第6讲 任意角、弧度制与任意角的三角函数（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 1.任意角 (1)角度的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)角的分类 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 2.弧度与角度的互化 (1)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 |α|l表示) 角度与弧度的换算 ①1°1 ra 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 3.任意角三角函数 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α x叫做α的余弦，记作cos α 的正切，记作tan α 的正切，记作tan α 各象限 符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － － － Ⅲ － － － ＋ ＋ Ⅳ － ＋ ＋ － － 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 三角 函数 正弦 余弦 正切 三角 函数线   有向线段MP 为正弦线  有向线段OM 为余弦线   有向线段AT 为正切线 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos2α＝1(α∈R). (2)商数关系：tan 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 5.三角函数的六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α － sin α 正切 tan α tan α －tan α －tanα     知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 题型一　象限角与三角函数的符号判断 【例1】　(1)若角α是第二象限角，　　　　　　　　　　　　　　　 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)若sin α·tan α＜0，是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 (1)∵α是第二象限角， kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z； ，k∈Z. 当k为偶数时，； 当k为奇数时， (2)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角，，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角.综上，α为第三象限角. 【答案】 (1)C　(2)C 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【规律方法】确定kk∈N*)的终边位置的方法 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 变式训练一 1.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 【解析】 因为点P(tanα，cosα)在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，所以α为第二象限角，故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 2.sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 A 【解析】 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 题型二　三角函数的定义 考法一　利用三角函数的定义求值 【例2－1】　(1)已知点P在|OP|＝4，则点P的坐标为(　　) A.(－2，－ C.(－－2) D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A.已知点B在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是(　　)  A.若∠AOB＝α，则＝α B.若y1＝sin x0，则x1＝x0 C.若y1＝sin x0，则＝x0 D.若＝x0，则y1＝sin x0 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确.由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误.当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误.反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确.故选AD. 【答案】(1)A　(2)AD 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 考法二　三角函数值的符号判定 【例2－2】　设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 由于θ是第三象限角，∴2kπ＋π＜θ＜2kπ＋(k∈Z)，kπ＋＜kπ＋(k∈Z)；∴为第二或第四象限角，又＝－cos，∴cos≤0，∴是第二象限角.故选B. 【答案】B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【规律方法】利用三角函数的定义求三角函数值的方法 首先，确定角a终边上一点的坐标。如果已知角a终边上一点的坐标，可以通过计算该点到原点的距离r，然后利用三角函数的定义进行求解。具体来说，正弦、余弦和正切等基本三角函数可以通过该点到原点的距离与三角形边长的比值来计算。例如，正弦(sin)可以通过对边长度除以斜边长度计算，余弦(cos)通过邻边长度除以斜边长度计算，而正切(tan)则通过对边长度除以邻边长度计算。 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 其次，如果已知角a的终边所在的直线方程，可以先设出终边上一点的坐标，然后计算出该点到原点的距离r。同样利用三角函数的定义进行求解。这种方法在几何和物理应用中特别有用，尤其是在需要计算三角形中未知边长或角度的情况下。 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 变式训练二 1.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝ m的值为(　　) A C B 【解析】 由题意得，点P到原点的距离r＝，∴cosα＝＝－，∴m＞0，∴，即m＝.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝的取值集合是________________ ___________________________________________________.  {α|α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z}或{α|α＝kπ－，k∈Z} 【解析】 因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为{α|α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z}或{α|α＝kπ－，k∈Z}. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 A 【解析】 根据角α的终边过P(3，4)，利用三角函数的定义，得tanα＝，所以有＝10.故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 题型三　扇形弧长、面积公式的应用 【例3】　已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积? 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝60，R＝10，l(cm)， S弓＝S扇－S (cm2). 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR， ∴R， ∴SR 综上所述，当且仅当α2＝4，即α＝2 rad时，扇形面积有最大值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角). (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. 【注意】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 变式训练三 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为　　　 cm和圆心角为 　　　弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是　　　　cm2.  1 2 1 【解析】　设扇形圆心角为α，半径为r，则 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 题型四　同角三角函数基本关系式及应用 【例4】　(1)(2023·全国乙卷)若tan sin θ－cos θ＝　　　　.  (2)已知tan θ＝2，则sin2 θ＋sin θcos θ－2cos2 θ＝(　　) A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (3) (2021·全国甲卷)若tan 2 tan α＝(　　) A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 (1)【解法一】，则sin θ＞0，cos θ＞0，又∵tan ，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin sin θ＝(舍去)，∴sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解法二】由tan2cos2，，∴cos ，sin ，∴sin θ－cos θ＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解法三】由tan 0＜，∴sin θ＜cos θ，sin θ－cos θ＝ 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)由于tan θ＝2，则sin2 θ＋sin θcos θ－2cos2，故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (3)∵tan 2tan 2， ，∴cos α≠0，，解得sin ， ∴cos ，∴tan A. 【答案】 (12)D　(3)A 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【规律方法】同角三角函数关系式及变形公式的应用 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 变式训练四 1.已知xcosxtanx的值为(　　) A B 【解析】 因为x∈，所以sinx＝－＝－，所以tanx＝＝－.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 2.已知tan θ＋＝3，则cos 2＝(　　) A. B. C. D. D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】由tan θ＋＝3可得＝3， 即＝3，所以＝3，可得sin 2θ＝. 所以cos 2，故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 3.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根. (1)求实数a的值， (2)求的值. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】(1)sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，Δ＝a2－4a≥0，解得a≥4或a≤0，则sin θ＋cos θ＝a，sin θcos θ＝a，sin2θ＋cos2θ2sin θcos θ＝a2－2a＝1，解得a＝1或a＝1(舍)，故a＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)sin θ＋cos θ＝a＝1. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 题型五　利用诱导公式化简三角函数 【例5】　(1)sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝　　　　.  (2)设f(α)(1＋2sinα≠0)，  典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos (3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos (180°＋30°) －cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)∵f(α) ， 【答案】 (1)1　(2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【规律方法】 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角； ②角中含有加，用公式去 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (2)常见的互余和互补的角 ①常见的互余的角：；；； ②常见的互补的角：； 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 (3)三角函数式化简的方向：①切化弦，统一名；②用诱导公式，统一角；③用因式分解将式子变形，化为最简. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 变式训练五 1.tan390°＝(　　) A C 【解析】 tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 角α的终边经过点P(3，4)，根据三角函数的定义得到sinα＝，cosα＝，所以sin＝－sin＝－sin＝－cosα＝－.故选B. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 3.已知coco   －　 【解析】 cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 1.若sin αtan α＜0，是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 【解析】 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而可判断角α为第二或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角.综上可知，角α为第三象限角.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 2.已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为(　　) A.30 B. C. D. 【解析】已知扇形圆心角为30°，即θ，扇形半径为1，所以扇形的面积Slrθr21.故选B. B　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 3.角α的终边过点(－2，4)，则cosα＝(　　) A B 【解析】 角α的终边过点(－2，4)，r＝＝2 ，所以cos α＝＝－. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 4.若α∈，且cos2α－sin α＝，则tan α＝　　　　.  【解析】因为cos2α－sin α，所以44sin α－1＝0即4sin2α＋4sin α－3＝0，所以解得sin α或sin α＝(舍去).∵α∈，∴α，因此tan α＝tan.故答案为. 　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 5.已知coco (　　) A C 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 ∵cos， ∴cos ＝cos ＝cos ＝－cos 2＝1－2cos2＝1－2×， sin2＝1－cos2＝1－cos2＝1－， ∴cos ＋sin2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 6.已知tanθ＝－3，(　　) A D 【解析】 ∵tan θ＝－3，∴. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 7.已知θ∈，sin＝－，则tan θ＝　　　　.  【解析】由sin得sin θ，由θ∈可得cos θ＝，故tan θ.故答案为. 　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 8.tanα，tanβ是一元二次方程x2＋＝0的两根， α、cos(α＋β)等于(　　) A B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 由题意，得tan α＋tan β＝－3 ，tan α×tan β＝4，tan (α＋β)＝，又α、β∈，则α＋β∈(－π，0)∴α＋β∈，取α＋β终边上一点P(－1，－)，则OP＝2，cos (α＋β)＝－. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 9.若tan α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 【解析】因为tan α，所以，即3sin α－sin2α＝cos2α，所以3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，即sin α，所以sincos 2α＝1－2sin2α，故选D. D　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 10.若cos，则cos＝(　　) A.－ B.－ C. D. 【解析】因为coscos 2 ＝2cos211＝，所以cos ＝cos ［2π－(2α)]＝cos，故选B. B　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第6讲　任意角、弧度制与任意角的三角函数 基础训练 【解析】 (1)设P(x，y)，由三角函数的定义知，，，即y＝4s，x＝4co，即点P的坐标为(－2，－)，故选A. 3.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4)， A.10 B. C.5 D. 2.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则s A C $$