第15讲 相似三角形的应用举例（2大考点7大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第15讲 相似三角形的应用举例 课程标准 学习目标 了解相似三角形的性质定理”：相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方． 1、学会相似三角形性质； 2、体会灵活运用相似三角形性质解决实际问题． 知识点一：相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 知识点二：相似三角形的应用 (1)利用影长测量物体的高度 ①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法:在同-时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度； (2)利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A型或“x”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法:通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度； (3)借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型01 灯光下的测量问题 1．如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡O距离地面，则地面上阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 2．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为 ． 4．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 题型02 灯光下的标杆测量 5．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ） A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米 6．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 7．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明利用光沿直线传播的知识，在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A．m B．m C．6m D．m 9．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 10．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 题型03 利用镜子进行测量 11．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    12．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 13．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 14．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 15．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    题型04 利用视线进行测量 16．如图，在池塘外取一点，使它可以直接看到，两点，连接并延长，，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，且测量得的长度为50米，则，两点的距离是（    ） A．110米 B．100米 C．50米 D．25米 17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于 ． 19．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 20．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 21．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    题型05 古典文化中的测量问题 22．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 23．孙子算经中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺别立一表，长一尺五寸，影得五寸问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于尺，另外再有一根标杆，杆长尺，量得标杆的影子为尺，则木杆的长为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 24．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（     ）    A． B． C． D． 25．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为 ． 26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 27．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 28．如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为 m． 题型06 光学成像中的测量问题 29．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A． B． C． D． 30．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛与纸筒的距离为（    ）      A． B． C． D． 31．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 32．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为（　　）    A．10cm B．8cm C．12cm D．9cm 33．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． , 的高为,为,为, ， 故答案为： 34．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ． 35．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 36．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 题型07 其它实际测量问题 37．如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 38．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 39．如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 40．如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 41．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 42．图1是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2所示，则水面宽度（    ） A． B． C． D． 43．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 44．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 2．土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为 ． 5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 8．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 13．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 14．综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 15．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 16．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 2．土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为 ． 5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 8．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 13．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 14．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 15．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 试卷第2页，共37页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 相似三角形的应用举例 课程标准 学习目标 了解相似三角形的性质定理”：相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方． 1、学会相似三角形性质； 2、体会灵活运用相似三角形性质解决实际问题． 知识点一：相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 知识点二：相似三角形的应用 (1)利用影长测量物体的高度 ①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法:在同-时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度； (2)利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A型或“x”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法:通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度； (3)借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型01 灯光下的测量问题 1．如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡O距离地面，则地面上阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形判定和性质，证明，得到，进一步求出，根据圆面积即可求出答案． 【详解】解：如图，设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即地面上阴影部分的面积为． 故选：C． 2．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 4．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 题型02 灯光下的标杆测量 5．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ） A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米 【答案】B 【详解】如图： ∵CD∥BE， ∴△ACD∽△ABE， ∴AC：AB=CD：BE， ∴1：4=1.5：BE， ∴BE=6m． ∴树的高度为6m． 故选B. 6．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， ∴， 解得：， ∴窗户的高为， 故选：D． 7．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于点E，根据题意，，得到矩形,继而得到，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，根据题意，得， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据同一时刻，物高与影长成正比， ∴即， 解得， ∴． 故选C． 8．如图，小明利用光沿直线传播的知识，在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A．m B．m C．6m D．m 【答案】B 【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得，即，代入数据可得答案．本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，，； ，， ， ∴， ，即， 解得． 故选：B． 9．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高． 【详解】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解． 10．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)旗杆的高度约为10米 (2)不可以．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用： （1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可； （2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度． 【详解】（1）解：由题意，可知． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴（米）． 答：旗杆MN的高度约为10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可） 题型03 利用镜子进行测量 11．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    【答案】16 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 12．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证，根据相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， ，，， ， 解得：， 答：建筑物的高度为． 故答案为：． 13．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 14．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 15．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型04 利用视线进行测量 16．如图，在池塘外取一点，使它可以直接看到，两点，连接并延长，，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，且测量得的长度为50米，则，两点的距离是（    ） A．110米 B．100米 C．50米 D．25米 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形相似的应用，根据相似形的判定定理判断出和相似，再根据三角形相似的性质解答即可． 【详解】解：∵和中，，且， ∴， ∴， 又∵米， ∴米． 故选：B． 17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．首先利用勾股定理计算出长，再证明，由相似三角形的性质可得，求出长，进而可得答案． 【详解】解：在中，，即， ， 由题意得：，， ， ， ，，， ， 解得， ， 18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于 ． 【答案】 【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得． 【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC ∴△ABE∽△DCE ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 20．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 21．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ， ， 根据题意得，，，， ， 答：的大致距离为． 题型05 古典文化中的测量问题 22．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A，C，D不正确，B正确， 故选：B． 23．孙子算经中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺别立一表，长一尺五寸，影得五寸问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于尺，另外再有一根标杆，杆长尺，量得标杆的影子为尺，则木杆的长为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺， ∴， 解得， 故选：D． 24．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 25．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：过点作于点延长交于点， ∴ 由题意得 ∴， ∴，， ∴即， ∴， 故答案为：． 26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】2.6 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 27．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 28．如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 光学成像中的测量问题 29．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：B． 30．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛与纸筒的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，得到相似比，即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C．    31．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 32．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为（　　）    A．10cm B．8cm C．12cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到，然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高． 由题意可得，， ∴． 即物体的高为， 故选：A． 33．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 34．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可得，，证得，，可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ，， ，， ①+②得，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9． 35．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答． 【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F， 因为， 所以，，米， 设， 则，即， 解得：， 米， 故答案为：6． 36．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，先证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，然后再证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ，， ， ， ， ∵， ，， ， ， ， 解得：， 像高为， 故答案为：12． 题型07 其它实际测量问题 37．如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 38．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 39．如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 40．如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 41．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 42．图1是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2所示，则水面宽度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设水面宽度，得出，由三角形相似的性质可得，即可求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：设水面宽度， 如图， ， 由题意得：， ， ， 解得：， 水面宽度， 故选：C． 43．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 44．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 2．土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由圆锥的圆锥体底面半径是，高是，可得，根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度cm，则cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高，在上取点E，过点E作于点D，则cm， cm， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度cm，则cm， ∴， ∴， 解得：， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故答案为：3cm． 5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 【答案】树的高度为10.3米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点作于点，延长交于点，则，证明，可得，求得，进而可求得． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解之，得． ， 答∶树的高度为10.3米． 6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 【答案】21.6米 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案． 【详解】解： 光线 设，则 过点作，交于点，交于点 ，， 四边形为矩形 ， 解得： 答：汉武大帝雕像的高为米. 7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是12米． 【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似． 【解答】延长交的反向延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 答：河宽是12米． 8．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用． （1）根据题意得到，，证明，，分别得到①，②，两式相加，即可得出结果； （2）同理（1）解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴② ∴①②得，， ∴解得； （2）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴②， ∴①②得， ∴． 9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)树叶缝隙到光斑中心的距离， 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，证明，，则，，进而结论得证； （2）由（1）中可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可得太阳的直径可表示为． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）中可知，记光斑的直径为，太阳的直径可表示为，地球到太阳的距离为， ∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离， ∴，太阳的直径可表示为， 故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离， ． 11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 13．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 14．综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】任务1：，理由见解析；任务2：②号“”的测量距离为；任务3：镜长至少为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答； 任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； 任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：任务1：， 理由如下：， ， ，即； 任务2：，且，，， ， ， ②号“”的测量距离为； 任务3：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于，交于， ， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 15．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为； (3)矩形的长为，宽为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； （3）解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 16．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2倍 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是： （1）①根据图像直接回答；②根据图像得到，，可得，，得到，，等量代换可得，整理得：，继而得到，可得结果； （2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得，则，代入数据得到，变形整理可得结果． 【详解】（1）解：①当时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像； ②由图可知：，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即物体成像时放大了2倍； （2）由光路图可得：，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 2．土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由圆锥的圆锥体底面半径是，高是，可得，根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度cm，则cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高，在上取点E，过点E作于点D，则cm， cm， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度cm，则cm， ∴， ∴， 解得：， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故答案为：3cm． 5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 【答案】树的高度为10.3米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点作于点，延长交于点，则，证明，可得，求得，进而可求得． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解之，得． ， 答∶树的高度为10.3米． 6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 【答案】21.6米 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案． 【详解】解： 光线 设，则 过点作，交于点，交于点 ，， 四边形为矩形 ， 解得： 答：汉武大帝雕像的高为米. 7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是12米． 【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似． 【解答】延长交的反向延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 答：河宽是12米． 8．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用． （1）根据题意得到，，证明，，分别得到①，②，两式相加，即可得出结果； （2）同理（1）解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴② ∴①②得，， ∴解得； （2）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴②， ∴①②得， ∴． 9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)树叶缝隙到光斑中心的距离， 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，证明，，则，，进而结论得证； （2）由（1）中可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可得太阳的直径可表示为． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）中可知，记光斑的直径为，太阳的直径可表示为，地球到太阳的距离为， ∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离， ∴，太阳的直径可表示为， 故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离， ． 11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 13．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 14．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为； (3)矩形的长为，宽为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； （3）解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 15．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2倍 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是： （1）①根据图像直接回答；②根据图像得到，，可得，，得到，，等量代换可得，整理得：，继而得到，可得结果； （2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得，则，代入数据得到，变形整理可得结果． 【详解】（1）解：①当时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像； ②由图可知：，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即物体成像时放大了2倍； （2）由光路图可得：，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共37页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$