专题01空间中的翻折问题、最值问题-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01空间中的翻折问题、最值问题 题型01空间中的翻折问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 【例1-2】（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知腰长为的等腰直角△ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小为60°，则点B到AC的距离为 ；异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ． 【例1-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图甲，在直角边长为的等腰直角三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接、，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点． (1)求证：； (2)当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片沿对角线进行翻折，点，满足，，是原正方形的中心，当，直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二上·浙江金华·期末）如图，已知平行四边形，，，，、分别是、的中点．现将四边形沿着直线向上翻折，则在翻折过程中，当点到直线的距离为时，二面角的余弦值为 ． 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型02空间中的最值问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为 ；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ． 【例2-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，． (1)求证：直线平面BDE； (2)求证：平面平面ABD； (3)若点M为线段PO上的动点，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值． 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·开学考试）在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的取值范围为 D．当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为 11．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．平面与底面的夹角余弦值为； B．点到平面的距离为； C．点到点的距离最大值为； D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 14．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 16．（23-24高二上·全国·期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.    (1)证明：平面的充要条件是； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 17．（23-24高二上·全国·期末）在菱形中，，沿着边把进行翻折，如图，使得平面平面. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 18．（23-24高二上·山东济南·期末）如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． (1)证明：平面； (2)点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01空间中的翻折问题、最值问题 题型01空间中的翻折问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】   如图所示，易知， 所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以, . 故选：A 【例1-2】（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知腰长为的等腰直角△ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小为60°，则点B到AC的距离为 ；异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ． 【答案】 / / 【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高，根据向量法求异面直线所成角的余弦即可. 【详解】如图， 图①中，由题意，， ，所以, 因为，所以为二面角B－AD－C的平面角， 即，所以图②中，设点B到AC的距离为， 由三角形面积可知，即. 设异面直线AB与CD所成角为， ， , . 故答案为：； 【例1-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图甲，在直角边长为的等腰直角三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接、，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点． (1)求证：； (2)当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）解：在图甲中，设，如下图所示： 翻折前，因为，为的中点，则， 因为，则， 翻折后，则有，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，. （2）解：翻折后，因为平面平面，平面平面， ，平面，所以，平面， 又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，其中，则， ， 则、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为，则， 因此，平面与平面的夹角的余弦值为 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片沿对角线进行翻折，点，满足，，是原正方形的中心，当，直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为3，求出相关线段长，利用余弦定理求出，结合数量积的运算律，即可求出，利用向量的夹角公式求得，再结合异面直线所成角的范围即可求得答案. 【详解】设正方形边长为3，由题意知，， ，故，    则， 把正方形纸片沿对角线进行翻折后，直线与为异面直线，    则 ， 故， 由题意知直线与为异面直线，它们所成角的范围为， 故直线与所成角的余弦值为， 故选：C 【变式1-2】（22-23高二上·浙江金华·期末）如图，已知平行四边形，，，，、分别是、的中点．现将四边形沿着直线向上翻折，则在翻折过程中，当点到直线的距离为时，二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】连接、，取的中点，连接、，推导出平面，可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合点到直线的距离公式可求得的值，即为所求. 【详解】连接、，取的中点，连接、， 易知，且，则四边形为菱形， 易知，则四边形为等边三角形，所以，， 同理可知，所以，二面角的平面角为， 因为，、平面，所以，平面， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且与平面的垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 所以点到直线的距离为 ，解得. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用面面垂直的判定定理证明； （2）建系，找到平面的一个法向量，平面的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，    建立如图所示的空间直角坐标系，， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，解得一个法向量 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型02空间中的最值问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 【例2-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为 ；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合图形可得出，点在过圆心且垂直与平面的直线与圆的交点位置时，直线与平面所成的角最大．再利用空间向量求解，即可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】过点作平面，交于点，于点,易得，, 所以． 由图可知当点在点或点的位置时，直线与平面所成的角最大． 易得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 当平面时，直线与平面所成角的正弦值最小为0， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是． 故答案为：；. 【例2-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过计算得出,取线段的三等分点（靠近点）证明平面平面即得； （2）依题建系，设与轴成角，分别求得点坐标和两平面的法向量，计算它们夹角的余弦值的表达式，求其值域即得. 【详解】（1） 如图，连接，两线交于点，因则，， 在中，设，由余弦定理，，解得，则, 由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点）， 连接，则点是的中点，因为的中点，故有, 又平面，平面，故得，平面① 因且，易知为菱形，故得， 又平面，平面，故得，平面② 由① ，② ，因平面，故平面平面， 因平面，则平面. （2） 如图，分别以，过点竖直向上的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设与轴成角，因，则且, 又，故即二面角的平面角，则， 于是，又. 则， 设平面的一个法向量为，则，可取； 又, 设平面的一个法向量为，则，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 设，因，则，， 设，则，， 记，因函数在上单调递增，故， 则，故， 即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 【点睛】思路点睛：当在平面内难找到与已知直线平行的直线时，常构造面面平行得线面平行；对于两平面所成的二面角的平面角难得到时，常考虑建系，有时还需设变量，将问题转化成求变量的函数的值域来解决 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由正方体性质可知，平面，平面平面，故动点在直线上，建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值. 【详解】 由正方体性质可知，，，， 平面，平面， 易知平面，平面平面， 故动点在直线上， 设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系， 则， 设两直线所成角为，， 故，即， 令，则， 所以当时，即时，. 故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先根据正余弦定理求解三角形，再以点为原点，建立空间直角坐标系，并求出点的轨迹方程，并利用，求得点的坐标的范围，相结合后，即可求解线面角正弦值的取值范围. 【详解】，得，即， 中，根据余弦定理，， 根据正弦定理，，得 如图，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点,, 设点，翻折后点的投影在轴上，所以的纵坐标为0，即，， 由，根据两点间距离公式，， 整理为 如右图，在翻折过程中，作于点，则， 并且，平面， 所以平面，平面, 所以，即，其中， 又动点在线段上动，设，故，且， 由，得，， 又因为，对应的的取值为，即, . 则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，关键1，求点的轨迹，关键2，根据几何关系可得，根据坐标运算，即可求解. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，． (1)求证：直线平面BDE； (2)求证：平面平面ABD； (3)若点M为线段PO上的动点，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值. 【详解】（1）如图，设交于点，连接， 易知底面，平面，所以． 又是底面圆的内接正三角形，由，可得，． 又，，所以，即， 又，所以，所以，即， 又、、平面，所以直线， 又不在平面上，平面，所以直线平面． （2）因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （3）易知，如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，设，可得． 设直线与平面所成的角为，则， 即，令， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，有最大值4，即当时，的最大值为1 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2， 则，，，设， ，， 则直线DE与直线AF所成角的余弦值， 而，故，，    故选： C. 2．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果. 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 3．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，得出，再左右同时平方，利用数量积公式，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，所以, 因为 所以. 所以 即 所以异面直线与CD所成角的余弦值为. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 则，， 因为平面，则，解得， 故，则， 而函数在取到最小值，在时，取最大值2， 故， 故选：D 5．（23-24高二下·河南·开学考试）在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，根据将表示为的函数，再换元求的范围即可. 【详解】 取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则. 因为是棱上一动点，设，且， 所以. 因为，所以. 令，则. 又函数在上为增函数， 所以线段的长度的取值范围为. 故选：D 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 7．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，从而得到和的坐标.又因为，从而得到异面直线BE与AF夹角余弦的最大值. 【详解】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”． 故选：D 8．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 二、多选题 9．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【分析】根据线面垂直的判定可证明平面可判断A；再根据即可判断B；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断C；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断D； 【详解】对于A，由题意可得， 又平面， 所以平面，又平面，故，故A正确； 对于B，在中，，边上的高为， 所以，故B错误； 对于C，在中，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，， 设点到平面的距离为， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故D错误； 故选：AC 10．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的取值范围为 D．当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D. 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则， 对于A，假设存在点，使得， 因为，， 所以，解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，, 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，连接，，    因为， 点到平面的距离， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，当点运动到中点时，，又， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．平面与底面的夹角余弦值为； B．点到平面的距离为； C．点到点的距离最大值为； D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于. 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A，根据点面距离的向量法即可求解B，根据面面平行的性质可得截面为六边形，即可根据点点距离公式求解CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， ，取，则， 而平面的一个法向量为， 所以平面与底面的夹角余弦值为.故A错误， 所以点到平面的距离为，故B正确， 延长交于点,连接交延长线于点,连接交于， 由于点为体对角线靠近点的三等分点，所以, , , 在棱上取，使得, 由于,故， 连接,故六边形即为平面上与正方体所截得的截面， 由于 , 由于最大，故为最大值，故当在处时，最大为,正确， 由于 ,因此六边形的最长对角线的长度不小于的长度，因此六边形的最长对角线的长度大于，故D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法可得点到平面的距离，进而可得范围. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，故， 而， 故到平面的距离， 故答案为：. 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论． 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为．                   图1                                图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为． 故答案为：． 14．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【答案】 【分析】设，易知点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量，设则，记直线与平面所成角为，则，令，利用换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案. 【详解】点作与点，过点作与点， 设，则， 又，则， 则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上， 如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：， ， 设， 则， 记直线与平面所成角为， 则， 因为， 所以， 令，则， 则，， 又，在上单调递减.在上单调递增， 则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又， 所以直线与平面所成角的最大值为， 此时. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面，证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，证明平面，并运用向量法，求解异面直线所成角的余弦值； （3）求出平面的法向量，向量法求线面角的正弦值． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面． 因为，，，则，，， 得， 又，，，， 所以， 所以， 设与所成角为，故， 即得与所成角的余弦值为． （3）设，则， 因为，所以， 则有，，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，，即平面的一个法向量为， 所以 ， 因为，所以，故， 又与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 16．（23-24高二上·全国·期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.    (1)证明：平面的充要条件是； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据充要条件、线面垂直等知识证得结论成立. （2）利用向量法或几何法求得二面角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）证明“必要性”：当平面，有： 由平面，平面， ，由题意，故为的中点，在上， 又平面，平面，， 又为的中点，故三角形为等腰三角形，则.    证明“充分性”：当，有平面： 取中点，连接，由，得， 又平面平面且交线为，平面， 由面面垂直的性质得平面， 由题意点即为点，为中点，得， 同理由，为中点，得， 又平面，则平面.    （2）解法一：，以为原点，为轴，为轴， 过作轴平面，如图建系， 由三角形不是钝角三角形且面积为，得到平面的距离为， 由题知点在平面上的射影为在线段上． 设，，，， 设平面的法向量为， 由，得，取， 由（1）知当为中点时，有平面， ，即， 故可得平面的一个法向量为， ， 又，， 所以 所以二面角的正弦值的取值范围为.       解法二：由三角形不是钝角三角形且面积为，得到面的距离为1， 由题知点在平面上的射影在线段上，作于， 由平面平面，且交线为，平面， 知平面，而平面，故， 作于，平面， 则平面，则即为二面角的平面角， 如图，过作直线，过作，垂足为，过作，垂足为， ，又， 故，，又， 在直角三角形中，， , ， ， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 17．（23-24高二上·全国·期末）在菱形中，，沿着边把进行翻折，如图，使得平面平面. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解直线与平面的夹角，从而求解. （2）由（1）中可利用空间向量法求解平面和平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）设，如图，过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，连接，因为，，所以为等边三角形. 所以为中点，又因为，所以， 又因为平面，所以，，所以，，两两垂直. 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以 ，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，得 又因为，设直线与平面所成的角为， 则，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （2）由（1）可知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（23-24高二上·山东济南·期末）如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． (1)证明：平面； (2)点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角. 【详解】（1）取AB中点M，连接NM，CM．    则，即四边形AMCD为平行四边形， 所以， 又因为，所以， 由，，即， 又，，平面, 所以平面，又平面，故， 又因为，则， 又，平面 所以平面，又平面，所以， 又在中，且， 在中，且， 则，又为中点，所以， 又，平面,所以平面． （2）由，，则， 即，又，， 故以为坐标原点，以所在直线x分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 故，，因为， 所以，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，取，解得， 易知平面，即， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理可证得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求线面角，通过换元法转化为二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面； 连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点， M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,, 所以平面平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，设，， 则，又M是的中点， 故,，因为， 所以，解得，设，因点P为线段上一点， 则，即， 故，所以， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 即，设直线与平面所成角为， 则     当时， 设，，所以， 当时，所以， 当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】解决本题第二问关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求出线面角正弦值的表达式，通过换元法转化为二次函数求最值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$