5.5课时2 用二次函数解决问题 讲义（知识梳理+例题巩固+强化训练）2024—2025学年苏科版数学九年级下册

§5.5课时2 用二次函数解决问题 讲义 （知识梳理+例题巩固+强化训练） 知识模块1 知识回顾 1、一次函数与一元一次方程应用： 2、一次函数与二元一次方程应用： 知识点1：建立二次函数模型解决实际问题 利用二次函数知识解决实际问题，有时必须建立直角坐标系，建立直角坐标系时，要遵循以下两个原则： 所建立的直角坐标系要使求出的二次函数的关系式较简单； 已知点的位置建立坐标系后，根据题意，建立变量与变量之间的函数关系，设出适当的关系式，然后利用待定系数法求出未知量，从而得到表达式。建立直角坐标系是解决这类问题的关键，可以以已知的一部分作为一个坐标轴，以它的垂直平分线作为另一个坐标轴，使图形关于坐标轴对称，可使计算较为简便。 【典型例题1】 1.（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【典型例题2】 2.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【典型例题3】 3.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，米，米，抛物线的顶点到的距离是米，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）已知从某时刻开始的小时内，水面与河底的距离（单位：米）随时间（单位：时）的变化满足函数关系（），且当水面到顶点的距离不大于米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这时段内，需多少小时禁止船只通行？ 【典型例题4】 4.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度． 1.如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝　　m时，羊圈的面积最大． 2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围． 3.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱项部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 4.掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为，如图2所示．掷出时，测得起点处高度，竖直高度，水平距离．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 5.如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（    ） A． B． C． D． 6.2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　　米． 7.某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（　　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 8.如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（　　） A．20米 B．15米 C．10米 D．8米 知识模块2 知识点2：二次函数应用与其他问题相结合 【典型例题1】[来源:学§ 1.如图所示，在中，，厘米，．点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，当点运动到点时停止，点也同时停止．    （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于平方厘米？ （2）如果点，分别从点，同时出发，问第几秒时，四边形的面积最小？其最小面积为多少？ 【典型例题2】 2.如图，在矩形中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动，设P、Q两点运动的时间为x秒，的面积为S（平方单位）． (1)点P、Q从出发到相遇所用的时间是________秒； (2)当时，求S与x之间的函数关系式； (3)当（2）的条件下，x为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【典型例题3】 3.如图，在四边形中，，，，，．动点、都从点同时出发，点沿方向做匀速运动，点沿方向做匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点以速度运动，点以的速度运动，连接、，那当时间为几秒时，的面积为．        【典型例题4】 4.“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离 0 1 2 竖直高度 0 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________，最大竖直高度为_________； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆． 【典型例题5】 5.跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米． (1)求抛物线C2的函数解析式； (2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； (3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 1.如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)． (1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积． ． 2.．如图，中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动． (1)求运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于？若能，求出运动时间；若不能； (3)是否存在某个时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出运动时间，若不能，说明理由 3.如图，在中，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t 秒，请解答下面的问题． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 4.2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 5.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 7.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　） A． B．5m C． D．6m 8.“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$