专题突破：反比例函数综合有关问题（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：反比例函数综合有关问题 反比例函数k的几何意义 反比例函数与几何综合的策略 反比例函数图象与几何图形的交点称为关键点，在解决反比例函数与几何综合问题时，通常以关键点作为突破口，通过几何图形特征求线段长，把线段长转为坐标，从而实现“形”到“数”的转变。 题型一 反比例函数K的几何意义 【例1-1】下列图形中，阴影部分面积为1的有 ( ) 个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【变式1-1】若图中反比例函数的表达式均为 则阴影面积为4的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2) 分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=2/x的图象交于A ，B两点，连接OA，OB,则四边形MAOB 的面积为___. 【变式1-3】如图，反比例函数y=k/x(x<0) 的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D 在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k 的值为____. 【变式1-4】（2024·陕西·二模）如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．    【变式1-5】（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      题型二 反比例函数与物理综合 【例2-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【变式2-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， (1)求动力F与动力臂l的函数表达式； (2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ (3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【变式2-4】（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【变式2-5】（2024·吉林·模拟预测）台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【变式2-6】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 【变式2-7】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 题型三 反比例函数与一次函数综合 【例3-1】（2024·湖南益阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若于点，求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【变式3-1】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 【变式3-2】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图像的另一个交点B的坐标； (2)观察图象，直接写出当x在什么范围时，． 【变式3-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)过点的直线交轴于点，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点的坐标； ②求的长度． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，直线与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3-5】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)直接写出当x取何值时，不等式． 【变式3-6】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1) ， ； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)求出的面积． 题型四 反比例函数与几何综合 【例4-1】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【例4-2】（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 【变式4-1】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【变式4-4】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【变式4-5】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：反比例函数综合有关问题 反比例函数k的几何意义 反比例函数与几何综合的策略 反比例函数图象与几何图形的交点称为关键点，在解决反比例函数与几何综合问题时，通常以关键点作为突破口，通过几何图形特征求线段长，把线段长转为坐标，从而实现“形”到“数”的转变。 题型一 反比例函数K的几何意义 【例1-1】下列图形中，阴影部分面积为1的有 ( ) 个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解：A. 阴影部分面积为 此选项正确； B. 阴影部分的面积为 此选项正确； C. 阴影部分的面积为 此选项错误； D. 阴影部分的面积为 此选项正确； 故选: B. 【变式1-1】若图中反比例函数的表达式均为 则阴影面积为4的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：图1中，阴影面积为4； 图2中，阴影面积为 图3中，阴影面积为 图4中，阴影面积为 则阴影面积为4的有 2个. 故选: B. 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2) 分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=2/x的图象交于A ，B两点，连接OA，OB,则四边形MAOB 的面积为___. 【答案】 如图，∵ 反比例函数y=2/x的图象过点A , B，AC⊥x轴，BD⊥y 轴， ∴S_△AOC=S_△BOD=1/2×2=1.∵M(−3,2) ， ∴S_矩形MCOD=3×2=6，∴S_四边形MAOB=S_△AOC+S_△BOD+S_矩形MCOD=1+1+6=8 . 【变式1-3】如图，反比例函数y=k/x(x<0) 的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D 在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k 的值为____. 【答案】 解题思路：要求k的值，需构造以点P 为顶点的直角三角形或矩形，根据题意易知过点P作y 轴的垂线，构造矩形便于求解. 【变式1-4】（2024·陕西·二模）如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，求阴影部分的面积，先根据点的坐标求出矩形的面积，再根据k的几何意义求出和，最后根据得出答案． 【详解】∵点， ∴，， ∴． ∵反比例函数， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式1-5】（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型二 反比例函数与物理综合 【例2-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 【变式2-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当时，，可得，再根据反比例函数的性质解答，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴，解得：， 即灯丝的阻值为，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当时，， 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低， ∴，解得：， 即要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式2-2】3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， (1)求动力F与动力臂l的函数表达式； (2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ (3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析． （1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可； （2）将代入函数解析式，求出l的值即可； （3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可． 【详解】（1）解：∵阻力（石头重量）和阻力臂分别为和， ∴， 即； （2）解：把代入得： ， 解得：， 答：他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头； （3）解：∵动力臂为， ∴若想撬动石头，必须使， 即． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键． （1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴电阻的值为． 【变式2-4】（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把代入中求出P的值即可； （3）分别求出和时S的值即可得到答案． 【详解】（1）设， ∵点在这个函数的图象上， ∴． ∴． ∴P与S的函数关系式为． （2）解：当m2时，． （3）解：令，， 令，， ∵在中，， ∴P随S增大而减小， ∴当时， 【变式2-5】（2024·吉林·模拟预测）台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，正确得出关于的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入解析式求解即可； （2）根据计算出和时的值，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数图象经过点， ， 关于的函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 【变式2-6】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 【答案】任务1：；任务2：极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面；任务3：科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意得出函数解析式． 任务1：根据题干提供的信息，根据压强公式求出机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2：根据反比例函数的性质进行解答即可； 任务3：根据科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，可以通过增大受力面积的方法，来减小压强，从而可以安全通过该危险区域． 【详解】解：任务1：∵机器人质量为， ∴机器人对冰面的压力为：， ∴极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式为： ； 任务2：∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3：因为科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，根据压强公式可知，当受力面积越大时，科考人员对冰面的压强越小，因此当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面，可以安全离开危险区． 【变式2-7】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 题型三 反比例函数与一次函数综合 【例3-1】（2024·湖南益阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若于点，求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)     (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）联立函数式求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，由轴对称可得点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代数所得的解析式解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，轴对称最短线段问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：由得，或， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得，     ， 解得， ∴直线的解析式为， 令 ，则， ∴点P坐标为． 【变式3-1】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)22.5 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式． （1）把点的坐标代入即可求出反比例函数的解析式；求出点的坐标即可求出一次函数的解析式； （2）求出点、的坐标，根据计算即可； （3）根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数表示式是， ∵点在反比例函数表达式是图象上， ∴，解得：，点坐标为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴ 解得： ∴一次函数表达式为； （2）对于直线，当时，，则点坐标为， 当时，，即点坐标为， =； （3）由图象可知，不等式的解集是或． 【变式3-2】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图像的另一个交点B的坐标； (2)观察图象，直接写出当x在什么范围时，． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）把A点坐标分别代入（m为常数）和可求出m和k的值，从而得到这两个函数的解析式；然后解由它们所组的方程组，即可得到B点坐标； （2）观察图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，一次函数值大于反比例函数值． 【详解】（1）∵一次函数（m为常数）的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴； ， 解得：； ∴， 将两函数联立得：， 解得：，， ∴B点坐标为：； （2）利用图象以及A，B点的坐标可得出自变量x的取值范围是：或． 【变式3-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)过点的直线交轴于点，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点的坐标； ②求的长度． 【答案】(1)． (2)①；② 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）①设直线的解析式为，由整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标； ②利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ． 又反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， ． （2）解：①在中，令，得， ． 设直线的解析式为． 联立，得． 直线与双曲线只有一个交点， ， ， 直线的解析式为． 令，得， ． ②． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，直线与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)存在，P点坐标为 【分析】（1）把代入 中，求出m的值，即可得反比例函数解析式为； （2）分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D．先求出B点的坐标为．由反比例函数的几何意义可得，则可得，进而可得，根据梯形的面积公式即可求解． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时的值最小．求出的表达式为，再求出时x的值，即可得P点的坐标． 本题考查了用待定系数法求反比例函数的表达式、反以及反比例函数的几何意义以及利用将军饮马求点的坐标．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， 所以反比例函数解析式为； （2）解：分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D． 由（1）可知，反比例函数解析式为， 把代入，得， 解得， 所以． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在． 作点A关于x轴的对称点，如图，则，连接交x轴于P，则， 所以， 所以此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，， 解得， 所以P点坐标为． 【变式3-5】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)直接写出当x取何值时，不等式． 【答案】(1)， (2)点C坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）待定系数法求出反比例函数解析式及点B坐标即可； （2）设直线于轴交于点，由点的坐标和直线是的垂线先求出点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式，点坐标为，根据，可得点的横坐标，从而得解； （3）根据图像直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）∵一次函数图象与y轴交于点A， ∴． ∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴． ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：． （2）设直线于轴交于点，直线与轴得交点为， 令解得： ， ， 又， ， ，， ， 又直线是的垂线即，， ，， ， 设直线的解析式是：， 将点，点代入得：， 解得：， 直线的解析式是：， 设点的坐标是， ， 解得：或6， 当时，； 当时，， 点的坐标为或． （3）联立方程组得， 解得和， ∴，， 由图象可知，不等式的解集为：或． 【变式3-6】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1) ， ； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)求出的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是确定函数解析式和数形结合． （1）先把代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式；再利用反比例函数解析式，即可得到答案； （2）由（1）得到，由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，即可得到答案； （3）先求出一次函数解析式，依据一次函数求得点C的坐标，分别求出和进而得到的面积． 【详解】（1）解：将代入，得 反比例函数的解析式为：； 将代入，得， 解得， 故答案为：， （2）解：∵， ， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于的不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：将和分别代入，得 ， 解得， 所求的一次函数的解析式为：； 当时，， 解得：， ， ，， 题型四 反比例函数与几何综合 【例4-1】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④ 【分析】设，则，，，，待定系数法可得直线的解析式为；直线的解析式为；可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明四边形是平行四边形，则，可判断②的正误；当时，，即，则，，，，，可得，可判断③的正误；当点E为的中点时，证明，则，，，同理③，，则，，可判断④的正误． 【详解】解：设，则，， ∵点D、E在双曲线上， ∴，， 待定系数法可得直线的解析式为； 同理可得，直线的解析式为； ∴，①正确，故符合要求； 如图，连接，    ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，②正确，故符合要求； 当时，，即， ∴，，， ∴，， ∴，③错误，故不符合要求； 当点E为的中点时， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理③，， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【例4-2】（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 【答案】(1)①，；②， (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积不变化，理由见解析 【分析】（1）①先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积； ②结合图象，可求解； （2）按（1）的思路求解； 【详解】（1）解：①，， 点，，，， ∴ 点，，， 一次函数的图象经过点、， 设，则 ， ， 函数的表达式为， ， ， ； ②当时，则，即， 当或时，； （2）解：的面积不变化．理由如下： 点，，，， 点，，， 设，则 ， ， ， ， ． 当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化． 【变式4-1】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 【变式4-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的横坐标为或3或或 【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． （1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）如图1，四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ； （2），， ，， ， ，， ， ∴ 同理可证， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把代入，得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 直线， 设直线的解析式为，把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线上的一点，点是平面内一点， 设，， 又，， 当、为对角线时， ， 解得：， ，； 当、为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ； 当、为对角线时， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或． 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 【变式4-4】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【变式4-5】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出所在直线的解析式为，再求出点，由点在反比例函数第一象限的图象上即可得到反比例函数的解析式； （2）求出，由平移的性质得到，，得到当时，四边形是平行四边形，求得点的纵坐标为，则利用求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴点C的横坐标是1，当时，， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为. （2）当时，，   ∴， 由平移的性质得到，， 由题意得， ∴当时，四边形是平行四边形， 由（1）知反比例函数的解析式为， 点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， 解得， 即当为2时，四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$