1.3 向量的数乘课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.3　向量的数乘 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则,理解其几何意义. 2.理解两个平面向量共线的含义. 3.理解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　向量的数乘 1.向量的数乘的定义 一般地,实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,称为a的λ倍,它的长度|λa|=|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时,λa的方向如下: ①当λ>0时,与a同向; ②当λ<0时,与a反向. (2)当λ=0或a=0时,λa=0a=________或λa=________=0.  求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 0 λ0 2.向量的数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小. 3.向量的线性运算: 我们把向量的________________运算统称为向量的线性运算.  加法、减法、数乘 名师点睛 对向量的数乘的理解 (1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义. (2)若λa=0,则λ=0或a=0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(　　) (2)当λ>0时,|λa|=λa.(　　) (3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　　) 2.已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a 和向量2a-3b. × × × 解 作法如图所示. 向量-2.5a的长度是向量a的长度的2.5倍,方向与a相反. 知识点2　共线向量 1.定义:当非零向量a,b方向相同或________时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行),记作a∥b.  我们规定:零向量与所有的向量平行. 2.两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa或a=λb. 该结论通常称为共线向量基本定理 3.向量a,b的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作 ,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作<a,b>. 找两向量夹角时,需通过平移使两向量起点重合 相反 名师点睛 1.向量夹角的说明 (1)夹角的取值范围规定为[0,π]. (2)<a,b>=<b,a>. (3)当θ=0时,a,b方向相同;当θ=π时,a,b方向相反;特别地,当θ= 时,a与b垂直,记作a⊥b. (4)可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为 ,零向量与任一向量垂直. 2.对向量平行的理解 (1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合. (2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等、方向相同模不等、方向相反模相等、方向相反模不等. (3)任一向量a都与它本身是平行向量. 过关自诊 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若向量a和b共线,则必有b=λa.(　　) (2)若向量 共线,则A,B,C,D四点共线.(　　) (3)a∥b,c∥b,则a∥c.(　　) × × × 知识点3　共线向量的运算 1.单位向量 我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度. 对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量 . 2.共线向量的运算 一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致. 于是,实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系. 过关自诊 1.已知向量a=-2e,b= e(e为单位向量),则向量a与向量b(　　) A.不共线 B.方向相反 C.方向相同 D.|a|>|b| B 2.若单位向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有________.(填序号)  ①a=2e1,b=-2e1; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2. ①②③ 解析　①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线; ③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线. 知识点4　数乘运算律 1.________=x a+y a.  2.x(y a)=________.  3.x(a+b)=________.  名师点睛 向量的运算律的理解 要清楚向量数乘与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数. (x+y)a (xy)a xa+xb 过关自诊 (多选题)[2023贵州黔西高一期中]已知实数m,n和向量a,b,下列结论正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n ABD 解析　易知A,B正确; 对于C,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误; 对于D,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正确.故选ABD. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 向量的线性运算 规律方法　向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量. A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b B 探究点二 共线向量基本定理及其应用 角度1.向量共线的判定 【例2】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量). (1)a=5e1,b=-10e1; (3)a=e1+e2,b=3e1-3e2. 解 (1) ∵b=-2a, ∴a与b共线. (2)∵a= b,∴a与b共线. (3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2), ∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0. ∵e1与e2是两非零不共线向量, ∴1-3λ=0,1+3λ=0. 这样的λ不存在,因此a与b不共线. 规律方法　向量共线的判定一般是用共线向量基本定理.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. 角度2.用已知向量表示未知向量 C 解析　由题意可得, 规律方法　用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量再进行求解. 角度3.三点共线问题 A,B,D 角度4.求参问题 A C 探究点三 向量线性运算的综合应用 D C 所以点P在边CA上,且是靠近点A的三等分点,所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. B B 对共线向量的条件理解不清致误 【典例】 已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线. 错解若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),则3e1+2e2=3λe1-2λe2, 即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2, 错解错在什么地方,你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示错解中对向量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且λe1=μe2时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的. 正解①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线. ②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,于是3e1+2e2= (3e1-2e2),这时3e1+2e2与3e1-2e2共线. 规律方法　要注意结论“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 等腰梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以O为起点,分别作=2a,=3b,连接BA, 则=2a-3b. =a,=b e=a 解析　因为a=-2e,b=e,所以a=-b,故向量a与向量b方向相反.故选B. ③a=4e1-e2,b=e1-e2; 【例1】 化简下列各向量表达式: (1)3(6a+b)-9; (2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); (3). 解 (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. (3)原式=a-b)=a-b. 变式训练1(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是(　　) 解析　原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=-a+2b=2b-a. (2)a=e1-e2,b=3e1-2e2; 【例3】 如图,在△ABC中,BD=2DC.若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b )=a+b. 变式训练2如图,四边形OADB是以OA,OB为邻边的平行四边形,=a, =b,对角线交于C,又,试用向量a,b表示. 解 ∵=a-b, ∴(a-b), ∴=b+(a-b)=a+b. ∵, ∴)=(a+b)=a+b. ∴a-b. 【例4】 (1)已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+2e2,=-5e1+6e2, =7e1-2e2,则共线的三个点是________.  解析　∵=e1+2e2,=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2, ∴共线,且AB,BD有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)[人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,=a+b, =a+2b,=a+3b.求证:A,B,C三点共线. 证明 因为=a+2b-(a+b)=b,=a+3b-(a+b)=2b, 所以=2. 因此,A,B,C三点共线. 规律方法　证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等). (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 【例5】 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=(　　) A. B. C.- D.- 解析 (方法1)由=2=2(), 即,所以λ=. (方法2)因为)=,所以λ=. 变式训练3在△ABC中,点D在BC边上,且=4=r+s,则3r+s的值为(　　) A. B. C. D. 解析　∵=4, ∴,即, ∴r=,s=-,∴3r+s=. 角度1.求解三角形的面积比 【例6】 设O为△ABC内部的一点,且+2=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为(　　) A. B. C.2 D.1 解析　如图所示,取AB的中点D,连接OD. ∵+2=0, ∴=2=2, 则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等. ∵OC边为公共边,∴△AOC,△BOC的面积相等.故选D. 变式训练4在△ABC所在的平面上有一点P,满足,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A. B. C. D. 解析　因为, 所以=2, 角度2.解决三角形的四心问题 【例7】 O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析　题中向量式中有两共起点的向量,于是可利用移项得,从而将向量式中的点O去掉. ∴=λ.令,则是以A为起点,向量所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量,即在∠BAC的平分线上. ∵=λ,∴共线. ∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 变式探究若将本例中的条件“+λ(),λ∈[0,+∞)”改为“+λ(),λ∈[0,+∞)”,则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 解析　由+λ(),λ∈[0,+∞),得=λ(),则与△ABC中边BC的中线共线,又由λ∈[0,+∞),知点P的轨迹通过△ABC的重心. 规律方法　1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点.内心到三角形三边的距离相等. 2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心、三角形三条边的中垂线的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足||=||=||,则点M为△ABC的外心. 3.三角形的垂心:三角形三条高线的交点. 4.三角形的重心:三角形三条中线的交点.若G是△ABC内一点,且满足=0,则G是△ABC的重心. 于是λ无解,所以不存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),故两个向量不共线. 1.(多选题)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.(-a-b) B.=-b C.(b-a) D.=a+b 解析 因为=a,=b, 所以=-b-a,=-b, 所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a).故选AC. 2.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上靠近点B的一个三等分点,那么=(　　) A. B. C. D. 解析 . 3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析 ∵向量=2a+4b,=a+2b, ∴=2,即A,B,D三点共线. 4.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　) A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3 解析 取AC的中点M(图略),则由+3=0,得2=-3,所以2|OM|=3|OB|,点O在线段BM上.因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1∶3. 5.[2023河南高一]化简:(2a-b)-3(a+b)+2(a-2b)=________. 2a- (2a-b)-3(a+b)+2(a-2b)=a-b-a-3b+2a-4b=2a-b. - 由向量共线可得a+λb=k(b-3a), 即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b. ∵a,b不共线,∴解得λ=-. 7.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是____________. 解析 由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形. 证明 ∵D为MC的中点,且D为AB的中点, ∴.∴. 同理可证明.∴=-. ∴共线,又有公共点A. ∴M,A,N三点共线. 9.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(a-b)-(a-b)+(2b-a); (2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y. 解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b. ∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j. (2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b. ∴y=3x-b=3-b=a-b. 10.(多选题)[2023吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是(　 　) A.=2 B. C.=3 D.A,B,C三点共线 解析 由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b, ∴=2,故A正确;,故B正确;=2,故C错误; 由=2可得∥ ,故A,B,C三点共线,故D正确. 故选ABD. 11.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且=m+n(m,n∈R),则的最小值是(　　) A.3 B.3+2 C.4 D.4+2 12.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈ R,则λ+μ=________. 13.在△ABC中,P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值. 解∵, ∴3=2,即2-2. ∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示. ∵A,M,Q三点共线, ∴设=x+(1-x)+(x-1), 又,∴. 又,且=t, ∴=t. ∴解得t=. 14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b. (1)用向量a与b表示向量; (2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由. 解(1)∵=a,=b,A是BC的中点,∴=-a. ∴=-a-b. (2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使=λ. ∵=a+b+(-b)=a+b, )=2a+(-a+b)=a+b, ∴a+b=λ,∴此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足=λ. ∴C,D,E三点不共线. 15.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示. 解 因为=b-a,(b-a), 所以a+b. 因为(a+b),所以(a+b), 所以(a+b)-b=a-b. $$