2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十一：几何压轴题（二）

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十一：几何压轴题（二）（原卷） 1、在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M在DA的延长线上，点E是直线BD上的动点，连接ME，将线段ME绕点M逆时针旋转60°得到线段MF，连接EF，DF． （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段AM与DF的数量关系； （2）如图②，当点E在BD上时，请写出线段BE，AM，DF之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线BD上时，若AB＝6，AD＝3AM，BD＝2BE，请直接写出线段DF的长． 2、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，3），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD＝BE．点M是直线DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 3、（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长． 4、如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是　 　，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为　 　； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC，DB＝5，则△ABC的面积为　 　．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 7、在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． （1）若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； （2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 学科网（北京）股份有限公司 8、已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P． （1）求证：CF＝CP； （2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积； （3）求证：CP﹣BM＝2FN． 9、如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG． （1）求证：△DOG≌△COE； （2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长． 10、如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM． 11、已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC.过AB,DC的中点E,F作直线,直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N. (1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明).[来源:学.科.网Z.X.X.K] (2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠ENB有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明. 12、在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长； (2)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长． 13、如图，在长方形中，，点E为的中点，将沿直线 折叠，点B落在点处，连接， (1)求线段的长 (2)判断与 的位置关系，并说明理由 (3)求线段的长 14、如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 15、在长方形中，，，． (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为　　． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 16、如图，长方形中，，，点P在边上，且不与点B、C重合；将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． (1)证明； (2)当P为中点时，求的值； (3)连接，求周长的最小值 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十一：几何压轴题（二）（解析） 1、在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M在DA的延长线上，点E是直线BD上的动点，连接ME，将线段ME绕点M逆时针旋转60°得到线段MF，连接EF，DF． （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段AM与DF的数量关系； （2）如图②，当点E在BD上时，请写出线段BE，AM，DF之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线BD上时，若AB＝6，AD＝3AM，BD＝2BE，请直接写出线段DF的长． 【分析】（1）连接BD，由旋转的性质得出MB＝MF，∠BMF＝60°，得出△BCD为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBD＝60°，BC＝BD，证明△CBF≌△DBM（SAS），由全等三角形的性质得出CF＝DM，则可得出结论； （2）过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N，证明△MND是等边三角形，由等三角形的性质得出MN＝MD＝DN，得出△MEF是等边三角形，可证明△MNE≌△MDF（SAS），由全等三角形的性质得出EN＝DF，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）DF＝AM， 证明，连接BD， ∵将线段ME绕点M逆时针60°得到线段MF，点E与点B重合， ∴MB＝MF，∠BMF＝60°， ∴△BMF为等边三角形， ∴∠FBM＝60°，BM＝BF， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴BC＝CD，∠BCD＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠CBD＝60°，BC＝BD， ∴∠CBF＝∠DBM， ∴△CBF≌△DBM（SAS）， ∴CF＝DM， ∵CD＝AD， ∴DF＝AM； （2）结论：BE+AM＝DF． 证明：如图2，过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABD＝60°， ∵MN∥AB， ∴∠N＝∠ABD＝60°，∠NMD＝∠BAD＝60°， ∴△MND是等边三角形， ∴MN＝MD＝DN， ∵ME＝MF，∠MEF＝60°， ∴△MEF是等边三角形， ∴ME＝MF，∠EMF＝60°， ∴∠NME＝∠DMF， ∴△MNE≌△MDF（SAS）， ∴EN＝DF， 即BE+BN＝DF， ∵MD＝DN，AD＝BD， ∴AM＝BN， ∴BE+AM＝DF． （3）如图3，当点E在线段BD上时， 由（2）可知BE+AM＝DF． ∵AB＝6， ∴AB＝BD＝6， ∵AD＝3AM，BD＝2BE， ∴AM＝2，BE＝3， ∴DF＝2+3＝5； 如图4，当点E在DB的延长线上时， 则△DMN和△EFM都是等边三角形， 同（2）可证△MNE≌△MDF（SAS）， ∴EN＝DF， ∵MN＝DM＝DN， ∴AM＝BN， ∴AM+DF＝BE， ∵AM＝2，BE＝3， ∴DF＝3﹣2＝1． 综合以上可得DF的长为5或1． 【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 2、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，3），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD＝BE．点M是直线DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 【分析】（1）根据矩形的性质，用b表示E点坐标，待定系数法可解； （2）求出四边形OAED的面积，分两种情况求△ODM的面积； （3）以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以OD，OM，DM为对角线，分别求出N点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，代入yx+b得，y＝b，D点坐标（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 点E的坐标为（2，3﹣b），代入yx+b得：3﹣b＝﹣1+b， 解得：b＝2； （2）∵S四边形OAED3， 三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，设点M的横坐标为m， ①当点M在线段DE上时， S△ODM，则m， 解得m，代入y2得，y，此时点M（，）， ②当点M在线段ED的延长线上时， S△ODB，则， 解得m，代入y2得，y，此时点M（，）， ∴M（，）或（，）； （3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1， 当y＝1时，代入y2得，x＝2， 则点M的坐标是（2，1）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴点M，N关于y轴对称， ∴点N的坐标为（﹣2，1）； ②当OM为菱形对角线时，如图，则DM＝DO＝2， 设M（m，m+2），由两点间距离公式可得， ∴（m﹣0）2+（m+2﹣2）2＝22， 解得：m或m， ∴M（，2）或M（，2）， ∵MN＝OD＝2， ∴N（，）或N（，）； ③当DM为菱形对角线时，如图，则MO＝DO＝2， 同理：（m﹣0）2+（m+2）2＝22， 解得：m＝0（舍去）或m， ∴M（，）， ∵MN＝OD＝2， ∴N（，）， 综上所述：点N的坐标为（﹣2，1）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长． 学科网（北京）股份有限公司 3、（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长． 【分析】（1）通过证明△EAO≌△FCO（ASA），得到OE＝OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形； （2）过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，在Rt△AMF中，求出，Rt△MFE中，求出EF即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC， ∴△EAO≌△FCO（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形； （2）解：过点F作FH⊥AD于H， 由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， 在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE， ∴， ∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴AB＝FH＝3，， ∴， ∴， ∴四边形ABFE的周长； （3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°， ∴∠ABC＝135°， ∴∠ABN＝45°， ∵AN⊥BC， ∴∠ABN＝∠BAN＝45°， ∴， 由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AF2＝AN2+NF2， ∴AF2＝4+（6﹣AF）2， ∴， ∴， ∵AN∥MF，AD∥BC， ∴四边形ANFM是平行四边形， ∵AN⊥BC， ∴四边形ANFM是矩形， ∴AN＝MF＝2， 在Rt△AMF中，， ∴， 在Rt△MFE中，． 【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 4、如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，则可得出方程求出t即可； （2）分两种情形：∠APQ＝90°或∠AQP＝90°分别求解即可． 【解答】解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ， ∵AP＝t，AQ＝12﹣3t， ∴t＝12﹣3t， 解得：t＝3， 答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上； （2）①若∠APQ＝90°， 则△APQ是直角三角形， ∵∠A＝60°， ∴∠AQP＝30°， ∴AQ＝2AP， ∴12﹣3t＝2t， ∴t， ②若∠AQP＝90°， 则△APQ是直角三角形， ∵∠A＝60°， ∴∠APQ＝30°， ∴AP＝2AQ， ∴t＝2（12﹣3t）， ∴t． ∴当t或时，△APQ是直角三角形． 【点评】本题属于四边形综合题，考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键． 5、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是　 　，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为　 　； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC，DB＝5，则△ABC的面积为　 　．（直接写出答案） 【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC； （3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°， ∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC， ∵BD+CD＝BC， ∴CF+CD＝BC； 故答案为：CF⊥BC，CF+CD＝BC． （2）结论：CF⊥BC，CF﹣CD＝BC． 理由：如图2中， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°+∠DAC，∠CAF＝90°+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°， ∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC， ∴BC+CD＝CF， ∴CF﹣CD＝BC； （3）如图3中， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF＝5， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACF＝∠ABD＝135°， ∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵OD＝OF， ∴DF＝2OC＝13， ∴Rt△CDF中，CD12， ∴BC＝DC﹣BD＝12﹣5＝7， ∴AB＝AC， ∴S△ABC． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，判断出△BAD≌△CAF是解本题的关键． 6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 7、在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． （1）若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； （2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC； （2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E， ∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°， ∴DE8， ∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CE∥AP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）∵△PEC是直角三角形， 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 则∠ECP＝∠B＝90°， ∴EC∥AB， ∵DC∥AB， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 8、已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P． （1）求证：CF＝CP； （2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积； （3）求证：CP﹣BM＝2FN． 【分析】（1）由“ASA”可证△CDP≌△CBF，可得CF＝CP； （2）根据等角对等边易证AP＝AC，根据勾股定理求得AC的长，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）由全等三角形的性质可得CP＝CF，在CN上截取NH＝FN，连接BH，则可以证明△AMB≌BHC，得到CH＝BM，即可证得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°， ∵CP⊥CF， ∴∠FCP＝90°＝∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCP， ∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°， ∴△CDP≌△CBF（ASA）， ∴CF＝CP； （2）∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°， ∴∠BFC＝67.5°， ∵△CDP≌△CBF， ∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°， ∴∠ACP＝∠P＝67.5°， ∴AC＝AP， ∵ACAB＝4， ∴S△ACPAP×CD＝8； （3）在CN上截取NH＝FN，连接BH， ∵△CDP≌△CBF， ∴CP＝CF， ∵FN＝NH，且BN⊥FH， ∴BH＝BF， ∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°， ∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°， ∴∠HBC＝∠BAM＝45°， ∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH， ∴△AMB≌△BHC（ASA）， ∴CH＝BM， ∴CF＝BM+2FN， ∴CP﹣BM＝2FN． 【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 9、如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG． （1）求证：△DOG≌△COE； （2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【解析】解： （1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC ∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90° ∵∠GOE＝90°，∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90° ∴∠GOD＝∠COE ∵GO＝OE ∴在△DOG和△COE中 ∴△DOG≌△COE（SAS） （2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H ∵AM＝，DA＝2，∴DM＝ ∵∠MDB＝45° ∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝ ∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝ ∴在Rt△MHO中，由勾股定理得 MO＝＝＝ ∵DG⊥BD，MH⊥DO，∴MH∥DG ∴易证△OHM∽△ODG ∴＝＝＝，得GO＝2 则正方形OEFG的边长为2． 10、如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM． 【解析】（1）如图，过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M， ∵BC=AB，∴EM=AB， ∴EM-AE=AB-AE， ∴AM=BE，∴FM=AM， ∵FM⊥AB，∴∠MAF=45°， ∴∠EAF=135°． （2）如图，过点F作FG∥AB交BD于点G． 由（1）可知∠EAF=135°， ∵∠ABD=45°，∴∠EAF+∠ABD=180°， ∴AF∥BG， ∵FG∥AB， ∴四边形ABGF为平行四边形，AF=BG，FG=AB， ∵AB=CD，∴FG=CD， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠FGM=∠CDM， ∵∠FMG=∠CMD， ∴△FGM≌△CDM（AAS）， ∴GM=DM，∴DG=2DM， ∴BD=BG+DG=AF+2DM． 11、已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC.过AB,DC的中点E,F作直线,直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N. (1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明).[来源:学.科.网Z.X.X.K] (2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠ENB有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明. 【解析】(1)图1:∠AMF=∠ENB. (2)图2:∠AMF=∠ENB; 图3:∠AMF+∠ENB=180°. 证明:如图,取AC的中点H, 连接HE,HF. ∵F是DC的中点,H是AC的中点, ∴HF∥AD,HF=AD, ∴∠AMF=∠HFE, 同理,HE∥CB,HE=CB,∴∠ENB=∠HEF. ∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE, ∴∠ENB=∠AMF. 12、在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长； (2)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在中利用勾股定理即可求出的长； （2）点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的长． （1） 解：在中，，， ∴ 根据折叠的性质， ∴ ∴AE=BE 设为x，则：AE=BE =8-x 在中： 解得：x= 即的长为：． （2） 解：∵点是直角边的中点 ∴= 根据折叠的性质， ∴ ∴=BE 设为x，则：=BE =8-x 在中： 解得：x= 即的长为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题． 13、如图，在长方形中，，点E为的中点，将沿直线 折叠，点B落在点处，连接， (1)求线段的长 (2)判断与 的位置关系，并说明理由 (3)求线段的长 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由，点E为BC的中点，得出，再由勾股定理求解即可； （2）由沿直线折叠，点B落在点处，得到，再由点E为BC的中点，得到，由三角形外角和定理，得出，则，即可判断 （3）连接交于H，由沿直线折叠，点B落在点处，，即是的高，再由面积不变，得：，得到的长度，由，得，用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，点E为的中点， ， ∴； （2）， 理由如下：∵将沿直线折叠，点B落在点处， ，， ∵点E为的中点， ， ， ， 而， ， ， ， ； （3）连接交于H，如图： 由（1）得， ∵将沿直线折叠，点B落在点处， ，即是的高， ， 由面积不变，得： ， 由（2）知，， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形得性质，等腰三角形得判定，两直线平行的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能够准确识图，并化出辅助线是解题关键． 14、如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据平角的性质可得，从而推算出，最终得到； （2）根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）当时，设， 得， ∵， ∴， 在中, ∴， ∴； 当时， ∵， ∴是的中点， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程． 15、在长方形中，，，． (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为　　． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)3 (2)或 (3)2或8 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，过点作于点．先证明，可得，从而得到，可求出，当时，设，则，根据，求出x，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解： 四边形是长方形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， 故答案为：3； （2）解：如图，当时，过点作于点． ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， 设，则， ∵， ∴， ， ． 综上所述，的长为或； （3）解：如图，当点在线段上时， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图，当点在的延长线上时，同法可证， ，， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16、如图，长方形中，，，点P在边上，且不与点B、C重合；将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． (1)证明； (2)当P为中点时，求的值； (3)连接，求周长的最小值； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)12 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质证明，即可证明； （2）由折叠的性质可知，设，则，在中，由勾股定理得： ，据此求解即可； （3）由题意得则要使的周长最小，即要使最小，故当三点共线时最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴ （2）解：∵P是的中点， ∴， 由折叠的性质可知， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当三点共线时最小， 连接，在中，由勾股定理得， ∴， ∴的周长最小值为； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$