3.2.2函数的奇偶性（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

3.2.2 函数的奇偶性 课程标准 学习目标 （1）结合具体函数, 了解奇偶性的概念和几何意义。 （1）理解函数奇偶性的概念; （2）会判断函数的奇偶性； （3）掌握函数奇偶性的性质. （4）掌握函数性质（单调性、对称性、周期性）的综合性问题（难点) 知识点01 函数奇偶性的概念 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练1】 函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 知识点02 函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【即学即练2】 函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 【题型一：函数奇偶性的定义与判断】 例1．下列函数为偶函数是（　 ） A． B． C． D． 变式1-1．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 变式1-3．若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 【题型二：由奇偶性求函数解析式】 例2．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 变式2-3．已知是定义在上的奇函数，当时，．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由函数的奇偶性求解函数的解析式，主要是利用函数奇偶性的定义. 【题型三：根据函数的奇偶性求值】 例3．已知函数是奇函数，当时，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．31 变式3-1．已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 变式3-2．已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 变式3-3．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【方法技巧与总结】 1 理解函数奇偶性的概念，比如函数是偶函数，则，等式其中可取函数定义域中任何一个值均成立； 2 在给函数赋值的时候，要注意自变量的取值范围. 【题型四：抽象函数的奇偶性】 例4．定义在上的满足：对任意，总有，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 变式4-1．f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是 A．f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数 B．f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数 C．f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数 D．f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数 变式4-2．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 变式4-3．已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，常常利用奇偶性的定义. 【题型五：由函数的奇偶性求参数】 例5．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式5-2．已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C．3 D．0 变式5-3．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 【方法技巧与总结】 由函数的奇偶性求参数，主要是利用奇偶性的定义； 比如：带参数的函数是偶函数，求参数；则通过偶函数的定义可得带参数的等式，证明其在定义域内恒成立时的取值，但若是选择题，则可以灵活些，取等于一特殊值得到关于的方程从而求出值. 【题型六：函数的单调性与奇偶性的综合应用】 例6．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 变式6-2．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．数学用语中，表示，中较大的数.已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-4．（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【方法技巧与总结】 1 处理函数单调性与奇偶性结合的题目，利用函数的图象较好； 2 若是偶函数，则在轴两侧的单调性是相反的； 若是奇函数，则在轴两侧的单调性是相同的. 【题型七：函数性质的综合应用】 例7．（多选）已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是（    ） A．的周期是4 B．是函数的最大值 C．的图象关于点对称 D．在上是增函数 变式7-1．已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 变式7-2．（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 变式7-3．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. (1)求的对称中心； (2)已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 变式7-4．已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【方法技巧与总结】 1 处理函数性质的综合问题，常常采取数形结合的方法； 2函数的周期性 （1）概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. （2）① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 3 函数的对称性 （1） 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. （2）两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称. 4 周期性与对称性拓展 ① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； ② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； ③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 一、单选题 1．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2.若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（    ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 3.已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7. 函数部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 8.函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项不正确的有（    ） A．关于中心对称 B．关于中心对称 C．函数的图象关于点对称，则 D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数 二、多选题 9．下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D． 11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 三、填空题 12．已知函数同时满足下列条件：①的定义域为；②是偶函数；③在上单调递减，则的一个解析式是 ． 13.若函数，，则 . 14.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 四、解答题 15．已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值；(2)求的解析式．(3)写出解不等式的解集． 16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 17.定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18.“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19．定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 函数的奇偶性 课程标准 学习目标 （1）结合具体函数, 了解奇偶性的概念和几何意义。 （1）理解函数奇偶性的概念; （2）会判断函数的奇偶性； （3）掌握函数奇偶性的性质. （4）掌握函数性质（单调性、对称性、周期性）的综合性问题（难点) 知识点01 函数奇偶性的概念 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练1】 函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可. 【详解】由函数解析式可知，即定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 故选：A 知识点02 函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【即学即练2】 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 【题型一：函数奇偶性的定义与判断】 例1．下列函数为偶函数是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，则且， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，所以C不符合题意； 对于D中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，所以D符合题意. 故选：D. 变式1-1．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 变式1-2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先求函数定义域，再结合奇函数、偶函数的定义进行判断即可. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 又因为， 所以函数为奇函数. 故选：A 变式1-3．若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 【题型二：由奇偶性求函数解析式】 例2．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 变式2-1．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，当时,,可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时， 设，则，, 故选：B． 变式2-2．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】 利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得. 【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 变式2-3．已知是定义在上的奇函数，当时，．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求解析式，画出函数大致图象，数形结合及已知单调区间求参数范围. 【详解】由题设，令，则，此时， 所以，且在处连续，图象如下， 函数在区间上单调递增，由图知：. 故选：C 【方法技巧与总结】 由函数的奇偶性求解函数的解析式，主要是利用函数奇偶性的定义. 【题型三：根据函数的奇偶性求值】 例3．已知函数是奇函数，当时，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．31 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】因为，函数是奇函数， 所以. 故选：A 变式3-1．已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】B 【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可. 【详解】是偶函数，当时，， 则. 故选：B 变式3-2．已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 【答案】B 【分析】令，则，即可判断为奇函数，根据奇偶性计算可得. 【详解】因为，令定义域为， 且， 所以为奇函数，又， ，所以，则， 所以. 故选：B 变式3-3．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【答案】A 【分析】 根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得. 【详解】 因为为奇函数，为偶函数， 则 所以 两式相加可得，即 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 理解函数奇偶性的概念，比如函数是偶函数，则，等式其中可取函数定义域中任何一个值均成立； 2 在给函数赋值的时候，要注意自变量的取值范围. 【题型四：抽象函数的奇偶性】 例4．定义在上的满足：对任意，总有，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据抽象函数的表达式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】由题意，令，则，即， 再令，则，即， 所以， 即，故是奇函数， 同理可知，对函数，，都不能是奇函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据抽象函数的表达式，利用赋值法是解决本题的关键，属于基础题． 变式4-1．f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是 A．f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数 B．f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数 C．f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数 D．f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数 【答案】C 【分析】举出反例,可以说明错误的选项;根据奇偶性和单调性的定义证明正确选项即可. 【详解】令,则 对于A选项, ,是偶函数但不是增函数,所以A错误; 对于B选项, ,是偶函数但不是减函数,所以B错误; 对于C选项, 因为是定义在R上的增函数,则是定义在R上的减函数,所以是定义在R上的增函数,所以是定义在R上的增函数. 令,则 所以为奇函数,所以C正确; 对于D选项, ,是奇函数但不是减函数,所以D错误; 综上可知,C为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,举反例法说明错误选项,正确选项需要证明,属于基础题. 变式4-2．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有 即. 故选：A 变式4-3．已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可求得；令可证得为奇函数，令可求得，根据可得结果. 【详解】令，则，解得：； 令，则，为奇函数， ，. 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，常常利用奇偶性的定义. 【题型五：由函数的奇偶性求参数】 例5．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C. 变式5-1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的定义即可得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 即，解得， 可知，所以， 故选：A. 变式5-2．已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据题意可确定m,n,的值，再根据二次函数的性质即可求得答案. 【详解】函数是定义在上的偶函数， 故 ，即 且 ，即 ， 所以，， 其图象对称轴为 ，则当 时，， 故选:A 变式5-3．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 【答案】A 【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算. 【详解】若函数为偶函数，则， 即，可得， 整理得，故，解得， ∴. 若正实数a、b满足，即，可得， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 由函数的奇偶性求参数，主要是利用奇偶性的定义； 比如：带参数的函数是偶函数，求参数；则通过偶函数的定义可得带参数的等式，证明其在定义域内恒成立时的取值，但若是选择题，则可以灵活些，取等于一特殊值得到关于的方程从而求出值. 【题型六：函数的单调性与奇偶性的综合应用】 例6．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数定义域为，又， 所以为奇函数， 又，，均在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 所以，解得或， 所以的解集为. 故选：B 变式6-1．设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间. 【详解】因为函数的定义域为R，且， 所以是奇函数，又，作出函数图象如下图：    由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减. 故选：B 变式6-2．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得函数的单调性，再由偶函数的性质等价转化不等式，然后结合单调性求解即可. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增. 则，即，解得，或， 故选：D. 变式6-3．数学用语中，表示，中较大的数.已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，画出的图象即可判断在上的单调性和奇偶性，由可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 则， 作出的图象，如下图，易知为偶函数， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以由可得， 则，则，解得：， 故实数的取值范围是. 故选：D. 变式6-4．（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 【方法技巧与总结】 1 处理函数单调性与奇偶性结合的题目，利用函数的图象较好； 2 若是偶函数，则在轴两侧的单调性是相反的； 若是奇函数，则在轴两侧的单调性是相同的. 【题型七：函数性质的综合应用】 例7．（多选）已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是（    ） A．的周期是4 B．是函数的最大值 C．的图象关于点对称 D．在上是增函数 【答案】BD 【分析】根据题意可得函数的周期为8，从而判断A选项；由函数关于对称，在上是增函数，可得函数在上是增函数，从而判断D，根据函数的对称性及周期性，可得函数图象的大致走势，从而判断B、C. 【详解】对于A，因为为定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于对称，且， 所以，则， 所以函数的周期是8，故A错误； 对于D，因为函数在上是增函数，所以函数在上是增函数， 则函数在上是增函数，故D正确； 对于B，因为函数关于对称，所以函数在上单调递减， 又因为函数周期为8，将的图象左右平移(每次平移8个单位)即可得函数的全部图象， 由此可得是函数的最大值，故B正确； 对于C，因为函数在上单调递增，在处取最小值，， 所以函数不关于对称，故C错误； 故选：BD. 变式7-1．已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【分析】由函数的奇偶对称性推得是周期为4的函数，并求得，最后利用周期性求目标函数值. 【详解】由是偶函数，，则， 又， ， 所以是周期函数，周期为4， 对于，令，得，则， 所以 . 故选：B 变式7-2．（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】AC 【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果. 【详解】对于选项C，是偶函数，得：， 将替换为，得：， 所以函数关于直线对称，选项C正确； 对于选项A，因为，将替换为，得：， 又因为，即， ，是奇函数，选项A正确； 对于选项B，，将替换为， 得：，所以4为函数的周期， 又因为是奇函数，且函数的定义域为，， ，选项B错误. 对于选项D，由已知， 分别代入，得：，， ， 同时4为的周期，，选项D错误. 故选：AC. 变式7-3．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. (1)求的对称中心； (2)已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解； （2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案. 【详解】（1）解：， 设的对称中心为， 由题意，得函数为奇函数， 则， 即， 即， 整理得， 所以，解得， 所以函数的对称中心为； （2）解：因为对任意的，总存在，使得， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以的值域为， 设函数的值域为集合， 则原问题转化为， 因为函数是奇函数，所以函数关于对称， 又因为，所以函数恒过点， 当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数， 所以函数在上递增， 又， 所以的值域为，即， 又， 所以，解得， 当即时，在上递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上递减， 则， 又， 所以，解得， 当即时， 在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心， 所以函数在上递增，在上递减， 故此时，， 要使， 只需要，解得， 综上所述实数m的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，有一定的难度. 变式7-4．已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据奇函数的定义可直接求参数的值. （2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数的最小值，可得的解析式；（ii）问题转化为的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以 . （2）（i）①若，则， 当时，对称轴，所以在上单调递增， 当时，若，即，则在上单调递减， 如图： 所以. 若，即，则， 若，即时， 如图： 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， ②若，则，，对称轴， 如图： 所以在上单调递增， 所以， 综上，. （ii）若，则， 所以，所以， 若，则，所以， 所以， 综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：该题的最后一问，要把问题转化成的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 【方法技巧与总结】 1 处理函数性质的综合问题，常常采取数形结合的方法； 2函数的周期性 （1）概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. （2）① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 3 函数的对称性 （1） 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. （2）两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称. 4 周期性与对称性拓展 ① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； ② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； ③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 一、单选题 1．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性和奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，在区间上单调递减，故A错误； 对于B，设，则，所以是偶函数，故B错误； 对于C，设，则，所以是奇函数，且和在区间上都单调递增，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，设，则，所以在区间上不是单调递增，故D错误； 故选：C 2.若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（    ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用函数的周期性和奇函数的性质，找出，与，的关系，即可求出的值. 【详解】由题知是上周期为的奇函数， 所以有， ， 故. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，函数的周期性，属于基础题. 3.已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性，判断“”和“为奇函数”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，，其定义域为R， 则， 即为奇函数； 若为奇函数，其定义域为R， 则需满足，即， 故，即， 因为，（，等号不能同时取到）， 故， 故“”是“为奇函数”的充分必要条件， 故选：C 4.设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，对赋特殊值即可得出结论. 【详解】因为是奇函数，所以有① 令，则有，即. 因为是偶函数，所以有， 令，则有， 在①式中，令，则有， . 故选：A 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数为奇函数求出，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案. 【详解】依题意是奇函数，所以，即， 则，， 当时，令，解得或， 根据对称性，当时，， 故满足的的取值范围是． 故选：C． 6.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 7. 函数部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性单调性和值域，排除法得正确选项.. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，故C不正确， 函数在上单调递减，当时，最大值为5，故D不正确； 因为，所以，故A不正确， 故选：B. 8.函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项不正确的有（    ） A．关于中心对称 B．关于中心对称 C．函数的图象关于点对称，则 D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数 【答案】A 【分析】根据函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，即可判断A错误，B正确；对选项C，根据充要条件的定义即可判断C正确；对选项D，根据函数的对称性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D正确. 【详解】对选项A，，，， ，故A错误. 对选项B，由，若， 则，故B正确. 对选项C，因为函数为奇函数，所以， 即，令，则有， 即，故C正确. 对选项D，若为偶函数，则， 令，则有，函数的图象关于对称，故必要性成立， 函数的图象关于对称，则有， 令，则有， 即为偶函数，故充分性成立，故D正确. 故选：A. 二、多选题 9．下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 10.已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断. 【详解】令，得，A正确. 令，得，所以. 令，得，所以，B正确. 令，得，所以是奇函数，C错误. 令，得，所以D正确. 故选：ABD 11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式可知满足，可判断A正确；化简可得可知B正确；又可得，即C正确；利用赋值法可求得，可知D错误. 【详解】对于A，由题意， 且，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 对于B，由， 可得，， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①知， 则，所以，故C正确； 对于D，又因为，所以， 令，则有2， 令，则有， 令，则有， 所以 ， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解. 三、填空题 12．已知函数同时满足下列条件：①的定义域为；②是偶函数；③在上单调递减，则的一个解析式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数性质直接判断. 【详解】若，则为二次函数，定义域为，图象开口向下，对称轴为轴，是偶函数， 且在上单调递减，故同时满足三个条件，所以的一个解析式是， 故答案为：（答案不唯一）. 13.若函数，，则 . 【答案】 【分析】令，再利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为， 令，则， 所以，所以为奇函数， 所以，即，解得， 故答案为： 14.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 【答案】3 【分析】因为图象关于点对称，所以，所以，再利用求出即可. 【详解】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以. 故答案为：3. 四、解答题 15．已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求的解析式． (3)写出解不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值； （2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式； （3）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，当时，， 则. （2）解：因为函数为上的奇函数， 当时，，则， 又因为满足，故. （3）当时，，可得，解得或， 此时，或； 当时，，可得，解得或， 此时，. 综上所述，原不等式的解集为. 16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，作图见解析； (2). 【分析】（1）利用奇函数定义求出时，再用分段函数表示出即可. （2）当时，求出，利用换元法结合对勾函数性质求出值域. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，则，而， 所以，函数的图象，如图： （2）由（1）得，， 令，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，于是， 所以函数在区间上的值域为. 17.定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 18.“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 19．定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【详解】（1）不是相关函数， 易知①， 而②，显然①②两式不相等， 即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而，所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$