专题1.2 子集、全集、补集（六个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题1.2子集、全集、补集 一、集合间关系的判断 ②根据集合的相等关系求参数 二、集合的子集、真子集 四、空集性质及其应用 ①确定集合的子集、真子集 五、根据集合的包含关系求参数 ②子集、真子集的个数问题 六、补集的运算 三、集合相等 ①求集合的补集 ①判断集合是否相等 ②根据补集运算求参数 知识点1 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点2 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点3 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则;(2)若且,则 知识点4 空集的概念 定义 我们把不含任何元素的集合,叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集,即 知识点5 补集的概念及表示 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作. 2．补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 重难点一 集合间关系的判断 1．如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 2．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 3．已知集合或，，则（    ） A． B．  C．  D． 4．已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 5．已知，给定下列关系：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 6．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 判断集合间关系的3种方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 重难点二 集合的子集、真子集 ①确定集合的子集、真子集 7．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 8．在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 9．集合的子集为（    ） A．，， B．，，， C．，，， D．，，，，，，， 10．集合的真子集为 ． 11．写出集合的所有子集和真子集． ②子集、真子集的个数问题 12．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 13．集合的子集个数为 . 14．集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 15．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 16．若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 17．（多选）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 18．已知集合恰有7个真子集，则m的取值范围是 ． 1.求解有限集合子集问题的3个关键点： ①确定所求集合，是子集还是真子集；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2.与子集、真子集个数有关的3个结论： 假设集合中含有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空真子集的个数为个． 重难点三 集合相等 ①判断集合是否相等 19．下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 20．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 21．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 22．下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（    ） A． B． C． D． ②根据集合的相等关系求参数 23．已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 24．已知集合，，若，则集合 . 25．若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 26．若，则= 27．集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 重难点四 空集性质及其应用 28．下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 29．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 30．下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 31．已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．若集合，则实数a的值的集合为 ． 33．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 重难点五 根据集合的包含关系求参数 34．已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（    ）． A．6 B．8 C．20 D．36 35．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 36．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 37．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 38．已知集合，，若，求实数m的取值范围． 39．（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ； （2）已知集合，．若，则的取值范围是 ； （3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围是 ． 40．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 重难点六 补集的运算 ①求集合的补集 41．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 42．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 43．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 44．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 45．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 46．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ②根据补集运算求参数 47．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 48．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 49．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 50．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 51．设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 求集合补集的基本方法及处理技巧： （1）基本方法：定义法． （2）两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．已知集合，，且，则（    ） A．0 B．3 C． D．3或0 4．下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 8．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 三、填空题 9．若，，，则 ， 10．设集合，则集合的真子集个数为 ． 11．已知集合，若的子集个数为2个，则的值为 . 四、解答题 12．已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 13．若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 14．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 15．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2子集、全集、补集 一、集合间关系的判断 ②根据集合的相等关系求参数 二、集合的子集、真子集 四、空集性质及其应用 ①确定集合的子集、真子集 五、根据集合的包含关系求参数 ②子集、真子集的个数问题 六、补集的运算 三、集合相等 ①求集合的补集 ①判断集合是否相等 ②根据补集运算求参数 知识点1 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点2 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点3 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则;(2)若且,则 知识点4 空集的概念 定义 我们把不含任何元素的集合,叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集,即 知识点5 补集的概念及表示 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作. 2．补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 重难点一 集合间关系的判断 1．如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 【答案】A 【详解】由， 令，则，所以， 由于NZ，故. 故选：A. 2．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 故选：B． 3．已知集合或，，则（    ） A． B．  C．  D． 【答案】C 【详解】因为或，， 所以， 故选：C. 4．已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】C 【详解】集合， 则集合均为偶数集，故集合. 故选：C. 5．已知，给定下列关系：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【详解】，因此，，只有①②正确． 故答案为：①②． 6．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③④ 【详解】对于①，由于空集是任何集合的子集，则①正确； 对于②，是集合的元素，根据元素与集合之间的关系可得，故②不正确； 对于③，一个集合是它本身的子集，故③正确； 对于④，集合中元素是集合的元素，则，故④正确； 对于⑤，是集合中的元素，则，故⑤不正确． 故答案为：①③④． 判断集合间关系的3种方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 重难点二 集合的子集、真子集 ①确定集合的子集、真子集 7．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 8．在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是自身的子集，A错； 、与没有包含关系，B、D错； ，C对； 故选：C 9．集合的子集为（    ） A．，， B．，，， C．，，， D．，，，，，，， 【答案】D 【详解】根据子集的含义和，写出其以下子集： 故选：D 10．集合的真子集为 ． 【答案】 【详解】集合的真子集为. 故答案为：. 11．写出集合的所有子集和真子集． 【答案】见解析. 【解析】根据子集的定义，按照子集元素数目由少到多的顺序写出集合的所有子集，再根据真子集定义写出真子集即可. 【详解】集合A的所有子集是，． 上述子集中，除去集合A本身，即，剩下的都是A的真子集, 因此集合A的真子集有，． 【点睛】本题主要考查的是集合的子集和真子集的概念，考查学生的理解能力，是基础题. ②子集、真子集的个数问题 12．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 13．集合的子集个数为 . 【答案】 【详解】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 故答案为： 14．集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【详解】， 因为，所以满足条件的集合的个数为. 故选：D. 15．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 16．若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 17．（多选）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 18．已知集合恰有7个真子集，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由集合A恰有7个真子集，可得集合A中有3个元素， 即有3个不同解， 所以有2个不为0的不同实数解， 则，解得且， 故答案为：． 1.求解有限集合子集问题的3个关键点： ①确定所求集合，是子集还是真子集；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2.与子集、真子集个数有关的3个结论： 假设集合中含有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空真子集的个数为个． 重难点三 集合相等 ①判断集合是否相等 19．下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 20．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 21．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， , ， 故, 故选： 22．下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，B，D对应的集合中只有一个元素2018，故它们是相同的集合， 而C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数2018， 故选项C与其他三个选项不同. 故选：C. ②根据集合的相等关系求参数 23．已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，且， 即，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 当时，，符合题意. 故选：C 24．已知集合，，若，则集合 . 【答案】 【详解】当时，； 当，即时，集合B中元素不满足互异性. 故答案为：. 25．若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 【答案】或 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}， 则集合中只有一个元素，即只有一个实数根， ①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝； ②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝； 所以的值为或. 故答案为：或． 26．若，则= 【答案】 【详解】由题设，根据集合元素的互异性， 所以=. 故答案为： 27．集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 重难点四 空集性质及其应用 28．下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 29．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 30．下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 31．已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 32．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 33．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 重难点五 根据集合的包含关系求参数 34．已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（    ）． A．6 B．8 C．20 D．36 【答案】B 【详解】依题意，当时，，有序数对有4个； 当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误. 故选：B. 35．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意知，将代入方程，可得， 则，满足题意， 故选：B． 36．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 37．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 38．已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】． 【详解】解不等式可得， 由可知是的子集， ①当时，， 所以； ②当时，即时， 且， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． 39．（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ； （2）已知集合，．若，则的取值范围是 ； （3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）由集合，， 则满足条件的集合可能为， 所以满足条件的集合的个数为4个； （2）由集合，， 因为，则满足，解得，即实数的取值范围为； （3）由（2）知：集合，， 当时，若，则满足，解得； 当时，即时，此时满足， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：4个；；. 40．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 重难点六 补集的运算 ①求集合的补集 41．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，， 故. 故选：C 42．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 43．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以. 故选：B. 44．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 45．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 故选：A 46．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． ②根据补集运算求参数 47．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题，由可得，. 故选：A. 48．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 49．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，，所以. 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确. 故选：C 50．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 51．设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意全集，集合， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 时，， ，符合题意，故， 故选：B. 求集合补集的基本方法及处理技巧： （1）基本方法：定义法． （2）两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误； 对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误； 对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确； 对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误； 故选：C. 2．满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】由题意可知，,,,,, ，共有6个集合满足条件. 故选：C 3．已知集合，，且，则（    ） A．0 B．3 C． D．3或0 【答案】A 【详解】由得，解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，成立. 故选：A. 4．下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】对于①，正确； 对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误； 对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错； 对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误； 对于⑥，，故⑥错误； 对于⑦，正确； 对于⑧，表示不同的集合，错误. ①③⑦正确. 故选：B 5．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 若，则，解得，符合题意； 若时，则解得． 综上，实数m的取值范围是． 故选:C． 6．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：集合，， ，， 若，则， 即有； 若，可得，， 不满足； 若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得或，解得或． 综上可得，或或2. 故选：A. 二、多选题 7．已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 8．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABD 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 三、填空题 9．若，，，则 ， 【答案】 【详解】因为，，， 所以 故答案为：；. 10．设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 11．已知集合，若的子集个数为2个，则的值为 . 【答案】2或6/6或2 【详解】因为的子集个数为2个，所以中只有1个元素. 当时，，符合题意； 当时，，解得，此时，符合题意. 综上，的值为2或6， 故答案为：2或6 四、解答题 12．已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 13．若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【答案】或. 【详解】①当A无真子集时，即时， 则方程无实根， 所以，解之得. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或. 14．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 15．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$