专题03 整式运算与因式分解（5考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（浙江专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题03 整式运算与因式分解 考点1幂的运算 1．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 6．（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（　　） A．a B．3a C．2a2 D．a3 8．（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 9．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（    ） A． B．a C． D． 考点2 整式的四则运算 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 13．（2023·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）计算：； 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，求的值． 18．（2022·浙江宁波·中考真题）计算：． 19．（2023·浙江宁波·中考真题）计算：． 20．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 21．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点3 因式分解 22．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 24．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 25．（2023·浙江·中考真题）分解因式：． 考点4 利用平方差公式和完全平方公式进行数字规律的探究 26．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 27．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 28．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 考点5 用代数式表示图形面积 29．（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 30．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． (2)当时，该小正方形的面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题03 整式运算与因式分解 考点1幂的运算 1．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键． 4．（2023·浙江·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除法法则依次计算判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟练掌握整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除法法则是解题的关键． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，错误，故不符合要求； D、，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 6．（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A． ，正确，该选项符合题意； B． ，原计算错误，该选项不符合题意； C． ，原计算错误，该选项不符合题意； D． ，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法以及积的乘方、幂的乘方，熟练掌握上述运算法则是解题的关键． 7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（　　） A．a B．3a C．2a2 D．a3 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键． 8．（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可． 【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、原计算错误，故该选项不符合题意； C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项． 【详解】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B选项，原式=a4，故该选项不符合题意； C选项，原式=a6，故该选项不符合题意； D选项，原式=a4，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an=am+n是解题的关键． 10．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 考点2 整式的四则运算 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 12．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 13．（2023·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 14．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，原式计算错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）计算：； 【答案】 【分析】利用平方差公式求解即可； 【详解】解：（1） ； 【点睛】本题考查平方差公式、多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，求的值． 【答案】5 【分析】先将展开化简，然后将整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴原式， ， ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算以及代数求值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 18．（2022·浙江宁波·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了整式的混合运算 19．（2023·浙江宁波·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 20．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解． 【详解】 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键． 考点3 因式分解 22．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】． 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 23．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 24．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 25．（2023·浙江·中考真题）分解因式：． 【答案】 【分析】利用提取公因式法分解因式即可； 【详解】解：（1）； 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 考点4 利用平方差公式和完全平方公式进行数字规律的探究 26．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 27．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 28．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 【答案】(1)③； (2)相等，证明见解析； (3) 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； （3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝； （2）解：相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= （3） 与100a的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9， 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 考点5 用代数式表示图形面积 29．（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项． 【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y， 所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG = =2xy， 所以根据题意，已知条件为xy的值， A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意； B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意； C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意； D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键． 30．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． (2)当时，该小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积； （2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； （2）解：， 当时，． 【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$