专题2.2 直线的方程（8类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.2 直线的方程 【考点1：点斜式方程】 1 【考点2：斜截式方程】 2 【考点3：两点式方程】 3 【考点4：截距式方程】 4 【考点5：一般式方程】 5 【考点6：直线过定点问题】 6 【考点7：两条直线平行的判定及应用】 8 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】 9 【考点1：点斜式方程】 【知识点：点斜式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，若点在线段AB上，求的最大值． 【考点2：斜截式方程】 【知识点：斜截式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 【考点3：两点式方程】 【知识点：两点式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【考点4：截距式方程】 【知识点：截距式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 1．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 3．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 6．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【考点5：一般式方程】 【知识点：一般式方程】 一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 3．（2024高二上·甘肃定西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 4．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 【考点6：直线过定点问题】 【知识点：直线过定点问题】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 2．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 3．（2024高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限. 4．（2024高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 5．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【考点7：两条直线平行的判定及应用】 【知识点：两条直线平行的判定及应用】 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线与直线平行，则 ． 5．（2024高二上·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l经过点，且与经过，两点的直线平行，求直线l的方程． 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】 【知识点：两条直线垂直的判定及应用】 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 2．（2024高二下·上海静安·阶段练习）设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 4．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 5．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线的方程 【考点1：点斜式方程】 1 【考点2：斜截式方程】 3 【考点3：两点式方程】 5 【考点4：截距式方程】 7 【考点5：一般式方程】 10 【考点6：直线过定点问题】 13 【考点7：两条直线平行的判定及应用】 15 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】 17 【考点1：点斜式方程】 【知识点：点斜式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论. 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线互相垂直求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，若点在线段AB上，求的最大值． 【答案】7 【分析】先求出线段的方程，即，，代入，由函数单调性求最值. 【详解】依题意，得， 所以线段：，，即，， 故，． 设，易知在上单调递增， 故当时，取最大值． 所以的最大值为7. 【考点2：斜截式方程】 【知识点：斜截式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果. 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 2．（23-24高一下·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角大小. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，所以． 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 【答案】． 【分析】根据的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意知为直线在轴上的截距． 如图，当直线过点和点时，分别取得最小值和最大值． 所以的取值范围是．    【考点3：两点式方程】 【知识点：两点式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件作出图形，利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】由题意可知，作出图形如图所示 直线过， 其两点式方程为，整理，得， 这就是边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【考点4：截距式方程】 【知识点：截距式方程】 形式 几何条件 方程 适用范围 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 1．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 3．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 【分析】设直线方程的截距式，表示出三角形的面积，再结合基本（均值）不等式求面积的最值. 【详解】设直线方程为：，因为直线过点，且直线斜率小于， 所以，且，. 所以 ， 当且仅当，即，时取等号 故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 6．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 【考点5：一般式方程】 【知识点：一般式方程】 一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线化为斜截式，得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意可知化为，，，. 故选：C. 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】显然直线依然过定点，故只需得出只需的倾斜角，以此来判断斜率即可得解. 【详解】直线方程为，它的倾斜角为，绕点顺时针旋转，即绕点顺时针旋转，得到直线， 则直线依然过定点，且直线与轴负半轴夹角为，这意味着的倾斜角为，这表明的斜率小于0， 所以不过第三象限. 故选：C. 3．（2024高二上·甘肃定西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）即为边所在直线的一个方向向量； （2）求出线段的中点坐标，再求出的斜率，即可得到所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，，所以边所在直线的一个方向向量为； （2）设线段的中点为，则点，即， 又，所以边的中垂线的斜率， 则可得中垂线的方程为， 整理得边的中垂线的一般式方程是. 4．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）分类讨论直线斜率是否存在，求得，，即可得面积，换元结合二次函数可得最大值. 【详解】（1）由题意可设、，且、． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或，， 当，即，时，， 即，则， 此时、符合题意． 综上，． 【考点6：直线过定点问题】 【知识点：直线过定点问题】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 3．（2024高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限. 【答案】二 【分析】 根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】直线方程可变形为：， 由，求得， 直线过定点，因此直线必定过第二象限， 故答案为：二. 4．（2024高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 5．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先判断直线经过定点，设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得； （2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 【考点7：两条直线平行的判定及应用】 【知识点：两条直线平行的判定及应用】 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 2．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】代入，可得两直线为同一直线，可得结果. 【详解】当时， 直线即直线， 直线即直线， 所以两直线重合，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线平行，通过分类讨论即可得出的值. 【详解】由题意， 直线与直线平行， 当时，直线与直线不平行，舍去， 当时，，解得：， 综上，. 故答案为：. 5．（2024高二上·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 【答案】2或/或2 【分析】根据两直线平行得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线平行，则， 即，解得或. 当或时两直线不重合，满足题意， 所以或. 故答案为：2或 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l经过点，且与经过，两点的直线平行，求直线l的方程． 【答案】． 【分析】先根据两点求斜率，再根据平行求出直线l的斜率，最后应用点斜式写出方程即可. 【详解】当直线与直线平行时，，则直线的斜率为 此时直线的方程为，即． 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】 【知识点：两条直线垂直的判定及应用】 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 【答案】B 【分析】由两直线垂直直接计算. 【详解】由两直线垂直可知， 解得或， 故选：B. 2．（2024高二下·上海静安·阶段练习）设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由题可知当直线时，点与直线的距离最大，即求直线方程. 【详解】当直线时，点与直线的距离最大， 此时直线的斜率为， 所以直线的斜率为. 所以此时的方程为,即为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 4．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 5．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$