1.4 数学归纳法（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 *1.4 数学归纳法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.了解数学归纳法的原理 2.利用数学归纳法证明等式 3.归纳—猜想—证明 情景导入 如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的， 是否判断盒子里面的小球都是绿色的？ 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法. 不完全归纳法得到的结论不一定正确. 在多米诺骨牌游戏中，我们该如何保证所有的骨牌全部倒下？ 要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块滑牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下. 情景导入 1.数学归纳法的概念 新知探究 本章研究了大量与正整数 n 有关的数列问题. 请你尝试解决下列问题： 已知数列满足=1，=，试根据数列的递推关系写出它的通项公式. 我们可算得： 通过对n=1，2，3，4进行归纳，可以猜想数列的通项公式是： 像这样由特殊到一般的推理方法，叫作归纳法. 用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律. 当然，仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是不正确的. 例如“n²+n+11是质数”这个命题对于n=1，2，3，…，9都成立，但当n=10时，10²+10+11=121=11²，是一个合数. 概念归纳 回到求数列的通项公式问题，很自然地想到从n=5开始，逐一往下穷举，但很显然，这个过程无穷无尽，根本无法实施. 因而，我们希望寻找一种方法：通过有限步骤的推理，来证明n取所有正整数都成立. 大家熟悉的“多米诺骨牌效应”或许能给我们以启发. 将骨牌竖立起来摆成一排，并确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.若推倒第一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，以此类推，直到所有骨牌全部倒下. 如何找到这样一种推理方法呢？ 如果把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的,假定能够证明 （1）（奠基）最初的一个命题正确, （2）（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性，那么便证明了这一系列命题的正确性. 第一步奠基, 证明最初一个命题正确，相当于我们已经亲手“推倒第一块骨牌”. 第二步递推, 意味着“每一块倒下的骨牌怎样将下一块骨牌带倒”. 这样一来，无论有多少块骨牌，只要保证（1）和（2）成立，那么所有的骨牌一定都会倒下. 上述事例启发我们，在证明一个与正整数有关的命题时， 可采用下面两个步骤： （1）证明时命题成立； （2）假设时命题成立， 证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道： 对任何从 n。开始的正整数 n，命题成立. 这种证明方法叫作数学归纳法. 概念归纳 注意点： 初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择. (1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3. 典例剖析 C 13 (2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上___________________________. 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时， 等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以在n＝k时的左边应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 14 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 15 练一练 16 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D 17 例 1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d 的等差数列，那么 对一切都成立. 证明 （1）当 n=1 时，左边= ，右边= +0·d= ，等式成立. （2）假设当 n=k时，等式成立，即， 那么，当n=k+1时， 这表明，当n=k+1时，等式也成立. 由（1）和（2）可以断定，等式对一切都成立. 2.利用数学归纳法证明等式 新知探究 课本例题 例 2 用数学归纳法证明： 证明 （1）当n=1时，左边=1²=1，右边=，等式成立. （2）假设当n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1 时， 这表明，当n=k+1时，等式也成立. 课本例题 典例剖析 题型 1　用数学归纳法证明等式问题 例1　用数学归纳法证明 1－＋…＋＝＋…＋(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即1－＋…＋＝＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋…＋ ＝＋…＋ ＝＋…＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立． 概念归纳 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 1.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时，等式也成立． 综上所述，等式对任何n∈N＋都成立． 练一练 (拓展)题型 3　用数学归纳法证明几何问题 例 3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)． 典例剖析 证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立． ②假设n＝k(k≥1)时命题成立． 即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分． 则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. 所以当n＝k＋1时，命题成立． 综合①②可知，对一切n∈N＋，命题成立． 概念归纳 方法总结： 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律． 3.证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)． 练一练 证明：①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)． 当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]. 故n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，对任意n≥4，n∈N＋，命题成立． 我们用数学归纳法证明了前n个正整数的平方和公式 相对于证明，人们往往对等式右边的结论是如何想出来的感到为难. 下面我们来进行探索： 设，可列表如下： 3.归纳—猜想—证明 新知探究 由表中数据，我们可以猜想： n 1 2 3 4 5 ··· n 1 3 6 10 15 ··· 1 5 14 30 55 ··· ？ ··· 下面我们来进行探索： 设，可列表如下： 再看一个例子：前n个正整数的立方和表达式是怎样的？ n 1 2 3 4 ··· n 1 3 6 10 ··· 1 9 36 100 ··· ？ 设 由表中数据，我们可以猜想： 一般来说，上述结论不是由数学归纳法发现出来的，而是通过观察具体实例 “猜想”出来的，然后用数学归纳法来验证这个猜想. 作为练习，试用数学归纳法证明： 典例剖析 题型 2　归纳—猜想—证明 例2　数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N＋)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 解析：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，∴a3＝＝＝，a4＝＝＝. 猜想：an＝(n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当n＝1，2时易知猜想正确． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想正确，即ak＝. 当n＝k＋1时，ak＋1＝＝ ＝＝＝ ＝＝. ∴当n＝k＋1时猜想也正确． 由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都正确． 概念归纳 方法总结： (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 练一练 2.已知数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和Bn＝(n＋1)bn， 求数列{bn}的通项公式． 解析：由已知条件b1＝1，Bn＝(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝b2， ∴b2＝2. B3＝b1＋b2＋b3＝2b3， ∴b3＝3. B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝b4， ∴b4＝4. 由此猜想：bn＝n(n∈N＋)为数列{bn}的通项公式． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，b1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立． 即bk＝k，则当n＝k＋1时， bk＋1＝Bk＋1－Bk＝(k＋1＋1)bk＋1－(k＋1)bk， 整理得bk＋1＝·bk＝k＋1， 即当n＝k＋1时，bk＋1＝k＋1. 由(1)(2)知，对任意n∈N＋，都有bn＝n. 练一练 2.已知数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和Bn＝(n＋1)bn， 求数列{bn}的通项公式． 1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加（ ） 随堂练 2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（ ） A.3k－1 B.3k＋1 C.8k D.9k B C 3.以下是一个证明的全部过程：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立.因此等式对于任何n∈N＋都成立. 则用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为____________________________. 缺少当n＝1时命题成立的证明 随堂练 4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，等式为___________________________________________________. 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 随堂练 ( ) 1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( ) A.1 B.1＋2 C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23 分层练习-基础 D B A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2(k＋2)时等式成立 分层练习-基础 ( ) B 4.如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝ n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于（ ） A.a＝1，b＝3 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝2 D.a＝2，b＝3 分层练习-基础 D 5.若等式A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时等式也成立.现知等式对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有( ) A.等式对所有正整数都成立 B.等式对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.等式对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数 都成立 D.以上说法都不正确 分层练习-基础 C 分层练习-基础 ( ) D 7.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，左边＝右边，等式成立. ②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1， 所以当n＝k＋1时，等式成立. 由此可知，对任何n∈N＋等式都成立.上述证明的错误是______________ ___________. 没有用归纳假 设进行递推 分层练习-基础 8.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是______________________________. f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 分层练习-基础 9.用数学归纳法证明： 等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立， 那么当n＝k＋1时，有 分层练习-基础 10.设a>0，f(x)＝ ，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； 分层练习-基础 因为a1＝1，an＋1＝f(an)， (2)用数学归纳法证明你的结论. 分层练习-基础 ①易知当n＝1时，等式成立； 即当n＝k＋1时，等式也成立. 11.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是( ) A.p(k)对k＝528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 分层练习-基础 A、D 12.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是( ) 分层练习-基础 D 分层练习-基础 14.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋ 成立，那么a＝____，b＝_____，c＝_____. 15.用数学归纳法证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N＋)是31的倍数，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________. 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋…＋25k＋4 分层练习-拓展 16.设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值； 令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； 由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. 分层练习-拓展 (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法加以证明. 由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(n)＝n2成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时f(n)＝n2也成立， 由①②可知，f(n)＝n2对一切n∈N＋都成立. 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念. (2)用数学归纳法证明等式. (3)“归纳—猜想—证明”问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：①是对n0取值的问题易出错； ②是增加或减少的项数易出错. 1.对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，左边＝，右边1＋1，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝ ＜＝＝(k＋1)＋1， A. 　　　　B.π 　　　　C. 　　　　D.2π 2.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为 A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证 6.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则 A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ …＝(n≥2，n∈N＋). (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边. 即…＝. …＝＝· ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋). 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， 由①②知，an＝对一切n∈N＋都成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝ ＝＝＝， A.2k＋2 B.(2k＋1)(2k＋2) C. D. 13.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，  f(2k＋1)－f(2k)＝______________________. ＋＋…＋ $$