专题1.3 交集、并集（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题1.3交集、并集 一、区间的表示 ①根据交集运算求参数 二、交集的运算 ②根据并集运算求参数 三、并集的运算 ③根据交、并、补运算求参数 四、集合交、并、补的综合运算 六、韦恩图的应用 五、集合运算的求参问题 七、集合运算的新定义 知识点1 区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示             知识点2 并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 知识点3 交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点4 并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 重难点一 区间的表示 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．用区间表示为 ；用区间表示为 ． 3．用区间表示下列集合： (1)； (2)． 4．把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 理解区间概念的注意点： （1）一般地,区间的左端点的值小于右端点的值； （2）区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开。 （3）左、右端点a,b都能取到的叫闭区间,左、右端,点有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间,左、右端点都不能取到的叫开区间。 重难点二 交集的运算 5．设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 6．若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．设集合. (1)求集合; (2)求. 求集合交集的2个注意点： （1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 重难点三 并集的运算 10．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 11．设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．全集，，，则 ． 14．已知集合，则的所有元素之和为 . 15．（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 求集合并集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果； （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 重难点四 集合交、并、补的综合运算 16．设集合，则（    ） A． B． C． D． 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 19．若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．设全集，集合，，则 ， ． 21．已知全集，集合，集合，则 ， . 22．已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 解决集合交、并、补运算的2个技巧： （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 重难点五 集合运算的求参问题 ①根据交集运算求参数 23．已知集合，则 24．已知集合，若，则（　　） A． B． C． D． 25．已知集合，若中有3个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知，设集合，集合，若，则 . 29．已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. ②根据并集运算求参数 30．集合满足：，，则的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 32．已知集合，若，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 33．已知集合．若，则实数 ． 34．集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．若，，当时，则实数a的取值范围是 . ③根据交、并、补运算求参数 37．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 38．已知A，B均为集合的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 39．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 40．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 41．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 42．已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围． 43．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 利用集合关系求参数的2个注意点： （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． （2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 重难点六 韦恩图的应用 44．如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 45．集合，则下面图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 46．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 47．已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 48．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 49．如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 重难点七 集合运算的新定义 50．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 51．（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 52．（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 53．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 54．设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 4．集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 三、填空题 9．已知，，则 ． 10．已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 11．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 四、解答题 12．已知集合，若，求实数的值及. 13．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 14．已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 15．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3交集、并集 一、区间的表示 ①根据交集运算求参数 二、交集的运算 ②根据并集运算求参数 三、并集的运算 ③根据交、并、补运算求参数 四、集合交、并、补的综合运算 六、韦恩图的应用 五、集合运算的求参问题 七、集合运算的新定义 知识点1 区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示             知识点2 并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 知识点3 交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点4 并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 重难点一 区间的表示 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，用区间来表示. 故选：B. 2．用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【详解】，. 故答案为：；. 3．用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 4．把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4）或 理解区间概念的注意点： （1）一般地,区间的左端点的值小于右端点的值； （2）区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开。 （3）左、右端点a,b都能取到的叫闭区间,左、右端,点有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间,左、右端点都不能取到的叫开区间。 重难点二 交集的运算 5．设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则=, 故选：B 6．若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】集合，集合，则，则的子集个数是. 故选：D. 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得 所以 故选：B. 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 故选：B. 9．设集合. (1)求集合; (2)求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由，解得或， 所以. （2）， 当时，集合，所以； 当时，集合，所以； 当且时，所以. 求集合交集的2个注意点： （1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 重难点三 并集的运算 10．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以 故选：D 11．设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 则， 故选：D. 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，又， 所以． 故选：A． 13．全集，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意，， 因为， 所以. 故答案为：. 14．已知集合，则的所有元素之和为 . 【答案】 【详解】由题知，， 所以， 所以的所有元素之和为. 故答案为：. 15．（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 求集合并集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果； （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 重难点四 集合交、并、补的综合运算 16．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，则. . 故选：D. 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 或，又， ． 故选：D. 18．已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 19．若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为集合，， 则或，所以或． 故选：B． 20．设全集，集合，，则 ， ． 【答案】 或 【详解】因为集合，， 所以或， 所以或. 故答案为：；或. 21．已知全集，集合，集合，则 ， . 【答案】 【详解】，， ， 故，则； 故答案为：①；② 22．已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 解决集合交、并、补运算的2个技巧： （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 重难点五 集合运算的求参问题 ①根据交集运算求参数 23．已知集合，则 【答案】3 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：3. 24．已知集合，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 即方程无解， 所以，解得. 故选：D． 25．已知集合，若中有3个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，要使中有3个元素， 只需，所以， 故选：B． 26．设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 又，结合数轴分析可得， 所以. 故选：B. 27．已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一方面，若中有2个元素，则由知. 由，结合，知只可能分别是. 所以，，得； 另一方面，若，则，所以有2个元素. 综上，的取值范围是. 故选：A. 28．已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【详解】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 29．已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，因为， 所以. （2）由题可知，，因为， 所以且，解得 所以m的取值范围为. ②根据并集运算求参数 30．集合满足：，，则的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，，，， 又， 所以可能属于集合，也可能不属于集合， 所以集合或， 所以符合题意的集合有个. 故选：B 31．设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，所以． 由，得或； 由得，所以．此时符合题意， 故选：B． 32．已知集合，若，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】B 【详解】解：因为， 所以， 当时，，根据元素的互异性可知，； 当时，，不满足元素的互异性，舍去， 故选：B. 33．已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 34．集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以有，所以实数的取值范围是， 故选：B. 35．集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数轴可知，当时满足题意， 即的取值范围为. 故选：B 36．若，，当时，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，则 又则解得， 则实数a的取值范围是 故答案为： ③根据交、并、补运算求参数 37．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 38．已知A，B均为集合的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以A，B的公共元素只有3， 由图知表示图中的阴影部分，故不属于B且属于A的元素只有7， 所以.    故选：D 39．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 40．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 41．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 42．已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，全集，集合或，， 因为，可得， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足，此时不等式组的解集为空集. 综上可得，实数的取值范围为. 43．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），当时，， （2）若，则 ，∴，∴ 利用集合关系求参数的2个注意点： （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． （2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 重难点六 韦恩图的应用 44．如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：结合韦恩图可知，先看为如下阴影部分表示的集合， 则题干阴影部分所表示的集合， 即集合为． 故选：D． 45．集合，则下面图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 又， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B. 46．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】A 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 47．已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】由韦恩图可知包含区域①④， 所以表示的区域为①. 故选：A 48．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 49．如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分不在集合中，在集合中， 故阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 重难点七 集合运算的新定义 50．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 51．（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 52．（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 53．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【详解】对于A,因为⊕，所以，， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为⊕，所以，， 即与是相同的，所以，B正确； 对于C,因为⊕，所以，， 所以，即C错误； 对于D由于 ， 而，故，即D错误． 故选：AB． 54．设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【详解】 . 故答案为：9 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 2．已知集合，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，集合，集合， 所以，， ，， 故正确的只有D. 故选：D 3．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以且 又 所以， 故选：D. 4．集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【详解】设集合分别有个元素， 由题意可知：，即， 可知：当且仅当时，取到最大值7， 即集合的元素个数最多有7个，所以集合的子集个数最多为个. 故选：D. 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，    如图，集合． 故选：C 6．已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意：且，解得， 即， 由，解得， 故. 故选：A. 二、多选题 7．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 8．设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由集合，， 联立方程组，解得，所以. 故答案为：. 10．已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由题意知，则用数轴画图可得. 故答案为： 11．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 四、解答题 12．已知集合，若，求实数的值及. 【答案】， 【详解】因为，所以且， 又 ，所以或，解得或； 当时，，，则，与已知矛盾，舍去； 当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去； 当时，，，则，满足题意； 综上，，此时. 13．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 14．已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 15．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) 【详解】（1）因为，， 则， 可得或， 所以或或. （2）因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$