第01讲 一元二次方程-2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练

人教版九年级数学上 点拨*训练 第01讲 一元二次方程(解析版) 1、 学习目标: 1.经历一元二次方程概念的形成过程,知道什么是一元二次方程. 2.会把一元二次方程化成一般形式,并知道各项及系数的名称. 3.能说出什么是一元二次方程的解(根) 二、老师告诉你 判别一元二次方程的“两方法” 1.根据定义要把握三点: ①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 2.根据一般形式要把握两点: ①化成ax +bx+c=0的形式,且a≠0,b,c都可以为0 ②判断其是否一元二次方程与其有解无解无关。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1.一元二次方程的定义 (1)一元二次方程的定义: 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 (2)概念解析: 一元二次方程必须同时满足三个条件: ①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2. (3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”. 【新知导学】 例1-1.下列方程中,是一元二次方程的是( ) A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0 【答案】A 【解析】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 解:A、x2-5x=0是一元二次方程; B、x+1=0是一元一次方程; C、y-2x=0是二元一次方程; D、2x3-2=0不是一元二次方程. 故选:A. 例1-2.关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0,则m的值为( ) A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0 【答案】B 【解析】根据二次项系数非零及方程的常数项为0,可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程,解之即可求出m的值. 解:∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0, ∴, 解得:m=2, ∴m的值为2. 故选:B. 【对应导练】 1.已知是关于x的一元二次方程,那么a的值为( ) A. B. 2 C. D. 以上选项都不对 【答案】C 【解析】只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程,根据定义解答即可. 解:∵是关于x的一元二次方程, ∴, 解得, 故选:C. 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义,解一元二次方程,熟记定义是解题的关键. 2.若方程是关于x的一元二次方程,则m的值为( ) A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义,x的最高次数是2,且二次项系数不等于0,从而得出答案. 解:根据题意得:, ∴, 故选:C. 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是.特别要注意的条件. 3.下列方程中,关于x的一元二次方程是( ) A. x2﹣x(x+3)=0 B. ax2+bx+c=0 C. x2﹣2x﹣3=0 D. x2﹣2y﹣1=0 【答案】C 【解析】一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 解:A、x2﹣x(x+3)=0,化简后为﹣3x=0,不是关于x的一元二次方程,故此选项不合题意; B、ax2+bx+c=0,当a=0时,不是关于x的一元二次方程,故此选项不合题意; C、x2﹣2x﹣3=0是关于x的一元二次方程,故此选项符合题意; D、x2﹣2y﹣1=0含有2个未知数,不是关于x的一元二次方程,故此选项不合题意; 故选:C. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”. 知识点2.一元二次方程一般形式:ax +bx+c=0(a≠0)。 (1).其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等于0的实数,这是因为当a=0时,方程中就没有二次项了,所以,此方程就不是一元二次方程了. (2)要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式. 【新知导学】 例2-1.一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 2,1,5 B. 2,1,-5 C. 2,0,-5 D. 2,0,5 【答案】B 【解析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可. 解:一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数,一次项系数,常数项分别是2,1,-5, 故选:B. 例2-2.将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后,若二次项的系数是2,则一次项系数和常数项分别是( ) A. -1,3 B. 1,1 C. 1,-3 D. 1,3 【答案】C 【解析】先把一元二次方程化为一般式,然后问题可求解. 解:∵一元二次方程2x2+x=3可得2x2+x-3=0, ∴一次项系数和常数项分别为1,-3; 故选:C. 【对应导练】 1.将方程2x2-3x=1化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数,一次项系数、常数项分别是( ) A. 2、-3、-1 B. 2、3、1 C. -2、-3、1 D. -2、3、-1 【答案】A 【解析】先化成一元二次方程的一般形式,再找出二次项系数和一次项系数即可. 解:∵2x2-3x=1, ∴2x2-3x-1=0, ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、-3和-1, 故选:A. 2.一元二次方程(4x+1)(2x-3)=5x2+1化成一般式后a,b,c的值为( ) A. 3,-10,-4 B. 3,-12,-2 C. 8,-10,-2 D. 8,-12,4 【答案】A 【解析】通过去括号、移项、合并同类项将方程化为一般形式即可得. 解:(4x+1)(2x-3)=5x2+1, 去括号得: 8x2-10x-3=5x2+1, 移项合并同类项得: 3x2-10x-4=0, a=3,b=-10,c=-4, 故选:A. 3.关于x的一元二次方程x2+2(2a-1)x+5+a=0的二次项系数是1,一次项系数为4,则常数项为 _. 【答案】 【解析】根据一次项系数的定义得到2(2a-1)=4,求出a,再计算出5+a,从而得到常数项. 解:根据题意得2(2a-1)=4, 解得a=, 所以5+a=5+=, 所以常数项为. 故答案为:. 知识点3.一元二次方程的根 使方程两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。 【新知导学】 例3-1.若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根,则a的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】将x=1代入方程ax2-a2x=0得到关于a的方程,然后解方程即可. 解:将x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0, 得:a-a2=0, 解得:a=0,或者a=1, ∵ax2-a2x=0是关于x的一元二次方程, ∴a≠0, ∴a=1, 故选:C. 例3-2.已知a是方程x2-2x-2023=0的根,则代数式2a2-4a-2的值为( ) A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024 【答案】A 【解析】先根据一元二次方程解的定义得到a2-2a=2023,再把2a2-4a-2变形为2(a2-2a)-2,然后利用整体代入的方法计算. 解:∵a是方程x2-2x-2023=0的根, ∴a2-2a-2023=0, 即a2-2a=2023, ∴2a2-4a-2=2(a2-2a)-2=2 2023-2=4046-2=4044. 故选:A. 【对应导练】 1.下列各数中是一元二次方程x2-2x-3=0的解的是( ) A. x=1 B. x=0 C. x=3 D. x=-3 【答案】C 【解析】先利用因式分解法解方程,然后对各选项进行判断. 解:x2-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0, x-3=0或x+1=0, 所以x1=3,x2=-1. 故选:C. 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1,x2=-3,则关于y的一元二次方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是( ) A. y1=2,y2=-4 B. y1=0,y2=-4 C. y1=3,y2=-3 D. y1=1,y2=-3 【答案】B 【解析】观察两个方程可得出方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是y1+1=1,y2+1=-3,进而可求出y1=0,y2=-4. 解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1,x2=-3, ∴关于(y+1)的一元二次方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是y1+1=1,y2+1=-3, ∴关于y的一元二次方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是y1=0,y2=-4. 故选:B. 知识点4.建立一元二次方程模型 1、 完整地系统审清题意; 2、 把握住问题中的等量关系; 3、 正确地用代数式表示其等量关系. 【新知导学】 例4-1.有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( ) A. x(x+1)=45 B. C. x(x-1)=45 D. x(x+1)=45 【答案】B 【解析】先列出x支篮球队,每两队之间都比赛一场,共可以比赛x(x-1)场,再根据题意列出方程为x(x-1)=45. 解:∵有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场, ∴共比赛场数为x(x-1), ∴共比赛了45场, ∴x(x-1)=45, 故选:B. 例4-2.台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念,全宿舍共送56张照片,设该宿舍共有x名同学,根据题意,列出方程为( ) A. x(x+1)=56 B. x(x-1)=56 C. 2x(x+1)=56 D. x(x-1)=56 2 【答案】B 【解析】根据该宿舍人数,可得出每名同学需送出(x-1)张照片,结合全宿舍共送56张照片,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解. 解:∵该宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念,且该宿舍共有x名同学, ∴每名同学需送出(x-1)张照片. 根据题意得:x(x-1)=56. 故选:B. 【对应导练】 1.已知矩形的面积是54cm2,当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后,所得四边形是正方形,若矩形的宽为xcm,则根据题意,列方程为 _. 【答案】x(x+2+1)=54或x(x+3)=54 【解析】首先理解题意找出题中存在的等量关系:长方形的面积=长 宽,根据此列方程即可. 解:这个矩形的宽为xcm,则长为(x+2+1)cm, 根据题意得:x(x+2+1)=54. ∴x(x+3)=54. 故答案为:x(x+2+1)=54或x(x+3)=54. 2.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是 _. 【答案】x(x-1)=28 【解析】设该中学九年级共有x个班级,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),则每个队参加(x-1)场比赛,则共有 x(x-1)场比赛,可以列出一元二次方程. 解:设九年级共有x个班,每个班都要赛(x-1)场,但两班之间只有一场比赛, 故 x(x-1)=28. 故答案为: x(x-1)=28. 4、 题型训练 1.利用一元二次方程的定义求字母的值 1. 已知关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0 (1)当k取何值时,它是一元一次方程? (2)当k取何值时,它是一元二次方程? 【解析】(1)根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程,可得答案; (2)根据一元二次方程:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数,可得答案. 解:(1)由关于x的(k+1)+(k-3)x-1=0一元一次方程,得 或或, 解得k=-1或k=0. 故当k=-1或k=0时,关于x的(k+1)+(k-3)x-1=0一元一次方程; (2)由关于x的(k+1)+(k-3)x-1=0一元二次方程,得 , 解得k=1. 故当k=1时,关于x的(k+1)+(k-3)x-1=0一元二次方程. 2.求关于x的一元二次方程m2-3mx+m(2x2-1)=(m+1)x的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项. 【解析】把右边的项移到左边,去括号,合并同类项,得到关于x的一元二次方程的一般形式,确定二次项系数,一次项及一次项系数,常数项. 解:m2-3mx+2mx2-m-(m+1)x=0 2mx2+(-3m-m-1)x+m2-m=0 2mx2+(-4m-1)x+m2-m=0 故二次项是2mx2, 二次项系数是:2m; 一次项是:(-4m-1)x, 一次项系数是:-4m-1, 常数项是:m2-m. 2.一元二次方程的一般形式求方程解的应用 3.若关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足条件(a-2)2+|b-3|+=0,试写出这个一元二次方程. 【解析】根据非负数的和等于零,可得每个非负数同时为零,可得a、b、c的值,根据二次项系数、一次项系数、常数项,可得答案. 解:由(a-2)2+|b-3|+=0,得 , 解得, 关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,得4x2+3x-7=0. 4.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0. (1)求m的值; (2)求此时一元二次方程的解. 【解析】(1)直接利用常数项为0,进而得出关于m的等式进而得出答案; (2)利用(1)中所求得出方程的解. 解:(1)由题意,得:m2-3m+2=0 解之,得m=2或m=1①, 由m-1≠0,得:m≠1②, 由①,②得:m=2; (2)当m=2时,代入(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0, 得x2+5x=0, x(x+5)=0 解得:x1=0,x2=-5. 3.一元二次方程的根在求字母的值的应用 5.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: x2-1=0, x2+x-2=0, x2+2x-3=0, … x2+(n-1)x-n=0. (1)请解上述一元二次方程; (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可. 【解析】(1)分别利用因式分解法解各方程; (2)根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1,另外一根等于常数项. 解:(1)x2-1=0,解得x1=1,x2=-1, x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2, x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3, …x2+(n-1)x-n=0,解得x1=1,x2=-n; (2)这n个方程都有一个根为1,另外一根等于常数项. 6.先化简,再求值: ,其中m是方程 的根. 【答案】, 【解析】先应用分式的混合运算将式子化简为;再由是方程的根可得:,即,最后将“”整体代入中可求得原式的值. 解:原式 . ∵是方程的根, ∴,即, ∴原式==. 4.实际问题中提炼一元二次方程的模型 7.已知矩形的面积是54cm2,当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后,所得四边形是正方形,若矩形的宽为xcm,则根据题意,列方程为 _. 【答案】x(x+2+1)=54或x(x+3)=54 【解析】首先理解题意找出题中存在的等量关系:长方形的面积=长 宽,根据此列方程即可. 解:这个矩形的宽为xcm,则长为(x+2+1)cm, 根据题意得:x(x+2+1)=54. ∴x(x+3)=54. 故答案为:x(x+2+1)=54或x(x+3)=54. 8.两个相邻偶数的积是168,则这两个相邻偶数中较大的数是 _. 【答案】14或-12 【解析】设这两个相邻偶数中较大的数是x,则另外一个偶数为(x-2),利用两个相邻偶数的积是168,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论. 解:设这两个相邻偶数中较大的数是x,则另外一个偶数为(x-2), 依题意得:x(x-2)=168, 整理得:x2-2x-168=0, 解得:x1=14,x2=-12. 故答案为:14或-12. 5、 牛刀小试 一、单选题(每小题4分,共32分) 1.下列方程中,是一元二次方程的是( ) A. B. ax2+bx+c=0(b≠0) C. D. 【答案】C 【解析】本题根据一元二次方程的定义求解. 一元二次方程必须满足两个条件: (1)未知数的最高次数是2; (2)二次项系数不为0; (3)是整式方程; (4)含有一个未知数. 由这两个条件对四个选项进行逐一判断即可. 解:A、错误,是分式方程; B、错误,当a=0时,是一元一次方程; C、正确,符合一元二次方程的定义; D、错误,是无理方程. 故选:C. 2.把方程x(x+2)=5x化成一般式,则a、b、c的值分别是( ) A. 1,3,5 B. 1,-3,0 C. -1,0,5 D. 1,3,0 【答案】B 【解析】一元二次方程的一般式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项;其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.把方程x(x+2)=5x化成一般式,问题可求. 解:∵x(x+2)=5x,∴x2+2x-5x=0, ∴x2-3x=0;∴a=1,b=-3,c=0. 故选:B. 3.关于x的方程是一元二次方程,则a的值是( ) A. a= 2 B. a=-2 C. a=2 D. 【答案】C 【解析】本题根据一元二次方程的定义求解. 一元二次方程必须满足两个条件: (1)未知数的最高次数是2; (2)二次项系数不为0. 由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可. 解:根据题意得,解得a=2. 故选:C. 4.方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 1,1,0 B. 0,1,0 C. 0,-1,0 D. 1,-1,0 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中,ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,直接进行判断即可. 解:方程x2-x=0的二次项系数是1,一次项系数为-1,常数项为0. 故选:D. 5.若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根,则a的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】将x=1代入方程ax2-a2x=0得到关于a的方程,然后解方程即可. 解:将x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0, 得:a-a2=0, 解得:a=0,或者a=1, ∵ax2-a2x=0是关于x的一元二次方程, ∴a≠0, ∴a=1, 故选:C. 6.已知a是方程x2-2x-2023=0的根,则代数式2a2-4a-2的值为( ) A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024 【答案】A 【解析】先根据一元二次方程解的定义得到a2-2a=2023,再把2a2-4a-2变形为2(a2-2a)-2,然后利用整体代入的方法计算. 解:∵a是方程x2-2x-2023=0的根, ∴a2-2a-2023=0, 即a2-2a=2023, ∴2a2-4a-2=2(a2-2a)-2=2 2023-2=4046-2=4044. 故选:A. 7.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( ) A. x(x-1)=10 B. =10 C. x(x+1)=10 D. =10 【答案】B 【解析】如果有x人参加了聚会,则每个人需要握手(x-1)次,x人共需握手x(x-1)次;而每两个人都握了一次手,因此要将重复计算的部分除去,即一共握手:次;已知“所有人共握手10次”,据此可列出关于x的方程. 解:设x人参加这次聚会,则每个人需握手:x-1(次); 依题意,可列方程为:=10; 故选:B. 8.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40,已知十位上的数字比个位上的数字大2.则这个两位数是( ) A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 【答案】D 【解析】可设个位数字为x,则十位上的数字是(x+2).等量关系:十位上的数字与个位上的数字的积+40=这个两位数. 解:设个位数字为x,则十位上的数字是(x+2),根据题意得 x(x+2)+40=10(x+2)+x, 整理,得x2-9x+20=0,即(x-4)(x-5)=0, 解得 x1=4,x2=5(不合题意,舍去), 当x1=4时,x+2=6,这个两位数是64; 当x1=5时,x+2=7,这个两位数是75. 答:这两位数是64或75. 故选:D. 二、填空题(每小题4分,共20分) 9.若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根,则m=_. 【答案】 【解析】把x=2代入关于的x方程x2-x+m2-5=0,得到关于m的新方程,通过解新方程来求m的值. 解:∵x=2是关于的x方程x2-x+m2-5=0的一个根, ∴22-2+m2-5=0, 解得 m= . 故答案为: . 10.写出以x1=4为一个根的一个一元二次方程 _. 【答案】x2-4x=0(答案不唯一) 【解析】根据一元二次方程解的定义,以及一元二次方程的定义即可求解. 解:依题意得x2-4x=0, 解得x1=4,x2=0, 故答案为:x2-4x=0(答案不唯一). 11.若关于的方程是一元二次方程,则_. 【答案】 【解析】一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行分析即可. 解:由关于x的方程是一元二次方程,得 |k|+1=2且k-1≠0. 解得k=-1. 故答案为:-1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 12.若关于x的方程(k-1)x|k-3|+2x=3是一元二次方程,则k的值为 _. 【答案】5 【解析】根据一元二次方程的定义即可求解. 解:依题意得:|k-3|=2且k-1≠0, 解得k=5. 故答案是:5. 13.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),满足3a-b+c=0,则方程必有一根为_. 【答案】-3 【解析】把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得9a-3b+c=0,即可得出答案. 解:当把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a-3b+c=0,即3a-b+c=0, 即方程一定有一个根为x=-3, 故答案是:-3. 三、解答题(共6小题,48分) 14.(10分)x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程,求a与b的值. 【解析】本题根据一元二次方程的定义求解.分5种情况分别求解即可. 解:∵x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程, ∴①,解得; ②,解得; ③,解得; ④,解得; ⑤,解得. 综上所述,,,,. 15.(6分)把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)2x2=1-3x (2)5x(x-2)=4x2-3x. 【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项. 解:(1)2x2=1-3x一般形式为2x2+3x-1=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1; (2)5x(x-2)=4x2-3x.一般形式为x2-7x=0,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为0. 16.(6分)若关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足条件(a-2)2+|b-3|+=0,试写出这个一元二次方程. 【解析】根据非负数的和等于零,可得每个非负数同时为零,可得a、b、c的值,根据二次项系数、一次项系数、常数项,可得答案. 解:由(a-2)2+|b-3|+=0,得 , 解得, 关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,得4x2+3x-7=0. 17.(8分)阅读与思考:阅读下面内容并完成任务. 小明同学在解一元二次方程(x-3)2=x-3时,两边同时除以x-3,得到x-3=1,于是得到原方程根为x=4;小华同学的解法是:将x-3移到等号左边,得到(x-3)2-(x-3)=0,提公因式,得(x-3)(x-3-1)=0即x-3=0或x-4=0,进而得到原方程的两个根x1=3,x2=4. 任务一:请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断; 任务二:若有不正确,请说明其理由; 任务三:直接写出方程(x-5)3-4(x-5)2=0的根. 【解析】任务一:根据解题过程即可判断; 任务二:当x-3=0时,方程的两边不能同时除以x-3. 任务三:移项后分解因式,即可得出三个一元一次方程,再求出方程的解即可. 解:任务一:小明同学的解法错误;小华同学的解法正确; 任务二:当x-3=0时,方程的两边不能同时除以x-3. 任务三:(x-5)3-4(x-5)2=0, (x-5)2(x-5-4)=0, x-5=0或x-9=0, 解得:x1=x2=5,x3=9. 18.(8分)已知a是方程的一个根,求代数式的值. 【答案】,3 【分析】根据方程根的定义,化简代入计算即可. 【详解】解: , ∵a是方程的一个根, ∴, 即. ∴原式. 【点评】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值,正确理解定义是解题的关键. 19.(10分)如图,在中,,从点为圆心,长为半径画弧交线段于点,以点为圆心长为半径画弧交线段于点,连结. (1)若,求的度数: (2)设. ①请用含的代数式表示与的长; ②与的长能同时是方程的根吗?说明理由. 【答案】(1);(2)①,;②是,理由见解析 【分析】(1)根据直角三角形、等腰三角形的性质,判断出 DBC是等边三角形,即可得到结论; (2)①根据线段的和差即可得到结论; ②根据方程的解得定义,判断AD是方程的解,则当AD=BE时,同时是方程的解,即可得到结论. 【详解】解:(1)∵, , 又, 是等边三角形. . (2)①∵ 又, . ②∵ ∴线段的长是方程的一个根. 若与的长同时是方程的根,则, 即, , , ∴当时,与的长同时是方程的根. 【点评】本题考查了勾股定理,一元二次方程的解;熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法,掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第01讲 一元二次方程 1、 学习目标： 1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程. 2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称. 3.能说出什么是一元二次方程的解（根） 二、老师告诉你 判别一元二次方程的“两方法” 1.根据定义要把握三点： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2.根据一般形式要把握两点： ①化成ax²+bx+c=0的形式，且a≠0，b,c都可以为0 ②判断其是否一元二次方程与其有解无解无关。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【新知导学】 例1-1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0 例1-2．关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0 【对应导练】 1．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 以上选项都不对 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ 　　） A. x2﹣x（x+3）＝0 B. ax2+bx+c＝0 C. x2﹣2x﹣3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0 知识点2.一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 （1）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【新知导学】 例2-1．一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，1，5 B. 2，1，-5 C. 2，0，-5 D. 2，0，5 例2-2．将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（　　） A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3 【对应导练】 1．将方程2x2-3x=1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2、-3、-1 B. 2、3、1 C. -2、-3、1 D. -2、3、-1 2．一元二次方程（4x+1）（2x-3）=5x2+1化成一般式后a,b,c的值为（　　） A. 3，-10，-4 B. 3，-12，-2 C. 8，-10，-2 D. 8，-12，4 3．关于x的一元二次方程x2+2（2a-1）x+5+a=0的二次项系数是1，一次项系数为4，则常数项为 _____． 知识点3.一元二次方程的根 使方程两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 【新知导学】 例3-1．若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1 例3-2．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，则代数式2a2-4a-2的值为（　　） A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024 【对应导练】 1．下列各数中是一元二次方程x2-2x-3=0的解的是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x=3 D. x=-3 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　） A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3 知识点4.建立一元二次方程模型 1、 完整地系统审清题意; 2、 把握住问题中的等量关系; 3、 正确地用代数式表示其等量关系. 【新知导学】 例4-1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A. x（x+1）=45 B. C. x（x-1）=45 D. x（x+1）=45 例4-2．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）=56 B. x（x-1）=56 C. 2x（x+1）=56 D. x（x-1）=56×2 【对应导练】 1．已知矩形的面积是54cm2，当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为xcm,则根据题意，列方程为 _____． 2．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 _____． 4、 题型训练 1.利用一元二次方程的定义求字母的值 1. 已知关于x的方程（k+1）+（k-3）x-1=0 （1）当k取何值时，它是一元一次方程？ （2）当k取何值时，它是一元二次方程？ 2．求关于x的一元二次方程m2-3mx+m（2x2-1）=（m+1）x的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项． 2.一元二次方程的一般形式求方程解的应用 3．若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程． 4．已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0． （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 3.一元二次方程的根在求字母的值的应用 5．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2-1=0， x2+x-2=0， x2+2x-3=0， … x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 6．先化简，再求值： ，其中m是方程 的根． 4.实际问题中提炼一元二次方程的模型 7．已知矩形的面积是54cm2，当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为xcm,则根据题意，列方程为 _____． 8．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是 _____． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c=0（b≠0） C. D. 2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　） A. 1，3，5 B. 1，-3，0 C. -1，0，5 D. 1，3，0 3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A. a=±2 B. a=-2 C. a=2 D. 4．方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0 5．若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1 6．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，则代数式2a2-4a-2的值为（　　） A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024 7．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. x（x-1）=10 B. =10 C. x（x+1）=10 D. =10 8．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根，则m=_____． 10．写出以x1=4为一个根的一个一元二次方程 _____． 11．若关于的方程是一元二次方程，则________． 12．若关于x的方程（k-1）x|k-3|+2x=3是一元二次方程，则k的值为 _____． 13．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足3a-b+c=0，则方程必有一根为_____． 三、解答题（共6小题，48分） 14．（10分）x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 15．（6分）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x. 16．（6分）若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程． 17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务． 小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4． 任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断； 任务二：若有不正确，请说明其理由； 任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根． 18.（8分）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 19.（10分）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结． (1)若，求的度数： (2)设． ①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$