第16讲 正切、余切及其特殊角的锐角三角比的值（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第16讲 正切、余切及其特殊角的锐角三角比的值（八大题型） 学习目标 1、掌握正切、余切的概念； 2、会求锐角的正切、余切的值； 3、知道特殊角的锐角的正切、余切的值。 4、掌握锐角的三角比综合（意义、求值等） 一、直角三角形中30°角的性质（续） 二、锐角的三角比—正切、余切 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与邻边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠DAC、∠EAC的对边与邻边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正切记作tanA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余切记作cotA, 由正切、余切的意义可以得到， Ⅴ、 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1(理由上一讲已学)。 锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1. 3、 锐角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦、正切、余切（含上一讲） Ⅰ、模型引入 Ⅱ、特殊角的三角比值 　　　利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 cot 30° 45° 1 1 60° 【方法规律】 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) 　 　　②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． Ⅲ、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系： Ⅳ、一些非数学专业术语，通俗的理解或记忆方法 ①核心思想：画直角三角形模型 ②在（锐角三角比的）比值中正、余定分子，弦、切定关系。 Ⅴ、边、角互化 以锐角A的正切为例， 在我们学习了特殊角的锐角三角比之后，它应该改成一个双向箭头（即互推关系） 所以 【即学即练1】中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【即学即练2】在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】填空： ； ； ， ． 【即学即练4】满足的锐角的度数是 ． 【即学即练5】在中，，，，那么 ． 题型1：正切、余切的概念 【典例1】．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【典例2】．在中，C=90°，tan A =3，tanB= 【典例3】．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 【典例4】．已知在中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么tanA= 【典例5】．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型2：正切、余切的特殊角的三角比的值 【典例6】．在中，，，，求，和的值． 【典例7】．计算：． 【典例8】．计算：． 【典例9】．计算：． 【典例10】．计算：． 【典例11】．计算： 题型3：已知正切、余切的特殊角的三角比的值，求该角 【典例12】．如果，那么锐角 度． 【典例13】．在中，若，则 ． 【典例14】．已知锐角满足， 则锐用的度数为（        ） A． B． C． D． 【典例15】．李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 题型4：判断三角形的形状 【典例16】．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 【典例17】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 题型5：已知一个锐角三角比的值，求另一个三角比的值 【典例18】．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A=，那么cot∠A= ． 【典例19】．在RtΔABC中，∠，，那么的值为 ． 题型6：比较大小关系 【典例20】．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【典例21】．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【典例22】．已知实数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例23】．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型7：锐角三角比之间的关系及综合辨析 【典例24】．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例25】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例26】．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例27】．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例28】．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例29】．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 题型8：用计算器计算锐角的三角比 【典例30】．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【典例31】．若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【典例32】．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【典例33】．利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 【典例34】．用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ． 【典例35】．运用计算器进行计算，按键顺序如下  ，则计算器显示的结果是 ． 一．选择题 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（　　） A． B． C． D． 2．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（　　） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 C．都没有变化 D．都不能确定 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列三角比的值是的是（　　） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（　　） A．a•tanα B．a•cotα C． D． 6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则下列各式中正确的是（　　） A．sinA＝ B．cotA＝ C．cosB＝ D．tanB＝3 9．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C 的对边，那么下列结论中错误的是（　　） A．a＝bcotA B．a＝csinA C． D．b＝atanB 10．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 11．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 12．下列各式中正确的个数是（　　） ①②tan60°＝cot30°③④． A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题 13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则∠A的余切值为 　 　． 14．在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，则cotA＝　 　． 15．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA＝　 　． 16．在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，tanA＝，那么AC＝　 　． 17．在△ABC中，∠C＝90°，如果cotA＝3，AC＝6，那么BC＝　 　． 18．tan45°+cos60°＝　 　． 19．计算：＝　 　． 20．用min{a、b、c}表示这三个数中最小的数，则min{sin30°、cos45°、tan30°}＝　 　． 三．解答题 21．计算：． 22．计算：． 23．计算：+cot260° 24．计算：． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，求tanB的值． 26．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA． 27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值． 28．如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且，求sinα． 29．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求： （1）tanC的值； （2）sinA的值． 30．已知△ABC中，∠C＝90°，记x＝tanA+，y＝tanB+． （1）若xy为有理数，且tan2A为小于20的正整数，求tanA的值； （2）是否存在△ABC，使得x，y皆为有理数？若存在，求出tanA的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 正切、余切及其特殊角的锐角三角比的值（八大题型） 学习目标 1、掌握正切、余切的概念； 2、会求锐角的正切、余切的值； 3、知道特殊角的锐角的正切、余切的值。 4、掌握锐角的三角比综合（意义、求值等） 一、直角三角形中30°角的性质（续） 二、锐角的三角比—正切、余切 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与邻边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠DAC、∠EAC的对边与邻边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正切记作tanA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余切记作cotA, 由正切、余切的意义可以得到， Ⅴ、 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1(理由上一讲已学)。 锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1. 3、 锐角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦、正切、余切（含上一讲） Ⅰ、模型引入 Ⅱ、特殊角的三角比值 　　　利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 cot 30° 45° 1 1 60° 【方法规律】 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) 　 　　②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． Ⅲ、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系： Ⅳ、一些非数学专业术语，通俗的理解或记忆方法 ①核心思想：画直角三角形模型 ②在（锐角三角比的）比值中正、余定分子，弦、切定关系。 Ⅴ、边、角互化 以锐角A的正切为例， 在我们学习了特殊角的锐角三角比之后，它应该改成一个双向箭头（即互推关系） 所以 【即学即练1】中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解析】解：∵中，， ∴的余切值为， ∵不一定是直角三角形， ∴的对边与邻边之比不一定为，的余弦值不一定为，的正弦值不确定 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握定义是解题的关键． 【即学即练2】在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求解即可． 【解析】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义． 【即学即练3】填空： ； ； ， ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解． 【解析】解：；；；． 故答案为：；1；；． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【即学即练4】满足的锐角的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】根据特殊角的三角函数值求解可得． 【解析】解：∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握、、的三角函数值是解题的关键． 【即学即练5】在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知正切求边长，根据正切的定义，即可求解． 【解析】解：如图所示， 在中，，，， ∴ ∴, 故答案为：． 题型1：正切、余切的概念 【典例1】．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【答案】C 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值． 【解析】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关． 【典例2】．在中，C=90°，tan A =3，tanB= 【答案】 【分析】根据解直角三角形，由，即可得到tanB. 【解析】解：在中，C=90°， ∴， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正切值等于对边比邻边. 【典例3】．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式． 【解析】解：中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键． 【典例4】．已知在中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么tanA= 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后根据三角函数的定义可求得tanA的值. 【解析】如图，在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=3，AB=4 ∴根据勾股定理. ∴ . 故填. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解决本题需注意①熟记正切的计算方法是解决本题的关键；②可先根据题意画出相应的图象，这样方便正确找出对应的线段. 【典例5】．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA． 【解析】解：∵∠C=90°， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义． 题型2：正切、余切的特殊角的三角比的值 【典例6】．在中，，，，求，和的值． 【答案】，，． 【分析】先利用勾股定理计算出b的值，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解． 【解析】解： ， 所以， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【典例7】．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数的混合运算即可求解． 【解析】解： ． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数的混合运算，理解并掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 【典例8】．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角三角函数即可得到答案． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，分母有理化，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【典例9】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【解析】解： ． 【典例10】．计算：． 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【解析】解：原式 ． 【典例11】．计算： 【答案】2 【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题． 【解析】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型3：已知正切、余切的特殊角的三角比的值，求该角 【典例12】．如果，那么锐角 度． 【答案】45 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【解析】解：∵，为锐角， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【典例13】．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而结合三角形内角和定理得出答案． 【解析】解：， ，， 则． 故答案为：． 【典例14】．已知锐角满足， 则锐用的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数中特殊三角函数值，利用整体思想，一个锐角的正切值等于，那么这个角等于，直接计算即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【典例15】．李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【解析】解： ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型4：判断三角形的形状 【典例16】．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【解析】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【典例17】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【解析】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型5：已知一个锐角三角比的值，求另一个三角比的值 【典例18】．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A=，那么cot∠A= ． 【答案】 【解析】如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cos∠A＝＝， ∴设AC=2x，则AB=3x， ∴由勾股定理得到：BC=， ∴cot∠A=. 故答案是：. 【典例19】．在RtΔABC中，∠，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】一个角的余切值等于这个角的余角的正切值，据此作答即可． 【解析】∵∠C=90°， ∴∠A和∠B互余， ∴cotB=. 故答案为. 【点睛】此题考查互余两角三角函数的关系，解题关键在于掌握其定义 题型6：比较大小关系 【典例20】．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值比较即可． 【解析】解：特殊角的三角函数值如下表所示： 角度三角函数名 由表格可知： 选项A错误，正确应为：； 选项B错误，正确应为：； 选项C错误，正确应为：； 选项D正确， 故选D． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．也可以利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小． 【典例21】．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【答案】A 【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可． 【解析】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=， ∵<<， ∴c<b<a. 故选A. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键. 【典例22】．已知实数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可. 【解析】解：， ∵， ∴， 故选：A. 【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小. 【典例23】．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形中正弦、余弦、正切的定义分别求值，即可得到答案． 【解析】解：在中 ，，， ∴， ∵，，，， ∴ ，， 故选B． 题型7：锐角三角比之间的关系及综合辨析 【典例24】．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【解析】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 【典例25】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【解析】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解． 【典例26】．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【解析】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 【典例27】．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【解析】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【典例28】．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【解析】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    【典例29】．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【解析】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 题型8：用计算器计算锐角的三角比 【典例30】．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】利用计算器完成即可． 【解析】（1）由计算器可得：，； （2）由计算器可得：，； （3）由计算器可得：， 【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器． 【典例31】．若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【解析】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 【典例32】．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，根据计算器的使用方法，可得答案． 【解析】 解：利用数学课本上的计算器计算，按键顺序是 故选：B. 【典例33】．利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的立方根，根据题意可得计算的式子为，据此求解即可． 【解析】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 【典例34】．用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的基础知识，解题的关键是分析出按键中所求的问题．根据按键的显示，求的是余弦是的角的度数，按余弦的值写出度数即可． 【解析】解：∵余弦是的角的度数是， 故答案为：． 【典例35】．运用计算器进行计算，按键顺序如下  ，则计算器显示的结果是 ． 【答案】 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值． 【解析】根据题意得式子为 化简得 故答案为． 【点睛】本题考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子． 一．选择题 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用正切的定义求解． 【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴tanB＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 2．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（　　） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 C．都没有变化 D．都不能确定 【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案． 【解析】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变． 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【解析】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键． 4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列三角比的值是的是（　　） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（　　） A．a•tanα B．a•cotα C． D． 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【解析】 解：cot∠A＝， ∴AC＝BC•cotA＝a•cotA， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， 那么sinA＝＝，则A不符合题意； cosA＝＝，则B不符合题意； tanA＝＝，则C不符合题意； cotA＝＝，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得AC＝4，然后根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解析】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝＝4， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，cotA＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则下列各式中正确的是（　　） A．sinA＝ B．cotA＝ C．cosB＝ D．tanB＝3 【分析】根据勾股定理计算得，根据锐角三角函数分别进行计算即可得． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， 则， ∴， ， ， ， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 9．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C 的对边，那么下列结论中错误的是（　　） A．a＝bcotA B．a＝csinA C． D．b＝atanB 【分析】根据锐角三角函数的定义就可以求解． 【解析】解：∵由锐角三角函数的定义可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝， ∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB， 故A选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，是基础题． 10．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出各个选项中特殊角的三角函数值，比较大小即可得到答案． 【解析】解：tan30°＝，cot60°＝， 则与tan30°大小相等的是cot60°， 故选：B． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°的正切值、余切值是解题的关键． 11．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出三角形的形状． 【解析】解：∵cosA＝，tanB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， 则这个三角形一定是锐角三角形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 12．下列各式中正确的个数是（　　） ①②tan60°＝cot30°③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据特殊角的三角函数值进行判定即可． 【解析】解：①cos45°＝，故本选项错误； ②因为tan60°＝，cot30°＝，所以tan60°＝cot30°；故本选项正确； ③sinα＝，则α＝30°，故本选项错误； ④tan60°＝＝＝；故本选项正确； 综上所述，正确的说法有2个； 故选：C． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．解答④时，要充分利用三角函数的定义． 二．填空题 13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则∠A的余切值为 　 　． 【分析】直接根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3， ∴∠A的余切值＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，则cotA＝　 　． 【分析】先根据勾股定理求出AC的值，再求cotA即可． 【解析】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．∠A的余切等于∠A的邻边比对边，，，，． 15．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA＝　 　． 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由直角三角形中锐角三角函数的定义解答． 【解析】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴BC＝＝12． ∴tanA＝＝． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义． 16．在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，tanA＝，那么AC＝　 　． 【分析】根据tanA＝，于是得到＝，即可求出AC． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， ∵tanA＝＝， ∴AC＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握定义及定理是解本题的关键． 17．在△ABC中，∠C＝90°，如果cotA＝3，AC＝6，那么BC＝　 　． 【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotA＝3，AC＝6， ∴BC＝＝＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．tan45°+cos60°＝　 　． 【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可，特别记住tan45°＝1，cos60°＝． 【解析】解：原式＝1+＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．计算：＝　 　． 【分析】把特殊角的三角函数值，代入原式即可计算 【解析】解：原式＝ ＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是要熟记特殊角的三角函数值， 20．用min{a、b、c}表示这三个数中最小的数，则min{sin30°、cos45°、tan30°}＝　 　． 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出sin30°、cos45°、tan30°的值，再比较其大小即可． 【解析】解：sin30°＝，cos45°＝，tan30°＝， ∵≈1.4，≈1.7， ∴≈0.7，≈0.54． ∵0.7＞0.54＞0.5， ∴＞＞，即cos45°＞tan30°＞sin30°， ∴min{sin30°、cos45°、tan30°}＝sin30°． 故答案为：sin30°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 三．解答题 21．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解析】解： ＝+× ＝﹣1+ ＝0． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 22．计算：． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【解析】解：原式＝+﹣（）2 ＝++1﹣ ＝2+． 【点评】本题考查特殊的锐角三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 23．计算：+cot260° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案． 【解析】解：原式＝+（）2 ＝+ ＝． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 24．计算：． 【分析】根据特殊角度三角函数、平方差公式、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解析】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了三角函数、二次根式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、二次根式的性质，从而完成求解． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，求tanB的值． 【分析】根据勾股定理求出AC，由即可求解． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， 由勾股定理得． 则． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是求角的正切值． 26．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA． 【分析】直接利用勾股定理得出a的值，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10， ∴a＝＝8， ∴sinA＝＝＝； cosA＝＝＝； tanA＝＝＝． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值． 【分析】根据已知表示出各边长，进而得出答案． 【解析】解：∵∠C＝90°，tanA＝， ∴设BC＝x，AC＝2x， ∴AB＝x， ∴sinB＝＝＝， cosB＝＝． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示出各边长是解题关键． 28．如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且，求sinα． 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【解析】解：如图： 作PC⊥x于C点， 由＝，得y＝4． 由勾股定理，得OP＝＝＝5， sinα＝＝． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 29．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求： （1）tanC的值； （2）sinA的值． 【分析】（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了． （2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值． 【解析】解：（1）过A作AD⊥BC于点D． ∵S△ABC＝BC•AD＝84， ∴×14×AD＝84， ∴AD＝12． 又∵AB＝15， ∴BD＝＝9． ∴CD＝CB﹣BD＝14﹣9＝5． 在Rt△ADC中，AC＝＝13， ∴tanC＝＝； （2）过B作BE⊥AC于点E． ∵S△ABC＝AC•EB＝84， ∴BE＝， ∴sin∠BAC＝＝＝． 【点评】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用． 30．已知△ABC中，∠C＝90°，记x＝tanA+，y＝tanB+． （1）若xy为有理数，且tan2A为小于20的正整数，求tanA的值； （2）是否存在△ABC，使得x，y皆为有理数？若存在，求出tanA的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，，即可得，根据xy为有理数，可得为有理数，设，，且t是非0的正有理数，根据tan2A为小于20的正整数，可得5t2＜20，5t2为正整数，结合0＜t2＜4，t是非0的正有理数，得t可以为1，问题得解； （2）假设存在△ABC，使得x，y皆为有理数，则设：，且s为有理数，可得，即有，均为有理数，进而有，根据y为有理数，可得，则有s2＝4，根据，可得s2＞5，即有s2＝4与s2＞5相矛盾，故假设不成立，即问题得解． 【解析】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵xy为有理数， ∴为有理数， ∴设，，且t是非0的正有理数， ∵tan2A为小于20的正整数， ∴5t2＜20，5t2为正整数， ∴0＜t2＜4，t是非0的正有理数， ∴t＝1， ∴； （2）不存在，理由如下： 假设存在△ABC，使得x，y皆为有理数， 则设：，且s为有理数， ∴， 即有，，均为有理数， ∴， ∵y为有理数， ∴， ∴s2＝4， ∵， ∴s2＞5， ∵s2＝4与s2＞5相矛盾， 故假设不成立， 故不存在△ABC，使得x，y皆为有理数． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，分母有理化等知识，根据三角函数的定义得出，是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$