第15讲 正弦、余弦及其特殊角的锐角三角比的值（三类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第15讲 正弦、余弦及其特殊角的锐角三角比的值（六大题型） 学习目标 1、掌握正弦、余弦的概念； 2、会求锐角的正弦、余弦的值； 3、知道特殊角的锐角的正弦、余弦的值。 一、直角三角形中30°角的性质（续） 二、锐角的三角比—正弦、余弦 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与斜边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与斜边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与斜边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠ADC、∠AEC的对边与斜边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与斜边AB的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA, Ⅴ、 任何一个锐角的正弦、余弦的值都是正实数，且正弦和余弦的值小于1(为什么?). 0<sinA<1,0<cosA<1. 提示：我们可以画一个三角形，已知∠C＝90°，当锐角A无限接近90°时，a无限接近c，b无限接近0； 当锐角A无限接近0°时，b无限接近c，a无限接近0 锐角的三角比：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为这个锐角的三角比。 3、 锐角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦 Ⅰ、模型引入 Ⅱ、特殊角的三角比值 　　　利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 30° 45° 60° 【方法规律】 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反 Ⅲ、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　(1)互余关系：，； (2)平方关系：； 【即学即练1】在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【解析】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 【即学即练2】如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【解析】解：在中，． 故选：C． 【即学即练3】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算的运算法则是解答本题的关键．先将的值代入计算，再根据二次根式的运算法则运算即可． 【解析】解：． 故选：C． 题型1：正弦、余弦的概念 【典例1】．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【解析】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 【典例2】．在中，，的余弦是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的余弦可进行求解． 【解析】解：在中，，则； 故选C． 【点睛】本题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键． 【典例3】．在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键．变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【解析】在中，，若的三边都缩小，则变化后的三角形与原三角形相似，可知的大小没有发生变化，故的值不变． 故选C． 题型2：求锐角的正弦值、余弦值 【典例4】．在Rt中，，，求的值． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数值解答． 【解析】解：==． 【点睛】此题考查锐角三角函数值，熟记各角度的三角函数值是解题的关键． 【典例5】．如图，中，，，，则的值为 ．        【答案】 【分析】根据勾股定理可求出的长，再根据正弦的定义即可求出答案． 【解析】解：根据勾股定理可求出 ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查勾股定理，求角的正弦值．掌握正弦是直角三角形中对边与斜边的比是解题关键． 【典例6】．已知在中，，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可． 【解析】 在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边． 【典例7】．如图，在Rt中，，求和的值． 【答案】图（1），，图（2）， 【分析】图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可． 【解析】解：如图（1），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 如图（2），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键． 【典例8】．如图，在中，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【解析】解：∵∠C=90°，， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义． 【典例9】．如图，分别求和的正弦､余弦． 【答案】； 【分析】如图，利用勾股定理先求解 再利用锐角的正弦，余弦，正切的定义直接计算即可. 【解析】解：如图， 【典例10】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA的值． 【答案】，． 【分析】先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解析】解：在中，， ， 则， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 题型3：特殊角的锐角的正弦值、余弦值 【典例11】．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据30度角的正弦值直接得到答案． 【解析】解：， 故选：B． 【点睛】此题考查了角度的正弦值，正确掌握各特殊角度的三角函数值是解题的关键． 【典例12】．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【解析】解：． 故选：B． 【典例13】．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式减法运算等知识，先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式减法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、二次根式减法运算是解决问题的关键． 【解析】解： ， 故选：A． 【典例14】．的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的余弦，根据度的余弦值即可得． 【解析】解：∵， ∴ 故选：B． 【典例15】．下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【解析】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【典例16】．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，首先化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可． 【解析】 故选：A． 题型4：已知特殊角的锐角的正弦值、余弦值，求该锐角 【典例17】．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数即可求出角度，即可得到答案． 【解析】解：， ， 故选：C． 【典例18】．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可． 【解析】解：∵，为锐角， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查根据三角函数值求角度，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【典例19】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（  ） A．15° B．45° C．30° D．60° 【答案】D 【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵tanB=， ∴∠B=60°， 故选：D． 【点睛】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提． 【典例20】．若是锐角，，那么锐角等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由sin45°=可得=45°即可确定． 【解析】解：∵sin45°=，，是锐角 ∴=45°，即=30°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键． 题型5：根据特殊角的锐角的正弦值、余弦值判断三角形的形状 【典例21】．在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【解析】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 【典例22】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【解析】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【典例23】．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【解析】解：， ． 故选：． 【典例24】．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【解析】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 题型6：同角、互余角的正弦、余弦的关系 【典例25】．一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 【答案】余弦值 【分析】本题主要考查了余角，以及三角函数的相关知识，通过举例可得出结论． 【解析】解：例如：，的余角为， ∴． 又∵ ∴一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 【典例26】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【解析】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1． 【典例27】．如果是锐角，则下列成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案. 【解析】解：∵a、b是直角边，c是斜边， ∴sin+cos=+=， ∵a+b>c， ∴>1， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键. 【典例28】．在Rt中，．的正弦、余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角比的定义及勾股定理．） 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，再结合勾股定理即可求得答案． 【解析】解：如图， ∵在Rt中，， ∴，． ∵由勾股定理，得． ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边是解题关键． 一．选择题 1．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 【分析】根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得∠A的大小没有发生变化，即可解答． 【解析】解：∵Rt△ABC的边长都扩大2倍， ∴所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有发生变化， ∴cosA的值不变， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴cosA＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3， ∴AB＝＝＝， ∴sinA＝＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．计算的值是（　　） A． B．1 C． D．3 【分析】先计算，再计算二次根式乘法即可． 【解析】解；， 故选：C． 【点评】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握特殊三角函数的取值． 5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的正弦值的定义解答即可． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， 则sinA＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】令BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC＝＝2x，由锐角的余弦定义即可求出cosA＝＝． 【解析】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝， ∴令BC＝x，则AB＝3x， ∴AC＝＝2x， ∴cosA＝＝． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，勾股定理，关键是令BC＝x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝2x，掌握锐角的正弦，余弦定义． 7．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【解析】解：∵sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8．已知α为锐角，，则α等于（　　） A．30° B．50° C．60° D．80° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求得α﹣20°的值，然后求得α的度数即可． 【解析】解：∵已知α为锐角，cos（α﹣20°）＝， ∴α﹣20°＝30°， ∴α＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 9．若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（　　） A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90° 【分析】利用cosα＝sin（90°﹣α），载根据锐角三角函数的增减性，即可求出α的取值范围． 【解析】解：∵cosα＝sin（90°﹣α），sinα＞cosα， ∴sinα＞sin（90°﹣α）， ∴α＞90°﹣α， ∴α＞45°， 又∵α为锐角， ∴45°＜x＜90°， 故选：D． 【点评】本题考查同角的三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的增减性是正确解答的关键． 10．下列选项正确的是（　　） A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可判断． 【解析】解：如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°， ∴sin31°＝，cos31°＝， ∴sin31°+cos31°＝+＝， ∵BC+AC＞AB， ∴+＞1， ∴sin31°+cos31°＞1， 故选：D． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 二．填空题 11．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　 　． 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴cosA＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键． 12．若2cos∠A＝1，则锐角∠A＝　 　° 【分析】先计算出cos∠A＝，然后根据60°的余弦值为求解． 【解析】解：∵2cos∠A＝1， ∴cos∠A＝， ∴锐角∠A＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 13．已知sinα•sin45°＝，则锐角α为　 　． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出sinα＝，即可得出答案． 【解析】解：∵sinα•sin45°＝， ∴sinα•＝， 故sinα＝， 则锐角α为45°． 故答案为：45°． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14．在△ABC中，若，则∠C＝　 　． 【分析】利用非负数和为零得出2sinA﹣1＝0，，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵， ∴2sinA﹣1＝0，， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°． 故答案为：105°． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，关键是四则混合运算的应用． 15．比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【解析】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知， ∵80°＞50°， ∴sin80°＞sin50°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提． 16．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 　 　． 【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【解析】 解：过P作PA⊥x轴于A， ∵P（3，4）， ∴PA＝4，OA＝3， 由勾股定理得：OP＝5， ∴α的余弦值是＝， 过答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos（∠A﹣∠B）＝　 　． 【分析】设CD＝x，根据勾股定理列方程，求出x的值，再得出AD＝BD＝2﹣x，再根据锐角三角函数的定义求出cos（∠A﹣∠B）即可． 【解析】解：过A作∠BAD＝∠B，交BC于点D， 设CD＝x， ∵BC＝2， ∴BD＝AD＝2﹣x， 根据勾股定理，AC2+CD2＝AD2，即12+x2＝（2﹣x）2， 解得x＝， ∴AD＝2﹣＝， cos（∠A﹣∠B）＝cos∠CAD＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 18．因为，，所以cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°，由此猜想：当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知：cos210°＝　 　． 【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）＝﹣cosα．把210°代入计算即可． 【解析】解：∵cos（180°+α）＝﹣cosα， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照一般地当α为锐角时有cos（180°+α）＝﹣cosα去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 三．解答题 19．计算：2sin30°+cos60°﹣cos245° 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可． 【解析】解：2sin30°+cos60°﹣cos245°＝＝＝1 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 20．根据图示填空： （1）sinB＝＝ （2）cos∠ACD＝． 【分析】（1）、（2）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解析】解：（1）sinB＝＝． 故答案为：BC，AC； （2）cos∠ACD＝． 故答案为：AC． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 21．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值． 【分析】先利用勾股定理求得斜边AB的长，再根据余弦函数的定义求解可得． 【解析】解：如图， 在Rt△ABC中，∵BC＝2、AC＝4， ∴AB＝＝＝2， 则cosB＝＝＝． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值． 【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数求出sinA、cosA，计算得出答案． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， 由勾股定理得，BC＝＝＝4， 所以sinA＝＝，cosA＝＝， 所以sinA•cosA＝×＝． 答：sinA•cosA的值为． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键． 23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c． 【分析】先根据sinA＝知c＝＝6，再根据勾股定理求解可得． 【解析】解：如图， ∵a＝2，sin， ∴c＝＝＝6， 则b＝＝＝4． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理． 24．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，求t的值． 【分析】过A作AB⊥x轴于B，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB、OA的长，根据勾股定理计算即可． 【解析】解：过A作AB⊥x轴于B． ∴， ∵， ∴， ∵A（t，4）， ∴AB＝4， ∴OA＝6， ∴． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边是解题的关键． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【分析】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝＝，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC＝x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB． 【解析】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB， ∴∠C＝∠ANM＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴＝＝， 设AC＝3x，AB＝4x， 由勾股定理得：BC＝＝x， 在Rt△ABC中，cosB＝＝＝． 【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的性质勾股定理，本题关键是表示出BC，AB． 26．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【分析】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解． 【解析】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x， ∴EC＝＝5x， EM＝＝x， CM＝＝2x， ∴EM2+CM2＝CE2， ∴△CEM是直角三角形， ∴sin∠ECM＝＝． 【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 正弦、余弦及其特殊角的锐角三角比的值（六大题型） 学习目标 1、掌握正弦、余弦的概念； 2、会求锐角的正弦、余弦的值； 3、知道特殊角的锐角的正弦、余弦的值。 一、直角三角形中30°角的性质（续） 二、锐角的三角比—正弦、余弦 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与斜边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与斜边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与斜边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠ADC、∠AEC的对边与斜边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与斜边AB的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA, Ⅴ、 任何一个锐角的正弦、余弦的值都是正实数，且正弦和余弦的值小于1(为什么?). 0<sinA<1,0<cosA<1. 提示：我们可以画一个三角形，已知∠C＝90°，当锐角A无限接近90°时，a无限接近c，b无限接近0； 当锐角A无限接近0°时，b无限接近c，a无限接近0 锐角的三角比：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为这个锐角的三角比。 3、 锐角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦 Ⅰ、模型引入 Ⅱ、特殊角的三角比值 　　　利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 30° 45° 60° 【方法规律】 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反 Ⅲ、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　(1)互余关系：，； (2)平方关系：； 【即学即练1】在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【即学即练2】如图，已知在中，∠B=90°，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 题型1：正弦、余弦的概念 【典例1】．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【典例2】．在中，，的余弦是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 题型2：求锐角的正弦值、余弦值 【典例4】．在Rt中，，，求的值． 【典例5】．如图，中，，，，则的值为 ．        【典例6】．已知在中，，，，那么的值是 ． 【典例7】．如图，在Rt中，，求和的值． 【典例8】．如图，在中，，则（    ） A． B．2 C． D． 【典例9】．如图，分别求和的正弦､余弦． 【典例10】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA的值． 题型3：特殊角的锐角的正弦值、余弦值 【典例11】．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【典例12】．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【典例13】．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【典例14】．的值等于（ ） A． B． C． D． 【典例15】．下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例16】．的值等于（    ） A． B． C． D． 题型4：已知特殊角的锐角的正弦值、余弦值，求该锐角 【典例17】．已知，则（　　） A． B． C． D． 【典例18】．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例16】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（  ） A．15° B．45° C．30° D．60° 【典例20】．若是锐角，，那么锐角等于（      ） A． B． C． D． 题型5：根据特殊角的锐角的正弦值、余弦值判断三角形的形状 【典例21】．在中，若，则是 ． 【典例22】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【典例23】．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【典例24】．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 题型6：同角、互余角的正弦、余弦的关系 【典例25】．一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 【典例26】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【典例27】．如果是锐角，则下列成立的是（ ） A． B． C． D． 【典例28】．在Rt中，．的正弦、余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角比的定义及勾股定理．） 一．选择题 1．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（　　） A． B． C．3 D． 4．计算的值是（　　） A． B．1 C． D．3 5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 7．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 8．已知α为锐角，，则α等于（　　） A．30° B．50° C．60° D．80° 9．若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（　　） A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90° 10．下列选项正确的是（　　） A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1 二．填空题 11．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　 　． 12．若2cos∠A＝1，则锐角∠A＝　 　° 13．已知sinα•sin45°＝，则锐角α为　 　． 14．在△ABC中，若，则∠C＝　 　． 15．比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 16．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 　 　． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos（∠A﹣∠B）＝　 　． 18．因为，，所以cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°，由此猜想：当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知：cos210°＝　 　． 三．解答题 19．计算：2sin30°+cos60°﹣cos245° 20．根据图示填空： （1）sinB＝＝ （2）cos∠ACD＝． 21．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值． 23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c． 24．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，求t的值． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 26．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$