第11讲 热点题型精讲 一次函数-2024-2025学年八年级数学上学期同步培优（苏科版）

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第11讲 热点题型精讲—一次函数 · 学习目标 1. 知道函数相关概念及函数的三种常用表示方法：列表法、图象法、解析式法； 2. 会用待定系数法确定一次函数和正比例函数表达式； 3. 掌握一次函数的图象与性质，能利用其性质解决一次函数与几何图形的综合问题； 4. 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系； 5. 会根据实际问题建立一次函数模型解决问题。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点2：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点3：一次函数的实际应用 用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． · 典型例题 题型1 一次函数图象与参数问题 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m、n的收值范围是（   ） A． ， B． ， C．， D． ， 题型2 一次函数图象与性质综合 关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 题型3 一次函数图象的平移问题 在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①；②；③；④的图像，说法不正确的是（    ） A．②和③的图像相互平行 B．②的图像可由③的图像平移得到 C．①和④的图像关于y轴对称 D．③和④的图像关于x轴对称 题型4 一次函数的增减性问题 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型5 待定系数法求解析式问题 1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型6 一次函数与方程、不等式问题 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点 P，则下列结论错误的是（     ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 题型7 一次函数与图形面积问题 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 题型8 一次函数与几何图形综合问题 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，点是直线上一点，点在线段上，且． (1)求所在直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型9 一次函数与实际应用问题 学校为举行社团活动，准备向某商家购买A，B两种文化衫．已知购买3件A 种文化衫和2件B种文化衫需要180元； 购买2件A种文化衫和4件B种文化衫需要200元． (1)求A，B两种文化衫的单价； (2)学校决定向该商家购买A，B两种文化衫共100件（其中A种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，如图所示，设购买A种文化衫m件，根据以上信息，请说明学校按照哪种活动方案购买更划算．    · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（       ） A．， B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则 C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为 D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为 2．一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线上有两点，点和点，且，则下列说法正确的是（    ） A．n的值可能为 B．y随x的增大而增大 C．图象过第一、二、四象限 D．点可能在函数图象上 5．若、在函数的图象上，则、的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（    ） A．甲比乙早出发 B．甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C．甲的速度是，乙的速度是 D．乙出发后两人相遇，这时他们离学校 8．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共8小题） 9．如果一次函数图像经过点，截距为2，那么它的解析式是 ． 10．在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 11．若是关于，的二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第 象限． 12．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 13．已知，且．若设，则m的最大值是 ． 14．如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 第14题 第15题 15．一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是 ． 16．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 第16题 第17题 17．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有 ． ①；②；③；④当时， 18．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．当气球上升 min时，两个气球的海拔竖直高度差为． 三、解答题（本大题共4小题） 19．如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点在第二象限内，直线交x轴于点，直线交x轴于点D，且． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求直线的解析式． 20．2022年4月21日新版义务教育课程方案及各科课程标准正式颁布，新的课程标准优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”．某中学计划利用劳动教育课开展烘焙课程，现需要购买课程所需材料，甲、乙两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，五一节期间两家超市进行促销活动，促销方式如下： 甲超市：所有商品按原价打8折． 乙超市：一次购物不超过500元的按原价付款，超过500元后超过的部分打7折． (1)设分别在两家超市购买原价为元的商品后，实付金额为y甲，y乙元，分别写出y甲，y乙与x的函数关系式． (2)促销期间如何选择这两家超市购物更省钱？ 21．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． (3)若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求点的坐标和直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象． (1) ______， ______； (2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当______时，两车恰好相距． 24．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”玩偶，某商场计划购进A和B两款玩偶共50个，经过调查，得知购进1个A款玩偶和购进2个B款玩偶共需200元，购进2个A款玩偶和购进3个B款玩偶共需330元． (1)A，B两款玩偶的进价分别为多少元？ (2)该商场将A款玩偶的售价定为80元，B款玩偶的售价定为100元，且计划购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半(A、B两款都买)，问商场应如何进货才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为多少元？ 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第11讲 热点题型精讲—一次函数 · 学习目标 1. 知道函数相关概念及函数的三种常用表示方法：列表法、图象法、解析式法； 2. 会用待定系数法确定一次函数和正比例函数表达式； 3. 掌握一次函数的图象与性质，能利用其性质解决一次函数与几何图形的综合问题； 4. 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系； 5. 会根据实际问题建立一次函数模型解决问题。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点2：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点3：一次函数的实际应用 用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． · 典型例题 题型1 一次函数图象与参数问题 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m、n的收值范围是（   ） A． ， B． ，C．， D． ， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得，， 故选：B． 题型2 一次函数图象与性质综合 关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 题型3 一次函数图象的平移问题 在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①；②；③；④的图像，说法不正确的是（    ） A．②和③的图像相互平行 B．②的图像可由③的图像平移得到 C．①和④的图像关于y轴对称 D．③和④的图像关于x轴对称 【答案】C 【分析】一次函数的比例系数相等则两直线平行，据此逐一分析即可； 【详解】①由得出；②由得出； 由题意得：②；③比例系数相等； ③；④的比例系数互为相反数， 即②和③的图象相互平行，且②的图像可由③的图像平移得到，③和④的图象关于x轴对称， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 题型4 一次函数的增减性问题 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， ， ， A、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为负数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； B、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； C、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为正数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， 正负不能确定，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； D、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由确定的正负， ，为直线上的三个点， ，，则，该选项合题意； 故选：D． 题型5 待定系数法求解析式问题 1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出三条中线的交点点的坐标，再根据线段垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出三角形三边的垂直平分线的交点，再运用待定系数法即可求解； 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点的坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：， 则该三角形的欧拉线方程为， 故选：C． 题型6 一次函数与方程、不等式问题 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点 P，则下列结论错误的是（     ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．根据图象可直接判断A，B，C，求出与x轴的交点可判断D． 【详解】A．由图象可得直线与的图象交于点， ∴方程的解是，故正确； B．由图象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正确； C．方程组的解是，故选项错误； D．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴时，直线在x轴下方且在直线上方， ∴的解集是，故正确； 故选：C． 题型7 一次函数与图形面积问题 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 题型8 一次函数与几何图形综合问题 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，点是直线上一点，点在线段上，且． (1)求所在直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设，根据，，得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得：， ∴， ∴， ∵点在线段上，且， ∴， ∴， 将代入直线得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵，， ∴， 解得：或， 当时，，即， 当时，，即， ∴点的坐标为或． 题型9 一次函数与实际应用问题 学校为举行社团活动，准备向某商家购买A，B两种文化衫．已知购买3件A 种文化衫和2件B种文化衫需要180元； 购买2件A种文化衫和4件B种文化衫需要200元． (1)求A，B两种文化衫的单价； (2)学校决定向该商家购买A，B两种文化衫共100件（其中A种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，如图所示，设购买A种文化衫m件，根据以上信息，请说明学校按照哪种活动方案购买更划算．    【答案】(1)A种文化衫的单价为40元，B种文化衫的单价为30元 (2)当时，选活动一；当时，两种活动同一划算；当时，选活动二 【分析】此题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系求出两种文化衫的单价． （1）设A种文化衫的单价为x元，B种文化衫的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买A种文化衫m件，则购买B种文化衫件，根据题意可得，设按活动一够买总价为，按活动二够买总价为，分别写出和关于m和函数表达式，再用作差法，得出，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：设A种文化衫的单价为x元，B种文化衫的单价为y元， ， 解得：， 答：A种文化衫的单价为40元，B种文化衫的单价为30元． （2）解：设购买A种文化衫m件，则购买B种文化衫件， 根据题意可得：， 设按活动一够买总价为，按活动二够买总价为， 若按活动一购买， 若按活动二购买，， ∴， 当，即时，活动二划算， 解得：， 当，即时，两种活动同样划算， 解得：， 当，即时，活动一划算， 解得：． 综上：当时，选活动一；当时，两种活动同一划算；当时，选活动二． · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（       ） A．， B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则 C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为 D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为 【答案】B 【分析】根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可． 【详解】解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意； B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意； C. ∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意； 故选B． 2．一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴的交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据一次函数经过点，，求出，的值，即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵一次函数分别与轴，轴交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，即点，，即， ∴一次函数向左平移了个单位长度， ∴直线的解析式为：． 故选：A． 4．已知直线上有两点，点和点，且，则下列说法正确的是（    ） A．n的值可能为 B．y随x的增大而增大 C．图象过第一、二、四象限 D．点可能在函数图象上 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，由点和点，且，可知y随x的增大而减小，可得，图象经过一、二、四象限，从而可得答案． 【详解】解：∵点和点，且， ∴y随x的增大而减小，故选项B不正确，不符合题意； ∴，即，故选项A不正确，不符合题意； 又∵常数项，故图象过第一、二、四象限，选项C正确，符合题意； ∵点在第三象限，图象不经过第三象限，故选项D不正确，不符合题意． 故选C． 5．若、在函数的图象上，则、的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数的性质：，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．根据，y随x增大而减小，再根据，可得出a、b的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∵、，且， ∴　 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形性质，解答本题的关键是寻找点的坐标规律．利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，，的坐标，然后找到点坐标的变化规律，即可求出的纵坐标． 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，是等边三角形， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理 ，，， ， ∴的纵坐标是． 故选：D． 7．如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（    ） A．甲比乙早出发 B．甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C．甲的速度是，乙的速度是 D．乙出发后两人相遇，这时他们离学校 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据函数图象可判断A、D 选项；利用待定系数法可判断B选项；利用速度路程时间，可判断C选项． 【详解】解：A、甲比乙早出发，说法正确，不符合题意； B、设甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，则，解得：， 即甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，说法正确，不符合题意； C、甲的速度是，乙的速度是，说法正确，不符合题意； D、乙出发后两人相遇，这时他们离出发地，说法错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明得到，进而求得点D坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：延长交x轴于点D，    由入射角等于反射角得，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 代入中，得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题） 9．如果一次函数图像经过点，截距为2，那么它的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数的截距以及用待定系数法求一次函数的解析式．用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：写出函数解析式的一般形式；把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出函数解析式． 根据待定系数法即可求解； 【详解】解：∵一次函数图像经过点，截距为2， 故设一次函数解析式为， 将点代入函数解析式，得， 解得， 故此一次函数的解析式为． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 【答案】第一、二、三象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像平移，掌握一次函数图像平移的特征是解题的关键．根据题意可知，对于一次函数，可有，，结合一次函数图像的性质即可获得答案． 【详解】解：∵一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴一次函数的图像经过的象限是第一、二、三象限． 故答案为：第一、二、三象限． 11．若是关于，的二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的定义和一次函数的性质．将代入二元一次方程求出m的值，再把m的值代入，得到一次函数解析式，根据一次函数解析式判定一次函数图象不经过的象限． 【详解】∵是关于，的二元一次方程的一组解， ∴，解得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故答案为：三． 12．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，， ∴一次函数的“特征值”为9． 故答案为：9． 13．已知，且．若设，则m的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的性质以及解一元一次不等式．用含x的代数式表示y，并代入中即可求出x的取值范围，再用含x的代数式表示m，再根据x的取值范围即可求出m的最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 即 又，， ∴当，有最大值为， ∴最大值为． 故答案为：． 14．如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 15．一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．熟练掌握两直线的交点与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 根据二元一次方程的解是两直线的交点坐标的横、纵坐标，数形结合求解作答即可． 【详解】解：由题意和图象可知，方程组的解为， 故答案为：． 16．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象和性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，，所以③正确； 当时，的图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故答案为①③． 17．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有 ． ①；②；③；④当时， 【答案】③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解： 由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，则，故①错误； 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，则，则，故②错误； 由函数图象可知：一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1， ∴，故③正确； 根据图象可知，当时，，故④错误 故答案为：③． 18．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．当气球上升 min时，两个气球的海拔竖直高度差为． 【答案】10或30 【分析】此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．先求出两个函数关系式，再根据两个气球所在位置的海拔相差5米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米；分别列出方程求解即可． 【详解】解：号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升． ， 设2号探测气球解析式为， 过， ， 解得， ， 两个气球的海拔竖直高度差为，分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得： ， 解得； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得： ， 解得． 综上所述，上升了10或后这两个气球相距， 故答案为：10或30． 三、解答题（本大题共4小题） 19．如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点在第二象限内，直线交x轴于点，直线交x轴于点D，且． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求直线的解析式． 【答案】(1)的坐标是， (2) 【分析】本题考查了三角形的面积与一次函数，待定系数求函数解析式的综合应用，正确求得A的坐标是关键． （1）已知P的纵坐标，即可知道的边上的高，利用三角形的面积公式即可求得的面积，进而求得的面积，即可求得A的坐标，利用即可求得m的值； （2）根据，可以得到，则A的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得的解析式； 【详解】（1）， ， 的纵坐标是4， ， ， ， ，即， ， 的坐标是 ， ， 点在第二象限内， （2）， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， 直线的解析式为 20．2022年4月21日新版义务教育课程方案及各科课程标准正式颁布，新的课程标准优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”．某中学计划利用劳动教育课开展烘焙课程，现需要购买课程所需材料，甲、乙两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，五一节期间两家超市进行促销活动，促销方式如下： 甲超市：所有商品按原价打8折． 乙超市：一次购物不超过500元的按原价付款，超过500元后超过的部分打7折． (1)设分别在两家超市购买原价为元的商品后，实付金额为y甲，y乙元，分别写出y甲，y乙与x的函数关系式． (2)促销期间如何选择这两家超市购物更省钱？ 【答案】(1)，； (2)当时，选择甲超市购物更省钱；当时，选择甲超市或乙超市购物均可；当时，选择乙超市购物更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并写出函数关系式是解题的关键． （1）当时，根据“到甲超市购物实付金额原价折扣”，“到乙超市购物实付金额原价超过原价的部分折扣”作答即可； （2）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 与的函数关系式，与的函数关系式为． （2）解：①若： ，， ， 当时，选择甲超市购物更省钱． ②若： 当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，选择甲超市购物更省钱；当时，选择甲超市或乙超市购物均可；当时，选择乙超市购物更省钱． 综上，当时，选择甲超市购物更省钱；当时，选择甲超市或乙超市购物均可；当时，选择乙超市购物更省钱． 21．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． (3)若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为4 【分析】本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ； （3）解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求点的坐标和直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数平移问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数与坐标轴交点坐标求法． （1）把代入，求出，得出直线的解析式为：，把代入直线得：，即可得出点B的坐标；根据平移求出直线的解析式即可； （2）先求出点D的坐标为，得出，设点P的纵坐标为，根据，得出，求出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入直线得：， ∴点B的坐标为； ∵将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线， ∴直线的解析式为：， 即直线的解析式为； （2）解：存在； 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， 设点P的纵坐标为，则， 解得：， 当时，， 解得：， 即此时点P的坐标为； 当时，， 解得：， 即此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 23．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象． (1) ______， ______； (2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当______时，两车恰好相距． 【答案】(1)1；40 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值； （2）由待定系数法求解即可； （3）当时， 先求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可 【详解】（1）解∶ 由图知， ∴． ∵ ， ∴， 故答案为∶1；40； （2）解：设乙车行驶路程与时间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （3）解：当时，设甲车行驶路程与时间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，两车恰好相距， 故答案为：或． 24．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”玩偶，某商场计划购进A和B两款玩偶共50个，经过调查，得知购进1个A款玩偶和购进2个B款玩偶共需200元，购进2个A款玩偶和购进3个B款玩偶共需330元． (1)A，B两款玩偶的进价分别为多少元？ (2)该商场将A款玩偶的售价定为80元，B款玩偶的售价定为100元，且计划购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半(A、B两款都买)，问商场应如何进货才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)A款玩偶的进价是60元，B款玩偶的进价是70元 (2)商场应购进A款玩偶17个，B款玩偶33个，才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为1330元 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式和一次函数的应用等知识，根据题意列方程和函数解析式是解题的关键． （1）设设款玩偶的进价是元，款玩偶的进价是元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设商场应购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半求出a的取值范围，设商场将两款玩偶全部售完后获得的利润为元，再列出w和a的关系式，再利用一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）设款玩偶的进价是元，款玩偶的进价是元． 根据题意，得解得 答：A款玩偶的进价是60元，B款玩偶的进价是70元． （2）设商场应购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个． 购进A款玩偶的数量不少于B款玩偶数量的一半， ，解得 ． 设商场将两款玩偶全部售完后获得的利润为元． 由题意，得． 随的增大而减小． ，且为正整数， 的最小值为17． 当时，取得最大值， 此时． 答：商场应购进A款玩偶17个，B款玩偶33个，才能使这两款玩偶全部售完后获得的利润最大，最大利润为1330元． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$