第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量（课件PPT）-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

数 学 数 学 数 学 精简 全面 专业 高效 数 学 精简 全面 专业 高效 精简 全面 专业 高效 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理 与投影向量 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 1.平面向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 知识梳理 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算   交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算   a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a) ＝(λ μ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b) ＝λa＋λb 知识梳理 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 3.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识梳理 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 5.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，b，则∠AOB就是向量a与b的夹角. (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直. 知识梳理 知识梳理 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 题型一　向量的线性运算 【例1】　 已知D为△ABC所在平面内一点，且满足，则(　　) A. B. C.＝4－3 D.＝3－4 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 (2)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】 (1)如图，因为，所以D是线段BC的四等分点，且BD＝3DC，所以，故A，B错误；由，可得＝4－3，故C正确，D错误，故选C. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 (2)∵点D在边AB上，BD＝2DA，∴＝2，即＝2， ∴＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 【答案】 (1)C　(2)B 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【规律方法】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值. 【注意】应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化运算. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 A 变式训练一 1.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－ B. C. D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】 因为＝3，所以， 所以)＝ －.故选A. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 2.已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且＝3－2，若＝x＋y，则x＋y＝ (　　) A.5 B.7 C.9 D.11 D　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】因为32，边BC的中点为D，所以32，因为332，所以32，所以32，所以5564，即56，因为xy，所以x＝5，y＝6，故x＋y＝11.故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 D 【解析】 如图，， 即，故－2＝b－2a.故选D. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 题型二　向量基本定理 【例2】　(1)(多选)在△ABC中，D为BC的中点，(　　) A B C D 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 (2)如图，以向b为邻边作▱OADBa，b表 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】(1)，则A，E，D三点共线，，又∵AD为中线，∴点E为△ABC的重心， 连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点， ()，BC. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 (2)a－b， ， a＋b，， 【答案】(1)BC　(2 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【规律方法】平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【注意】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 C 变式训练二 1.如图，已 C 【解析】 ()＝－. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 2.已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x、y满足4＝2x＋y，则的最小值为　　　　.  　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】因为A、B、P是直线l上三个相异的点，且42xy，即，且x、y为正实数，所以1，所以2，当且仅当，即x＝4－2，y＝44时，取等号，所以的最小值为.故答案为. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 3.(多选)下列有关四边形ABCD的形状，判断正确的有(　　) A.若，则四边形ABCD为平行四边形 B.若，则四边形ABCD为梯形 C.若，则四边形ABCD为菱形 D.若，且，则四边形ABCD为正方形 AB　 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】选项A：若，则AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形.判断A正确；选项B：若，则AD∥BC，AD≠BC，则四边形ABCD为梯形.判断B正确；选项C：若，则40，则AB⊥AD，即∠BAD＝90°.仅由∠BAD＝90°不能判定四边形ABCD为菱形.判断C错误；选项D：若，则AB∥DC，AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形，又由，可得对角线AC⊥BD，则平行四边形ABCD为菱形.判断D错误.故选AB. 典例变式 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 1.在平面四边形ABCD中，满 ABCD是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 C 【解析】 因为＝0，所以＝－，所以四边形ABCD是平行四边形，又()·＝0，所以，四边形ABCD的对角线DB与AC互相垂直，所以四边形ABCD是菱形. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 A.b C.a A 【解析】 ＝－a＋b＋a＝b－a. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 3.在△ABC中，，则＝(　　) A.－ B. C.－ D. C　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】△ABC中，，如图所示，.故选C. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 4.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C， 满足2＝0，则＝(　　) A.2 B.－＋2 C. D.－ A 【解析】 ∵＋2＋2()，所以＝2. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 5.P是△ABC所在平面内一点，若＝3，则 S△ABP∶S△ABC＝(　　) A.1∶4 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶1 【解析】由题设，3，故C，P，A共线且CP＝3PA，如右图示：所以S△ABP∶S△ABC＝1∶4.故选A. A　 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 B 【解析】 由已知得，，故)＝，故λ＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 7.△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，x＋y＝(　　) 1 D. B 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 【解析】 ∵B，G，F三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝2λ＋(1－λ)；同理由C，G，E三点共线得＝μ＋(1－μ)＝μ＋(2－2μ)，∴ 解得 故，∴x＝y＝，∴x＋y＝，故选B. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 8.已知点O为△ABC外接圆的圆心， ABC的内角A等于(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° A 【解析】 由＝0得，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 9.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a//b，则2a＋3b＝　　　 　.  (－4，－8) 【解析】 由a∥b，然后根据平面向量共线(平行)的坐标表示建立等式即1×m＝2×(－2)，求出m＝－4，然后根据平面向量的坐标运算得2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 10.设D是△ABC所在平面内一点，x＋y＝　　　　.  1 【解析】 画出图形，如图所示： ∵＝3，∴； ∴)＝－， ∴x＝－，y＝；∴x＋y＝1. 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 谢 谢 观 看 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第2讲　复数 基础训练 -‹#›- 知识梳理 典例变式 第4讲　平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 基础训练 3. 点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点)，b， A C.2a－b D.b－2a 2.如下图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，b， 6.在△ABC中，D为AB边上一点＝(　　) C2 $$