3.1.3简单的分段函数（1知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

3.1.3 简单的分段函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并能简单应用。 （1）了解分段函数的概念; （2） 会求分段函数的解析式或函数值； （3）分段函数的性质与应用.（难点) 知识点01 分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【即学即练1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费， 用水量 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨的部分 求用水量与水费之间的函数关系，并求用水吨和吨的水费. 【题型一：求分段函数的函数值】 例1．已知函数，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 变式1-1．已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式1-2．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 变式1-3．定义：．若，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【方法技巧与总结】 根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围. 【题型二：根据分段函数求解不等式】 例2．设函数，则满足的 x 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 变式2-3．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏. 【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】 例3．已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．0或 D． 变式3-1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．2 变式3-2．设，若，则（        ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论. 【题型四：求分段函数的解析式】 例4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   变式4-1．已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称．现将的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！ 【题型五：画具体分段函数的图象】 例5．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   变式5-1．已知，则函数的图象是（    ） A．B．C． D． 变式5-2．函数的图象大致形状是（    ） A．B．C．D． 变式5-3．设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【方法技巧与总结】 画含绝对值的函数图象，可以利用，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出. 【题型六：与分段函数有关的值域问题】 例6．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要. 2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 【题型七：与分段函数的最值问题】 例7．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．函数在上取得最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．设，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要； 2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等. 【题型八：其他分段函数的性质及应用】 例8．定义，若函数，若在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 变式8-3．已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调性是关键. 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   5.已知函数，若，且，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7.设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围是(    ) A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2] 8.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义则称函数为的“下界函数”．若给定，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 则下列说法正确的是（    ） A．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费30元 B．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费96元 C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为 D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过，乙户该月用水量未超过，则该月甲户用水量为（甲，乙两户的月用水量均为整数） 10.已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 11.已知全集为R，对于给定数集A，定义函数为集合A的特征函数，若函数是数集A的特征函数，函数是数集B的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 三、填空题 12．已知则 ． 13.给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 14.已知关于实数的方程和对任意 有解，则的值的集合为 ． 四、解答题 15．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； 16.已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效． (1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？ (2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值． 18.已知函数的定义域为，且的图象连续不间断．若函数满足：对于给定的m（且），存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，若具有性质，求m的最大值. 19．已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.3 简单的分段函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并能简单应用。 （1）了解分段函数的概念; （2） 会求分段函数的解析式或函数值； （3）分段函数的性质与应用.（难点) 知识点01 分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【即学即练1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费， 用水量 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨的部分 求用水量与水费之间的函数关系，并求用水吨和吨的水费. 解析 设用水量为吨，水费为元， 依题意知当时，元；当时，元， 故用水量与水费之间的函数关系为， 所以，，即用水吨和吨的水费分别为元、元. 【题型一：求分段函数的函数值】 例1．已知函数，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】 通过函数表达式即可得出的值. 【详解】由题意， 在中， ， 故选：C. 变式1-1．已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先计算，从而，由此能求出结果. 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 变式1-2．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 变式1-3．定义：．若，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】依题意可得，由求出的值，从而得到的解析式，再根据代入计算可得. 【详解】依题意可得， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以． 故选：A． 【方法技巧与总结】 根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围. 【题型二：根据分段函数求解不等式】 例2．设函数，则满足的 x 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式求其解. 【详解】∵  ， ∴  ， 当且时，不等式可化为， ∴ ， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴， ∴满足的 x 的取值范围是， 故选：B. 变式2-1．已知则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别讨论与的情况,进而求解即可 【详解】当时,原不等式可化为,解得； 当时.原不等式可化为,所以； 综上,原不等式的解集为 故选：C 【点睛】本题考查分段函数,考查解不等式,考查分类讨论思想 变式2-2．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 变式2-3．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 【方法技巧与总结】 根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏. 【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】 例3．已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．0或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，当时，结合题意，求得，代入求得的值，当时，函数为单调函数，显然不成立，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，所以， 即或（舍去），此时 当时，函数为单调递增函数， 所以，当时，不存在成立， 综上可得，. 故选：A. 变式3-1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出，然后分类讨论代入函数解析式列式求解即可. 【详解】由题意可得. 当时，，解得，舍去； 当时，，解得，满足题意.所以. 故选：A 变式3-2．设，若，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值. 【详解】因为，且. 当时，则，由可得，解得，合乎题意. 当时，由可得，无解. 所以，，则. 故选：C. 变式3-3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，由求解. 【详解】因为函数，且， 当时，，即， 解得或， 当时，，无解， 综上：， 所以， 故选：A 【方法技巧与总结】 根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论. 【题型四：求分段函数的解析式】 例4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解. 【详解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得， 当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得， 所以， 从而可知选项A的图象满足题意. 故选：A. 变式4-1．已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 综上所述：，可知B、C、D错误，A正确. 故选：A. 变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称．现将的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意，结合图像求出函数的表达式，根据图像间的关系，求出的表达式，再根据和的图象关于直线对称，分段依次求出函数的表达式得到答案. 【详解】设经过两次平移后所得图像对应的函数为， 由图像可知，当时，函数图像过可得， 当时，函数图像过可得， 所以， 因为的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位得， 所以把右移个单位，下移个单位可得， 即， 又因为函数和的图象关于直线对称， 所以当时，得即， 当时，得即， 所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！ 【题型五：画具体分段函数的图象】 例5．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像. 【详解】    因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 变式5-1．已知，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画函数的图象，再根据函数的图象与的图象关于轴对称，即可选出正确选项. 【详解】先画函数的图象，如下图： 因为函数的图象与的图象关于轴对称，只有A选项的图象符合. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得. 变式5-2．函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断. 【详解】函数的定义域为， ，排除BC选项，，排除D选项. 故选：A 变式5-3．设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）分别在、及的情况下，讨论得到的解析式，由此可得函数图象； （2）结合图象可确定，化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 作出的图象如下图所示， （2）由（1）可知：当时，，即， ，即， （当且仅当，即时等号成立）， . 【方法技巧与总结】 画含绝对值的函数图象，可以利用，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出. 【题型六：与分段函数有关的值域问题】 例6．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 变式6-1．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 变式6-2．已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可. 【详解】当时，单调递增，所以在上有， 所以要使函数的值域为， 则需，解得.     故选：C 变式6-3．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即； 综上，. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要. 2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 【题型七：与分段函数的最值问题】 例7．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立， 即当时，函数的最小值为； 当时，， 要使得函数的最小值为， 则满足解得． 故选：A． 变式7-1．函数在上取得最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】现将整理为分段函数的形式，即，画出函数图象，根据图象判定的位置 【详解】由题，将，即，则可得到函数图象如下，根据图象可得当时，，则；当时，，则，故，故选C 【点睛】本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题 变式7-2．设，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求得在上的最小值，结合已知条件可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立； 当时，由于，则， 由题意可得，即，解得，故. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 变式7-3．已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，将问题转化为函数上的点到直线的距离，在区间上的最大值问题，然后观察图象可得. 【详解】作出函数的图象如图： 因为， 因为，所以， 表示函数上的点到直线的距离， 由图可知，当时，取得最大值，最大值为； 当时，， 结合图象可知，在区间上总有， 所以，此时的最大值为； 当时，由图可知，， 且. 综上，在区间上的最大值的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线的距离的最值问题. 【方法技巧与总结】 1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要； 2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等. 【题型八：其他分段函数的性质及应用】 例8．定义，若函数，若在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求的解析式并作出图象，结合图象求出的最大值，即可得解. 【详解】令，则有： 当时，则，即当不成立； 当时，则，解得； ∴，如图所示： 令，解得或（舍去）， 令，解得或（舍去）， 令，解得或， ∵在区间上的值域为，则或， 又∵， 故区间长度的最大值为. 故选：B. 变式8-1．已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在之间，第一段函数关于对称，即可求出，再根据图象得到的取值范围，即可得到答案. 【详解】根据函数的解析式可得如下图象 若互不相等的实根满足，根据图象可得与关于，则，当时，则是满足题意的的最小值，且满足， 则的范围是. 故选：A. 变式8-2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷函数的定义找特殊点验证④. 【详解】对①，当为无理数时，，所以， 当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误； 对②，当为无理数时，为无理数，所以， 当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确； 对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数， 所以， 当为有理数时，则为有理数，所以， 所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确； 对④，，，，得，，， 所以，，，此时为等边三边形，故④正确； 综上：命题②③④正确. 故选：. 变式8-3．已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可. 【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减; 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意; 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意; ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立; 综上，的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 【方法技巧与总结】 处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调性是关键. 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可. 【详解】由函数可得，. 故选：B. 2.已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 3.已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数解析式及函数性质先确定参数范围，再计算参数值，代入对应解析式求函数值即可. 【详解】易知，且在上单调递减，作出函数图象如下： 所以 ， 所以. 故选：B 4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据条件列出分段函数的解析式，再判断函数的图象. 【详解】当时，，此段为开口向上的抛物线的一部分， 当时，， 此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为， 满足条件的只有C. 故选：C 5.已知函数，若，且，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助分段函数图象得出的范围，由的关系，化为关于的二次函数，由此可得最大值． 【详解】作出函数的图象如下图， ，令，解得或， 若，且，即有，， 可得，可得， 则，， 对称轴为， 当时，取最大值． 故选：C． 6.设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项. 【详解】解:如图所示:由题意可得中，. 中，当时，，. 当时，，. 当时，，. 当，恒有，所以不正确，也不正确； 中，从图象上看，.令，则 所以，即，故正确，不正确. 故选:C.    【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画 的函数图象时，一般地，先画出 的图象，再将 轴下方的图象向上翻折即可. 7.设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围是(    ) A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2] 【答案】D 【分析】通过分类讨论的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，不妨设，， ①当时，由一元二次函数的性质可知，在上单调递增， 故对于，，这与是函数的最小值矛盾； ②当时，，， 由一元二次函数的性质可知，在单调递减， 故对于，， 当时，在时取得最小值2， 从而当时，满足是函数的最小值； ③当时，由一元二次函数性质，在上单调递减， 故对于，， 当时，在时取得最小值， 若使是函数的最小值，只需且，解得，. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：D. 8.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义则称函数为的“下界函数”．若给定，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，再分别求函数值即可得正确选项. 【详解】因为，， 由即，可得，解得：或， 由即，可得，解得：， 所以 对于A：，，，， 所以成立， 对于B：，， ，，所以成立， 对于C：，， ，，所以成立， 对于D：，， ，，所以不成立， 所以选项D不正确， 故选：D. 二、多选题 9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 则下列说法正确的是（    ） A．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费30元 B．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费96元 C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为 D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过，乙户该月用水量未超过，则该月甲户用水量为（甲，乙两户的月用水量均为整数） 【答案】AC 【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可 【详解】对于A选项，居民用水量未超过12，则按3元计算，故应缴水费为元，故A选项正确； 对于B选项，居民用水量超过12，但未超过，因此其中12，按3元计算；剩余的，按6元计算；故应缴水费为元，故B选项错误； 对于C选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过12，但未超过，设居民用水量为，则有，解得：，故C选项正确； 对于D选项，根据题意，设甲居民用水量为，乙居民用水量为，则根据已知条件可得：，整理可得：.通过方程无法确定甲居民用水量一定为，故D选项错误. 故选：AC 10.已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【答案】AC 【分析】对于ABC：根据分段函数解析式运算求解；对于D通过特值可排除，即可得到答案. 【详解】对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AC. 11.已知全集为R，对于给定数集A，定义函数为集合A的特征函数，若函数是数集A的特征函数，函数是数集B的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 【答案】ABC 【分析】根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案. 【详解】对于A，由集合A的特征函数的定义可知A不为空集， 则不为空集，如图示：Ⅰ部分表示，Ⅱ表示， Ⅲ表示表示，Ⅳ表示， ， 当时，，故， 当时，中至少有一个为0,，此时， 符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，A正确； 对于B，当时，如上图， 若x取值在Ⅰ部分，则，则； 若x取值在Ⅱ部分，则，则； 若x取值在Ⅲ部分，则，则， 当时，，则， 符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，B正确； 对于C，当时，，则； 当时，即x取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分， 若x取值在Ⅰ部分，，则， 若x取值在Ⅲ部分，，则， 若x取值在Ⅳ部分，，则， 故此时符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，C正确； 对于D，当时，即x取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分， 当x取值在上图中Ⅳ部分时，此时，则， 不符合特征函数定义，故不是集合的特征函数，D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解集合A的特征函数的定义，明确其含义，从而结合定义去判断一个函数是否为一个数集的特征函数. 三、填空题 12．已知则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 13.给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】作出函数的图象，根据定义作出的图象，求出交点B的坐标即可得解. 【详解】作出函数的图象如图： 根据定义可得的图象如图： 由解得或，得， 所以的最大值为3. 故答案为：3 14.已知关于实数的方程和对任意 有解，则的值的集合为 ． 【答案】 【分析】 构造函数与，分类讨论的取值范围，分别作出的图像，分析它们的值域，从而确定的值，由此得解. 【详解】 因为，则， 令， 其图象如图所示，其值域为， 由可知；由或可知； 所以． 令， 其图象如图所示，其值域为， 由可知；由可知； 所以． 综上：， 故答案为：． 四、解答题 15．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； 【答案】(1)；； (2)答案见解析； 【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算； （2）根据分段函数的定义可画出函数图象； （3）根据函数图象可得最值. 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； 16.已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故，函数图象如图所示： . （2）由题得，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 综上，的解集为. 17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效． (1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？ (2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值． 【答案】(1)6天 (2)2 【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答. （2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答. 【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为，             ． 当时，，解得； ． 当时，，解得； ． 综上求得， 所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x（）天后，浓度为 ． 因为，所以， 所以即 所以 当且仅当，即时，等号成立，所以 答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2 18.已知函数的定义域为，且的图象连续不间断．若函数满足：对于给定的m（且），存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，若具有性质，求m的最大值. 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断； （2）分，讨论函数是否具有性质即得. 【详解】（1）当时，设， 令，则，解得， 所以具有性质. （2）由题意可得： 当，则；当时，则； 当，则；当，则； 当时，；当时，， 当，则； 综上所述：当时，； 当时，； 当时，； 首先当时，取, 则，， 所以函数具有性质； 假设存在，使得函数具有性质，则， 当时，，则， 即，不合题意； 当时，，则， 即，不合题意； 综上所述：不存在，使得. 所以的最大值为. 19．已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 【答案】(1),,; (2)，; (3)详见解析 【分析】（1）利用题给定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. 【详解】（1）集合， 则，， （2）集合，，， （3）由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$