于③,同理a＋b与a＋2b不共线;对于④,因为a－b＝2a－b,所以a－b与a－b共线.由基底的定义知,①②③都可以作为基底,④不可以. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 13.直线l上有不同三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量＝(1－cosα)＋sin α(α是锐角)总成立,则α＝　　　　.  45° 【解析】因为直线l上有不同三点A,B,C,所以存在实数λ,使得＝λ,所以＝λ(), 即＝(1－λ)＋λ,所以所以sin α＝cosα,因为α是锐角,所以α＝45°. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 14.如图,D是AB上靠近B的四等分点,E是AC上靠近A的四等分点,F是DE的中点,设＝a,＝b,则＝(　　) A. B. C. D. C 【解析】∵D是AB上靠近B的四等分点,E是AC上靠近A的四等分点,F是DE的中点,∴.故选C. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 15.已知△ABC是边长为4的正三角形,D、P是△ABC内部两点,且满足),,则△APD的面积为　　　　.  -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 【解析】 如图,取BC的中点E,连接AE,根据△ABC是边长为4的正三角形, ∴AE⊥BC,). 而),则点D为AE的中点,则AD＝, 取,以AD,AF为边作平行四边形,可知AP＝. 而△APD为直角三角形,且AF＝, ∴△APD的面积为. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 16.如图所示的矩形ABCD中,E,F满足＝2,G为EF的中点, 若＝λ＋μ,则λμ的值为(　　) A. B. C. D.2 A -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 【解析】连接AE,AF,由题可知, 又∵G为EF的中点,∴, ∴, ∴λ＝,μ＝,∴λμ＝.故选A. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 17.已知＝3,＝5且＜a,b＞＝45°,则a在b上的投影向量为　　　　.  b 【解析】∵＝3,＝5且＜a,b＞＝45°,则a在b上的投影向量为cos 45°＝3×b,故答案为b. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 18.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，点P是区域ABDC内的任 意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为(　　) A.［0，1］ B.［0，2］ C.［0，3］ D.［0，4］ C -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 【解析】过点D作BC的平行线，延长AC，AB与之分别交于点C'，B'，因为＝2，所以，所以＝3，所以当点P位于点D处时，λ＋μ取得最大值3，当点P位于点A处时，λ＋μ取得最小值0，所以λ＋μ的取值范围是［0，3］. -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 谢 谢 观 看 -‹#›- 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 $$