22.2 相似三角形的判定（第3课时 用边角的关系判定三角形相似）（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册 第二十二章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第三课时 用边角的关系判定三角形相似 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理2-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2.理解相似三角形判定定理2的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题； 3.经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法； 4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣. 情景导入 旧知回顾 相似三角形的定义是什么？ 判定两个三角形相似，你有哪些方法？ 相似三角形定义： 三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． 判定两个三角形相似方法： 通过定义(不常用)； 通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)； 判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似(不需要边的条件、使用灵活)． 有两边对应成比例的两个三角形相似吗?为什么？ 3 3 5 5 不相似 观察这两个三角形，它们是否相似？ 观察与思考 3 3 5 5 相似 观察下列两个三角形，你认为它们是否相似呢？ 类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件用以判定两个三角形相似？ 1.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 新知探究 证明：在△ABC的边AB上，截取AD＝A′B′， 例1.已知，如图，在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A， ＝ .求证：△A′B′C′∽△ABC. 过点D作BC的平行线DE交AC于E， 则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵ ＝ ，AD＝A′B′， A′ E D B C C′ B′ A ∵∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′(SAS)， ∴△A′B′C′∽△ABC. ∴ ＝ . ∵ ＝ ， ∴ ＝ ，A′C′＝AE. A′ E D C C′ B′ A 由此可以得到判定三角形相似的定理2，你能用自己的语言总结一下吗？ 概念归纳 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．(简称：两边成比例且夹角相等的两三角形相似．) 三角形的判定定理2： 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 又 ∠A′ = ∠A=45°， 例2.根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： (1)AB=5，AC=3 ，∠A=45°, A'B'=10, A'C'=6, ∠A=45°; 解：(1)∵ = = , = = , ∴ = ∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 典例剖析 解：（2）∵∠B=180°- ∠A-∠C=45° ∴∠B=∠B'=45°. (2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°,∠B'=45° . ∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： (1)AB=5，AC=3 ，∠A=45°, A'B'=10, A'C'=6, ∠A=45°; 1. 如图，已知△ ABC ，则下列图中与△ ABC 相似的是 (　C　) C A B C D 练一练 2. 如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 DE 与 BC 不平行.下列条件中，能判定△ ADE 与△ ACB 相似的 是(　A　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 练一练 3. 如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E 分别在 AC ， AB 上，且 AD ∶ AC ＝1∶3， AE ＝ BE ，则有(　B　) A. △ AED ∽△ BED B. △ AED ∽△ CBD C. △ AED ∽△ ABD D. △ BAD ∽△ BCD B 练一练 4. 如图，在边长为1的正方形网格中，由 P ， A ， B ， C 四 点所形成的三角形中，相似的是 ⁠. △ APB ∽△ CPA 　 练一练 5.如右图， △ADE与△ABC都是等腰三角形，AB=AC， AD=AE， ∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， 又 ∵∠DAB = ∠CAE， A B C D E ∴ AD =AE，AB = AC， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. ∴ = 练一练 6. [2023·北京月考]如图，已知点 B ， C 在线段 AD 上，且 AB ＝9， CD ＝4，△ PBC 是边长为6的等边三角形.求证：△ ABP ∽△ PCD . 证明：∵△ PBC 是边长为6的等边三角形， ∴ PB ＝ PC ＝6，∠ PBC ＝∠ PCB ＝60°， ∴∠ ABP ＝∠ PCD ＝180°－60°＝120°. ∵ AB ＝9， DC ＝4，∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴△ ABP ∽△ PCD . 练一练 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′， 这两个三角形一定会相似吗？ A B C A′ B′ B″ C′ 不会，如右图所示，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. 观察与思考 概念归纳 注：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 例2.如图，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 【点拨】要证△ADQ∽△QCP，我们通过观察可以发现两个三角形已具备一角对应相等，即∠D＝∠C，此时，可再寻求此对等角的两对邻边对应成比例． 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的应用 新知探究 A B D C Q P 证明：设正方形的边长为a. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC＝CD＝a. ∵Q是CD的中点，∴DQ＝QC＝ a. ∵BP＝3PC，∴PC＝ a， ∴△ADQ∽△QCP. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . A B D C Q P 7. 【新情境题】[2024·合肥月考]如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成.利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上， 使螺丝钉固定在刻度3的地方(即 OA ＝3 OC ， OB ＝3 OD )，然后张开两脚，使 A ， B 两个尖端 分别在线段 a 的两个端点上，当 CD ＝1.8 cm时， AB 的长为 ⁠cm. 5.4　 练一练 8. [2024·六安霍邱模拟]如图，在△ ABC 中， D 是边 AB 上一 点，且 AD ＝2， AB ＝6， AC ＝2　 ， CD ＝5，求 BC 的长. 解：∵ AD ＝2， AB ＝6， AC ＝2 ， CD ＝5， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ACD ∽△ ABC ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 BC ＝5 . 解：∵ AE=1.5，AC=2， 9.如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 注意：解题时一定要找准对应边. 练一练 24 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. A B C D 10.如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ， 求证 ∠ACB=90°． ∵ 总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 练一练 课本练习 1.（1）在△ABC 中，∠A = 48°，AB = 1.5 cm，AC = 2 cm； 在△DEF 中，∠E = 48°，DE = 2.8 cm，EF = 2.1 cm. 问这两个三角形相似吗？为什么？ （2）在△ABC 中，∠A =120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm； 在△DEF 中，∠D = 120°，DE = 3 cm，DF = 6 cm. 问这两个三角形相似吗？为什么？ 2.在Rt△ABC中，两直角边分别为3 cm，4 cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25 cm，一条直角边为15 cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么？ 解：相似.理由如下： 因为在Rt△ABC中，两直角边长分别为3cm，4cm，所以斜边长为5cm，于是有 ，即两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，所以它们相似. D 1. 如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则应添加的条件可以是(　　) 分层练习-基础 29 B 2. [2024·北京四中月考]如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且AD : AC＝1 : 3，AE＝BE，则有(　　 ) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD 30 【点拨】 B 3. 若在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°， ，则∠B的度数是(　　) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 32 ①②③ 4. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的有__________(请填写序号). ①∠D＝∠B； ②∠C＝∠AED； 33 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝ ，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系； 34 返回 (2)求∠ABD的度数. 35 D 36 【点拨】∵点D是AB的中点， 又∵ ，BC＝2，∴DE＝1. ∵在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4，∠C＝60°. 分两种情况讨论： ①如图①，当∠ADE＝90°时， ∵∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. 又∵AC＝4，∴AE＝2. ②如图②，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH. ∵点D是AB的中点，点H是AC的中点， ∴DH是△ABC的中位线. ∴DH∥BC，DH＝ BC＝1. ∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1. ∴△DEH为等边三角形. ∴∠DEH＝60°. ∴∠ADE＝60°－30°＝30°＝∠A. ∴AE＝DE＝1. 综上所述，AE的长为1或2. 故选D. 7. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若________，则△ABD∽△A′B′D′. 请从 ；③∠BAD＝∠B′A′D′，这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明. 分层练习-巩固 39 8. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G. (1)求证：△ABE∽△DEF； 41 42 (2)若正方形的边长为4，求BG的长. 43 9. [2023·龙东地区]如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH. 易证：FH＝ FG. 若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°,如图③,其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系， 写出你的猜想，并利用图②、 图③进行证明. 分层练习-拓展 44 对应成比例 相等 相似 48° 课堂反馈 C C 课堂反馈 利用两边及夹角判定三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 A. ＝ B. ＝ C. CD2＝AD·DB D. AC2＝AD·AB 设等边三角形ABC的边长为3A. 根据题意可知AE＝a，AD＝a，CD＝2a，∴＝＝，＝＝. ∴＝. 又∵易知∠A＝∠C＝60°，∴△AED∽△CBD. 故选B. ＝ ③＝； ④＝. 【解】∵AD＝BC，BC＝，∴AD＝. ∵AC＝1，∴CD＝1－＝. ∴AC·CD＝1×＝. ∵AD2＝()2＝，∴AD2＝AC·CD. 【解】∵AD＝BC, AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即＝. 又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB. ∴＝，∠DBC＝∠A. ∴＝＝1. ∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD, ∠C＝∠BDC. 设∠A＝x，则∠DBC＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠C＝2x. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°，即∠ABD＝36°. 6. [2023·徐州]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点. 若点E在边AC上，且＝，则AE的长为(　　) A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 ∴＝. ＝ ∴＝＝. ①＝；②＝ 【解】选①. 证明：∵△ACD∽△A′C′D′， ∴∠ADC＝∠A′D′C′，＝. ∴∠ADB＝∠A′D′B′. ∵＝，∴＝. ∴＝. ∴△ABD∽△A′B′D′. (答案不唯一) 【证明】∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝DC，∠A＝∠D＝90°. ∵AE＝ED，∴＝. ∵DF＝DC，∴＝. ∴＝，即＝. ∴△ABE∽△DEF. 【解】∵四边形ABCD为正方形，∴DE∥CG. ∴∠EDF＝∠GCF，∠DEF＝∠CGF. ∴△DEF∽△CGF. ∴＝. ∵DF＝DC，AE＝DE，正方形的边长为4， ∴DE＝2，＝＝. ∴CG＝6. ∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10. 【解】①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，FH＝FG. 证明：如图①，连接AH，CE，AF. ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝ ∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点， ∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH＝CH＝BC，AF＝EF＝DE. ∴∠CAH＝∠EAF＝45°. ∴∠HAF＝∠EAC. 易得＝＝. ∴△AHF∽△ACE. ∴＝＝. ∴CE＝FH. ∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. ②当∠BAC＝∠DAE＝120°时，FH＝FG. 证明：如图②，连接AH，CE，AF. ∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，　 ∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°. ∵点F，H分别是DE，BC的中点， ∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝×120°＝60°. ∴∠HAF＝∠EAC，＝＝. ∴△AHF∽△ACE. ∴＝＝. ∴CE＝2FH. ∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. 相似三角形的判定定理2 两边 且夹角 的两个三角形相似． 自我诊断1. 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝3，BC＝4，A′B′＝1.5，B′C′＝2，∠B＝∠B′，则△ABC与△A′B′C′的关系是 ；若∠A＝48°，则∠A′＝ . 易错点1: 忽视“夹角”与“有一个角”的区别导致错解． 自我诊断2. 如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是(　　) 易错点2: 忽视“夹角的两边对应成比例”与“两边对应成比例”的区别． 自我诊断3. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　) A.eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,AE)　　　　　　　 B．eq \f(AC,AD)＝eq \f(BC,DE)　　　　　　　 C．eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,DE)　　　　　　　 D．eq \f(AC,AD)＝eq \f(BC,AE) $$