4.5 相似三角形判定定理的证明 课件　2024——2025学年北师大版数学九年级上册

4.5 相似三角形判定定理的证明 第四章 图形的相似 我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？ 导入新课 答：相似三角形的判定定理有： (1)两角分别相等的两个三角形相似； (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边成比例的两个三角形相似． 证明相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 相似三角形的判定定理1： 探究新知 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B’ A’ C’ B A C 证明：两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分 别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE. ∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌△ABC, ∴∠A′DE=∠B， 又∵∠B′=∠B， ∴∠A′DE=∠B′， ∴DE∥B′C′， B’ A’ D E C’ B A C 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 探究新知 过D连接DF// A′C′ ∵ DF// A′C′ ,DE∥B′C′ ∴四边形EDFC′是平行四边形 ∴DE=FC′， ∵ ∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. B A C B’ A’ D E C’ F 探究新知 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A'， ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 相似三角形的判定定理2： 探究新知 三边成比例的两个三角形相似 用数学符号表示： ∴ △ ABC ∽ △A1B1C1 ∵ A B C A1 B1 C1 相似三角形的判定定理3： 探究新知 相似三角形判定定理的运用 1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°. (1)求证：BA·BC＝DB·DC； (2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长． 证明:∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC 又∠A＝∠BDC＝90° ∴△ABD∽△DCB ∴ ， ∴BA·BC＝DB·DC； 随堂练习 (2)∵△ABD∽△DCB ∴ ， 又∵BD＝6，DC＝8， ∴BC＝ ∴AB＝ . 1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°. (1)求证：BA·BC＝DB·DC； (2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长． 随堂练习 . 2.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°. 求证： (1)△ACD∽△CBD； (2)AD·BD＝CD2. 证明：(1) ∵∠A＋∠ACD＝90°， ∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD 又∵CD是Rt△ABC的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90° ∴△ACD∽△CBD. (2)由(1)知△ACD∽△CBD， ∴ ∴AD·BD＝CD2. 随堂练习 3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB中点． (1)证明图中一对相似三角形； (2)求证： DE⊥EF. (1)解： △ADE∽△BEF 证明如下：∵∠A＝∠B E为AB中点，∴AE＝BE＝2 ∴ ， ∴ ∴△ADE∽△BEF 随堂练习 (2)证明：∵∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF ＝180°－∠AED－∠ADE ＝∠A ＝90° ∴DE⊥EF 3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点． (1)证明图中一对相似三角形； (2)求证： DE⊥EF. 随堂练习 随堂练习 4.如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？ 课堂小结 1．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C 当堂检测 2.如图，点B，D在AF 上，点C，E在AG上，BC//DE//FG ,图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？ A C E B D F G 当堂检测 3.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. C D A B 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4. 当堂检测 4.如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC， AD=2acm，DB=acm，BC=bcm，∠A=70°， ∠B=50°. A C E B D （1）求∠ADE的度数；（2）求∠AED的度数；（3）求DE 的长. 解 （1）∠B=∠ADE=50° （2）∠AED=∠C=180°-∠A -∠B =180°-70°-50°=60° ∵ BC=bcm $$