2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.5一元二次方程根与系数的关系 白银市第五中学 李进军 复习回顾 什么是一元二次方程？什么是一元二次方程的根？ 一元二次方程的根的判别式是什么？ 一元二次方程的解法有哪几种？ 一元二次方程根由一元二次方程中的什么来决定？ 某个一元二次方程根有两个根-3和2，这个一元二次方程是唯一确定的吗？为什么？ 想一想 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？如果有根，则有几个根？是哪几个？ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 x= (b2-4ac≥0) 即一元二次方程有两个根： x1= ；x2= 特别地:当b2-4ac=0时，两根相等，即x1=x2=- . 2.观察下列解一元二次方程的过程,你会得到什么？ 解一元二次方程 x2+x-6=0. 解：由x2+x-6=0得 (x+3)(x-2)=0 ∴x1=-3,x2=2. 3.由上述解方程的过程逆推，能得到什么结论？ 即:x2+x-6=0. 两根为x1=-3,x2=2的一元二次方程为： (x+3)(x-2)=0 4.两根为4,-3的一元二次方程是什么？两根为x1,x2的 一元二次方程呢？ 很显然：两根为4,-3的一元二次方程为： (x-4)(x+3)=0，即x2-x-12=0 同理两根为x1,x2的一元二次方程为： (x-x1)(x-x2)=0，即x2-(x1+x2)x+x1x2=0 5.若把一元二次方程的两个根加起来，会得到什么？ 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1= ；x2= x1+x2= + = = =- 6.若把一元二次方程的两个根加起来，会得到什么？ x1·x2= × = = = = 即有：x1+x2=- ，x1·x2= 因而我们得到： 一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2(b2-4ac≥0). 则： x1+x2=- ，x1·x2= 这个性质也叫韦达定理 想想练练 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2时. 把一元二次方程的二次项系数化为1就是： x2+ x+ =0 两根为x1,x2的一元二次方程还可写成： x2-(x1+x2)x+x1x2=0 本质上这两个方程是同一个方程,即对应项的系数相等 易得：-(x1+x2)= ，x1x2= 这是另一种更简单的推理韦达定理的过程，你体会了吗？ 有些同学会说本节课题前带有“*”号,认为没用,不考.这个认知是错误的,其实韦达定理在以后的学习生活中尤其高中会用到,而且用来解决有些问题很是方便.下面给出一些实例 例1：已知一元二次方程x2+mx-5=0有一个根为-1，求该方程的另一个跟和的值m. 分析：如果不用韦达定理,应该先把1代入方程求出m的值再代入方程解方程求得另一个根,比较麻烦.若用韦达定理则要简单得多： 解：设另一根为x1,则由题意和韦达定理得: x1+1=-m且x1×1=-5 直接得到x1=-5，代入易得m=4； 是不是特别简单特别快呢？ 1.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根，则另 一个根是______，m=________. 2.设 x1、x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则 x1+x2= ______ , x1x2= _______， x12+x22= (x1+x2)2-_______= ________, (x1-x2)2= (______)2-4x1x2= _______. 做一做，看谁做得快 3.求一元二次方程2x2+3x-1=0 两个根的: (1)平方和；(2)倒数和 解:设方程的两个是x1,x2,那么 x1+x2=- ,x1x2= (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(- )2-2× = (2) = =- / =3 4. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围； (2)若方程两根x1,x2满足|x1-x2|=1,求m的值. 小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 已知两根写出一元二次方程。 一元二次方程根与系数的关系表达式、 推理、理解和应用。 $$