第一章 反比例函数（8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第一章 反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单） 1.反比例函数的概念：一般地，形如y = （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 注：（1）k也叫做比例系数； （2）分母是含有自变量x的一次单项式，必须是单独的x，若分母为“x+2”，则不是y关于x的反比例函数. 2.反比例函数中，自变量x的取值范围：x≠0. 3.反比例函数的三种表达式：反比例函数y = （k为常数，k≠0）还可表示成y=kx-1或xy=k（k为常数，k≠0）. 反比例函数中自变量x的指数为-1. 4.反比例函数图象与性质：反比例函数y = （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 注：反比例函数的增减性是在每一个象限内. 函数名称 自变量取值 图象形状 位置分布 增减性 k>0 k<0 k>0 k<0 反比例函数 y = （k≠0） x≠0 双曲线 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 正比例函数 y=kx （k≠0） 任意 实数 直线 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 注意：双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴永不相交 反比例函数图像过第一象限必过第三象限；过第二象限，必过第四象限. 如果点（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）、（-a，-b）和（-b，-a）均在图象上. 反比例函数图象的两个分支，关于原点对称. 5.反比例函数的几何意义：S矩形OABC=AB·AC=｜x｜·｜y｜=｜k｜；若连接OA，S△OAB=. 这也称反比例函数的“面积不变性”. 6.反比例函数与正比例函数的异同： 正比例函数 反比例函数 一般形式 y=kx（k≠0） y = （k为常数，k≠0） 自变量x的取值范围 任意实数 x≠0 函数y的取值范围 任意实数 y≠0 自变量x的次数 1 -1 函数y与自变量x的数量关系 商为定值k（k≠0） 积为定值k（k≠0） 正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y = （k为常数，k≠0）都由一个常数决定，前者是整式形式，两变量的商为定值k（≠0），后者是分式形式，两变量的乘积为定值k（≠0）. 形式的差异决定了它们本质的区别：一条直线、双曲线；直线过原点，而双曲线不过原点. 当k>0时，两类函数的图像都分布在第一、三象限；当k<0时，两类函数的图像都分布在第二、四象限. 当k>0时，正比例函数的y随x的增大而增大，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正比例函数的y随x的增大而减小，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而增大. 正比例函数的自变量取任意实数，因此图象是连续的，而反比例函数的自变量和函数值都不能为0，因此图象与坐标轴渐近而没有交点，是间断的两支曲线. 对称性：对称轴，对称点 k值对函数图象的影响，随着｜k｜的变化，函数图象相对于坐标原点的变化； 7.用待定系数法确定一个反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数法的反比例函数解析式y = （k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式. 题型一　反比例函数的概念 例题1-1（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列函数中：；；；，是反比例函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题1-2（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．10 B． C． D． 例题1-3：（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 例题1-4：（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 巩固训练 1．（山东省烟台市经济开发区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题）已知点，都在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若是反比例函数，则的值是 ． 3．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 4．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）若是反比例函数，则m的值为 ． 5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 题型二　反比例函数的图象与性质的应用 例题2-1（山东省烟台市经济开发区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题）对于反比例函数下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．若点和点在该函数图象上，则 D．y随x的增大而增大 例题2-2（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例题2-3（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 例题2-4（23-24八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·云南·模拟预测）若对于反比例函数 ，在每个象限内，y随x的增大而增大，则下列四个点可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南昆明·模拟预测）如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（    ） A． B． C． D．0 10．（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 11．（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 13．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而 ． 题型三　与反比例函数图象有关的图形的面积问题 例题3-1（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 例题3-2（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的是（   ） ①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 5．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 8．（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 10．（2024·云南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，点在轴上，且，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 12．（2024·广西桂林·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在y轴上，连接，则 ． 题型四　反比例函数与一次函数的综合应用 例题4-1（浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 例题4-2（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 巩固训练 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A与点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的解集． (3)若点是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 2．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． (3)若点是轴上的一点，的面积等于，求点坐标． 3．（四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 题型五　反比例函数图象与几何图形的综合 例题5-1（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 例题5-2（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积． 巩固训练 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，若反比例函数在第一象限的图像经过正方形的顶点，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 4．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．    (1)求点A的坐标及m和k的值． (2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． (3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六　实际问题与反比例函数 例题6（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 巩固训练 1．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 2．（2023·吉林松原·模拟预测）世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 3．（2024·河南周口·模拟预测）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 5．（2024·山东临沂·三模）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 6．（2024·宁夏银川·一模）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 题型七　分段函数 例题7（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 巩固训练 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 2．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 3．（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 6．（23-24九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 题型八　与反比例函数相关的规律探究问题 例题8-1（九年级上·甘肃张掖·期末）将反比例函数y＝－作如下变换：令＝代入y＝－中，所得的函数值记为， 又将＝＋1代入函数中，所得函数值为，再将＝＋1代入函数…，如此循环，＝ 例题8-2（九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形，并设其面积分别为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（江苏无锡·一模）如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数（）交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、，分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 4．（北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，在l上取一点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，…，这样依次得到l上的点，，，…，，…，记点的横坐标为，若，则 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则不能取的值是 ． 5．（全国·单元测试）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去，则 . 6．（四川遂宁·期中）将x=代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，又将x=+1代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，又将x=+1代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，…，如此继续下去，则y2020= 7．（北京·期中）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2019在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2019，纵坐标分别是1，3，5，…，共2019个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2019分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2019（x2019，y2019），则y2019= ． 8．（江西·一模）如图，四边形，，，……，都是正方形，对角线，，，……，都在y轴上（的整数），点，，……，在反比例函数的图象上，并已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点和的坐标； (3)由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：的面积为 ，点的坐标为______（用含n的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单） 1.反比例函数的概念：一般地，形如y = （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 注：（1）k也叫做比例系数； （2）分母是含有自变量x的一次单项式，必须是单独的x，若分母为“x+2”，则不是y关于x的反比例函数. 2.反比例函数中，自变量x的取值范围：x≠0. 3.反比例函数的三种表达式：反比例函数y = （k为常数，k≠0）还可表示成y=kx-1或xy=k（k为常数，k≠0）. 反比例函数中自变量x的指数为-1. 4.反比例函数图象与性质：反比例函数y = （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 注：反比例函数的增减性是在每一个象限内. 函数名称 自变量取值 图象形状 位置分布 增减性 k>0 k<0 k>0 k<0 反比例函数 y = （k≠0） x≠0 双曲线 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 正比例函数 y=kx （k≠0） 任意 实数 直线 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 注意：双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴永不相交 反比例函数图像过第一象限必过第三象限；过第二象限，必过第四象限. 如果点（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）、（-a，-b）和（-b，-a）均在图象上. 反比例函数图象的两个分支，关于原点对称. 5.反比例函数的几何意义：S矩形OABC=AB·AC=｜x｜·｜y｜=｜k｜；若连接OA，S△OAB=. 这也称反比例函数的“面积不变性”. 6.反比例函数与正比例函数的异同： 正比例函数 反比例函数 一般形式 y=kx（k≠0） y = （k为常数，k≠0） 自变量x的取值范围 任意实数 x≠0 函数y的取值范围 任意实数 y≠0 自变量x的次数 1 -1 函数y与自变量x的数量关系 商为定值k（k≠0） 积为定值k（k≠0） 正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y = （k为常数，k≠0）都由一个常数决定，前者是整式形式，两变量的商为定值k（≠0），后者是分式形式，两变量的乘积为定值k（≠0）. 形式的差异决定了它们本质的区别：一条直线、双曲线；直线过原点，而双曲线不过原点. 当k>0时，两类函数的图像都分布在第一、三象限；当k<0时，两类函数的图像都分布在第二、四象限. 当k>0时，正比例函数的y随x的增大而增大，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正比例函数的y随x的增大而减小，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而增大. 正比例函数的自变量取任意实数，因此图象是连续的，而反比例函数的自变量和函数值都不能为0，因此图象与坐标轴渐近而没有交点，是间断的两支曲线. 对称性：对称轴，对称点 k值对函数图象的影响，随着｜k｜的变化，函数图象相对于坐标原点的变化； 7.用待定系数法确定一个反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数法的反比例函数解析式y = （k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式. 题型一　反比例函数的概念 例题1-1（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列函数中：；；；，是反比例函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数定义：形如的函数称作y是x反比例函数． 根据反比例函数定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是反比例函数， ，是正比例函数， ，不是反比例函数， 故选：A． 例题1-2（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由解析式知是解题关键． 直接把代入，求得的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 例题1-3：（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 例题1-4：（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 巩固训练 1．（山东省烟台市经济开发区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题）已知点，都在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，是解题的关键．根据反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，列式计算即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或； 当时：， 解得：， 当时：（不符合题意，舍去）； ∴； 故答案为：0． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， 则，且， ， 故答案为：． 3．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 4．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）若是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为： 5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 题型二　反比例函数的图象与性质的应用 例题2-1（山东省烟台市经济开发区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题）对于反比例函数下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．若点和点在该函数图象上，则 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，性质，增减性，图像的对称性，根据解析式熟练计算，灵活运用性质比较大小是解题的关键．根据解析式，结合反比例函数的性质，计算判断． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， ∵， ∴图象不经过点， ∴选项A错误； ∵反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形， ∴选项B正确； ∵反比例函数， ∴， ∴， ∴选项C错误； ∵， ∴在每一个象限内，y随x的增大而增大， ∴选项D错误； 故选：B． 例题2-2（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数值的大小比较．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知函数（为常数）的图象在第二、四象限，在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；然后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，， ∴函数（为常数）的图象在第二、四象限， 在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且； ∵， ∴， 故选：D． 例题2-3（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 例题2-4（23-24八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据图象在第二、四象限可得，求出的取值范围再结合选项即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以为， 故选：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 2．（2024·云南·模拟预测）若对于反比例函数 ，在每个象限内，y随x的增大而增大，则下列四个点可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标的特征、反比例函数图象与性质，根据反比例函数的性质可得反比例函数图象分布在第二、四象限，再根据点的坐标的特征进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数 ，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴可能在该函数图象上的点是， 故选：C． 3．（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 反比例函数中，则每一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式可知每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解，掌握反比例函数的性质增减性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限中， 随的增大而减小， ∵， ∴，即， 故选：B ． 5．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由得反比例函数的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意； B、反比例函数的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意； C、当时，反比例函数的图象在第三象限，且y随x的增大而减小，则，原说法正确，不符合题意； D、反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意， 故选：D． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线对称，原说法正确，符合题意； C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象，在每一个象限内，随着的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 9．（2024·云南昆明·模拟预测）如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数（是常数）的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，根据反比例函数图象所在象限，可确定的符号，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限， ∴， ∴， ∴的值可以是0， 故选：D． 10．（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先根据题意得到，进而得到反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，y随x增大而减小， ∴， ∴反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∵反比例函数不关于y轴对称， ∴四个选项中，只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 11．（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与系数的关系，根据“时，反比例函数图象分布在第二、四象限；时，反比例函数图象分布在第一、三象限，”进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 13．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 故答案为：减小． 题型三　与反比例函数图象有关的图形的面积问题 例题3-1（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 例题3-2（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【详解】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题． 根据反比例函数系数k的几何意义，利用，即可解决问题． 【解答】解：∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴，， ∴， ∵点A、B在反比例函数 ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的是（   ） ①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故选：C． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，由已知条件可得，进而可得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图： ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【详解】解：设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 5．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：连接，设直线与y轴交于点，如图所示： ∵轴， ∴， ，， 则， 故选：B． 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论． 【详解】解：如图，与x轴交于点C， 由图可知，， ，， ， 故选B． 7．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 8．（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，令直线交轴于，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：如图，令直线交轴于， ， ∵直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、， ∴，， ∴， 故选：A． 9．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，先根据反比例函数几何意义求出，再根据得到，最后根据求得，从而得到k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，轴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．（2024·云南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，点在轴上，且，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，解题的关键四求出的面积．由，轴于点，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：，轴于点， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， ， 故选：B． 11．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 12．（2024·广西桂林·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在y轴上，连接，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 连接，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 故答案为：5． 题型四　反比例函数与一次函数的综合应用 例题4-1（浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． （2）解：根据图象可得，的解集为：或． （3）解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得   ∴，即， 连接， ∴． 例题4-2（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数表达式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例的解析式为； 把代入， ∴， ∴， 将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 巩固训练 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A与点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的解集． (3)若点是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，正确解得反比例函数的表达式是解题的关键． （1）首先求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求解； （2）求出点A的坐标，根据函数图象的位置关系即可得到答案； （3）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：由和联立得到， 解得或， ∴点A的坐标是， 由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数上方， ∴的解集是或 （3）如下图， 设点的坐标为，则， ∴，点到直线的距离为， ∵点在第一象限， ∴， ， 当时， ， 整理得到，， 可解得或 经检验或都是分式方程的解， ∵ ∴不合题意，舍去； 当时， ， 整理得到，， 可解得或， 经检验或都是分式方程的解， ∵ ∴和不合题意，舍去； ∴， ∴点的坐标为． 2．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． (3)若点是轴上的一点，的面积等于，求点坐标． 【答案】(1)反比例解析式为，一次函数解析式为； (2)或； (3)点或． 【分析】（）将坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定出反比例解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出M坐标，将与坐标代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （）由与横坐标，以及，将轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （）设，根据面积公式即可求解； 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入反比例解析式得：， ∴反比例解析式为， 将代入反比例解析式得，即， 将与坐标代入一次函数解析式得 ，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）∵，， ∴根据图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围为或； （3）设， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点或． 3．（四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到，，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 题型五　反比例函数图象与几何图形的综合 例题5-1（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比例函数的中的关系是解题的关键． 根据题意设，则，，可求出反比例函数解析式，可得的纵坐标为b，根据折叠的性质可得，在直角中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解 【详解】解：根据题意，设，则， ∴， ∵点是矩形对角线的中点， ∴，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，即点的纵坐标为， ∴把点的纵坐标代入反比例函数解析式得，， 解得，，即， ∴， ∵沿着折叠，点与点重合，如图所示，连接，则， 在中，， ∴，且，则， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：B ． 例题5-2（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合应用、勾股定理等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）首先结合点在直线上，可求得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，即可获得答案； （2）首先解得点坐标，然后根据勾股定理求得，再结合菱形的性质求解点坐标及菱形的面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 即点的坐标为， ∵点是反比例函数的图像与正比例函数图像的交点， ∴，即的值是2； （2）由题意，可得， 解得或， 经检验或是原方程的解， ∵点在第四象限， ∴， ∵点， ∴， ∵菱形是以为边，且轴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 巩固训练 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，若反比例函数在第一象限的图像经过正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数解析式，作轴于，由正方形的性质可得，，由等角的余角相等可得，根据“”可证明 ，可得到，，从而可得出点的坐标，即可得到的值，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点．延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图象上，即可得到答案． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ， 解得：， ∵， ∴， ∴点， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)8 (2)，四边形的面积为4 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； （2）解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； （3）解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 4．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．    (1)求点A的坐标及m和k的值． (2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． (3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是 12， ∴，即， ∴，，即， ∵点C在直线上， ∴， ； （2）解：①由（1） 知， ∴直线的解析式为 由（1） 知，， ∴反比例函数的解析式为 ， 联立得：，解得：或 ， ∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为； ②由图可得， 当或时，反比例函数 的图象在一次函数的图象上方或两图象相交， ∴不等式 的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点C时， t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，    将点代入， 得： ，解得； 将点代入， 得： ，解得， ∴若直线与四边形有交点时， t的取值范围为． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，或，或， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出点，，得出，再根据，求出的值即可； （2）由（1）得，设．分三种情况：当，时，点与原点重合；当，时；当，；分别求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，， 令，则， ，即， 原点恰好是线段的中点， ， 即， ， ； ， ， 解得：， 反比例函数的解析式为． （2）解：存在点，使得是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）得：， 直线的表达式为， 是线段上的一个动点． 设． ①当，时，点与原点重合， ，； ②当，时，如图， ，解得， ， ， ③当，时，如图， 过点作于点N，则， 由②的解法可求得：，， ， ，； 综上所述：当，或，或，时，是等腰直角三角形． 题型六　实际问题与反比例函数 例题6（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用， （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）把代入求得，再根据反比例函数的性质求解即可； （3）设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系， 设V与t的函数表达式为， 把代入得，， ∴V与t的函数表达式为； （2）解：把代入得， ， ∵， ∴V随着t的增大而减小， ∴每小时排水量不超过，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是， 故答案为：9； （3）解：设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为， 由题意得，， 解得， 经检验得，是原方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 巩固训练 1．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可． 【详解】解：设， 将代入得， 解得， ，故A选项错误，不符合题意； 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 将代入得，解得：， 当时，，故C选项正确，符合题意； 将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（2023·吉林松原·模拟预测）世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 3．（2024·河南周口·模拟预测）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ． 【答案】(1)第四组的压强250错了，p关于S的函数表达式为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）计算每组的压强判断出第四组错了； （2）将格点在坐标系中描点，再连线作图； （3）代入，即可求出，解答此题． 【详解】（1）解：通过数据发现：与p的积都是定值，第四组的压强错了， 设， 把代入得，， 故p关于S的函数表达式为； （2）解：根据数据描点，连线即可； （3）解：令代入关系中，， 长方体A的受力面积至少为． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 5．（2024·山东临沂·三模）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)猜测是关于的反比例函数， (3)当砝码质量为时，托盘与点的距离为 (4)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）利用反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图象如图所示： （2）解：根据图象，猜测是关于的反比例函数， 设， 将代入函数解析式得：， 解得：， ∴； 验证：当时； 当时，，故猜想成立； （3）解：当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：应往托盘中添加砝码， 理由如下：∵是关于的反比例函数， ∴当托盘向左移动（不能移动到点）时，相当于与点的距离在逐渐变小， ∴应往托盘中添加砝码． 6．（2024·宁夏银川·一模）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，减小 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而减小， 故答案为：减小； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 题型七　分段函数 例题7（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【答案】(1)； (2)第分钟注意力更集中； (3)能达到，理由见解析． 【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，， ∴． 当时，， 当时， 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）当时，， 当时， ∴， ∴第分钟注意力更集中． （3）能达到； 令， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 巩固训练 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能超过130分钟，见解析 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 2．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：． (2)这天内有小时水果生长不受伤害． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 3．（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 6．（23-24九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3)可以，证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 题型八　与反比例函数相关的规律探究问题 例题8-1（九年级上·甘肃张掖·期末）将反比例函数y＝－作如下变换：令＝代入y＝－中，所得的函数值记为， 又将＝＋1代入函数中，所得函数值为，再将＝＋1代入函数…，如此循环，＝ 【答案】2 【分析】算出每一个x值和y值，找到其中的规律即可解答． 【详解】将代入中，得：， ∴， 将代入中，得：， ∴， 将代入中，得：， ∴， 将代入中，得：， …… 所以可知y的值每三个为一个循环， ∵2021÷3=673……2， ∴． 故答案为：． 例题8-2（九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形，并设其面积分别为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|=1 又因为OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A4=… 所以S₁ =1， S₂=S₁=， S₃=S₁=， S4=S₁= S5=S₁=… 依次类推：Sn=S₁= 当n=2018时，S2018= 故选：A 巩固训练 1．（江苏无锡·一模）如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数（）交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、，分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，把，，代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、……的值，故可得出结论． 【详解】解：设， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，， ∵、、、…、在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴，，…， 设从左到右，小三角形面积依次为、、……，则： ∴； ； ； …… ∴， ∴ 即：． 故选A． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解，本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是：找到矩形面积的变化规律． 【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2024， 点，，，…，的纵坐标为依次为，，，…，， 又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差， ，，，…，， ……， 故选：． 3．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案． 【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现： 第1个回形有2个点，， 第2个回形有4个点，分别是，，， 第3个回形有4个点，分别是，，， 第个回形有4个点，分别是，，， 那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为 故答案为： 4．（北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，在l上取一点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，…，这样依次得到l上的点，，，…，，…，记点的横坐标为，若，则 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则不能取的值是 ． 【答案】 0、1 【分析】求出，，，的值，可发现规律，继而得出的值，根据题意可得不能在轴上，也不能在轴上，从而可得出不可能取的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为， 的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为， 的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为， 的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为， 的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为， 的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为， 的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为， 即当时，，，，， ，，，，， ， ； 点不能在轴上（此时找不到），即， 点不能在轴上（此时，在轴上，找不到），即， 解得：； 综上可得不可取0、1． 故答案为：；0、1． 5．（全国·单元测试）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去，则 . 【答案】2 【分析】根据题意将x值依次代入中，得y1，y2，y3，y4，发现y值的变化规律是三个数字为一个循环，将2018除以3得672余2，则为一个循环的第2个数即可求解. 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； …… ∴y的值是三个数值为一个循环， ∵2018÷3=672…2， ∴=2 故答案为：2 6．（四川遂宁·期中）将x=代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，又将x=+1代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，又将x=+1代入反比例函数y=－中，所得的函数值记为，…，如此继续下去，则y2020= 【答案】－ 【分析】分别计算出y1，y2，y3，y4，可得到每三个一循环，而2020÷3＝673……1，即可得到y2020＝y1． 【详解】解：将x＝代入反比例函数y＝﹣中，得y1＝﹣＝﹣， 把x＝﹣+1＝﹣代入反比例函数y＝﹣得y2＝﹣＝2； 把x＝2+1＝3代入反比例函数y＝﹣得y3＝﹣； 把x＝﹣+1＝代入反比例函数y＝﹣得y4＝﹣；…； 如此继续下去每三个一循环， ∵2020÷3＝673……1， ∴y2020＝y1＝﹣． 故答案为：﹣． 7．（北京·期中）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2019在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2019，纵坐标分别是1，3，5，…，共2019个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2019分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2019（x2019，y2019），则y2019= ． 【答案】2018.5. 【分析】根据点Pn的纵坐标可求出其横坐标，根据xn的变化找出变化规律“xn= （n为正整数）”，再结合Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上，即可得出yn=，由此即可得出结论． 【详解】解：观察，发现规律：x1==6，x2==2，x3=，x4=，…， ∴xn=（n为正整数）， ∵点Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上， ∴yn===， 当n=2019时，y2018==2018.5， 故答案为2018.5． 8．（江西·一模）如图，四边形，，，……，都是正方形，对角线，，，……，都在y轴上（的整数），点，，……，在反比例函数的图象上，并已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点和的坐标； (3)由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：的面积为 ，点的坐标为______（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)， (3)1， 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，待定系数法求函数解析式及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质设出所求点的坐标是解题的关键； （1）由四边形为正方形且是对角线知与关于y轴对称，得出点，据此可得答案； （2）连接、，分别交y轴于点E、F，由点坐标及正方形的性质知，据此可设的坐标为，代入解析式求得a的值即可，同理可得点的坐标； （3）由，可知的面积为1，根据、、坐标特点得出的坐标． 【详解】（1）在正方形中，是对角线， 与关于y轴对称，， ， 设反比例函数解析式为， 将代入得： ，． ∴反比例函数的解析式为． （2）连接、，分别交y轴于点E，点F， 又点， ∴， 设点的坐标为， 将点代入， 得，（舍去） 故点的坐标为； ，， 设点的坐标为， 将的坐标代入， 得， （舍去） 故点P3的坐标为； （3）连接交y轴于点C，     ∵，， ∴的面积为1， 由、、知点的坐标为 故答案为：1，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$