1.4.1 向量分解及坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.4.1　向量分解及坐标表示 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.理解并掌握平面向量基本定理,会用基表示平面向量. 2.掌握平面向量的正交分解以及坐标表示. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 设e1,e2是平面上两个________向量,则  (1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. (2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'. 不共线 名师点睛 对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v. (2)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0. 2.基与坐标 我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的________.取定了平面上一组基{e1,e2}之后,可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标表示,记作v=(x,y).  坐标 名师点睛 对基与坐标的理解 (1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用一组基表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题. (2)基不唯一,同一平面可以有不同的基,且组成基的向量不能共线(零向量不可以作为基中的向量).同一非零向量在不同基下的分解式是不同的. 过关自诊 1.若e1,e2组成平面内的一组基,则下列四组向量能组成平面向量的基的是 (　　) A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2 D 解析　e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基,另外三组向量都共线,不能组成基. 2.[北师大版教材习题]已知基{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值. 知识点2　平面向量的正交分解与坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个互相________的向量,叫作把向量正交分解.  标准正交基:平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}. 2.向量坐标公式:设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r且<e1,v>=α,则v=(rcos α,rsin α). 垂直 名师点睛 在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系.由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在平面直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象. 过关自诊 1.正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(组成基的两个向量互相垂直). 2.在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是________,________,________.  (2,-6)　 (0,5)　 (-4,0) 重难探究•能力素养全提升 探究点一 对平面向量基本定理的理解 【例1】 给出下列说法: ①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示; ②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ③若向量e1,e2是一组基,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基. 其中正确说法的序号是________.  ③ 解析 ①错误.零向量也可以用一组基来线性表示. ②错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以. ③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基. 规律方法　平面向量基本定理的四个要点 (1)不共线的向量e1,e2; (2)平面内的任意向量v; (3)存在唯一一对实数x,y; (4)v=xe1+ye2. A.①② B.①③ C.①④ D.③④ B 探究点二 平面向量基本定理的应用 规律方法　用基表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解. 探究点三 平面向量的坐标表示 【例3】 已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b在基{i,j}下的坐标. 解 因为a=3i-2j,b=-i+5j, 所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b在基{i,j}下的坐标为(-1,18). 规律方法　求平面向量坐标的方法 (1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a在基{i,j}下的坐标即为(x,y). (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选题)设{i,j}为一组标准正交基,则关于a在基{i,j}下的坐标的说法,其中不正确的是(　 　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) BCD 解析 由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)求证:{a,b}可以作为一组基; (2)以{a,b}为基,求向量c=3e1-e2的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成一组基{i,j},对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a在基{i,j}下的坐标为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 由平面向量基本定理,得解得 变式训练1如图,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,有下列向量组:①;②;③;④.其中可组成该平面内的所有向量的基的是(　　) 解析　∵不共线,不共线, ∴①③可以组成基,其他两组分别共线,故不可以,选B. 【例2】 在△ABC中. (1)若D是BC边的中点,试用表示 ; (2)若E是BC边上一点,且,试用表示. 解 (1)(方法1)如图,因为,所以2.因为D是BC边的中点,所以=0, 因此2,故. (方法2)因为,而),所以)=. (2)如图,因为,而), 所以)=. 变式训练2[2023江苏高一专题练习]如图,在平行四边形OADB中,设向量=a,=b,点M,N是对角线AB上的两点,且BM=MN=BA,试用a,b表示. 解)+a+b, )=a+b. 变式训练3设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>=90°,e1,e2的方向分别为x轴、y轴的正方向,O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°.求向量在基{e1,e2}下的坐标. 解 设点A(x,y),则x=4cos 60°=2,y=4sin 60°=6, 即A(2,6),=(2,6). 解析 因为向量e1与e2不共线, 所以解得 2.在△ABC中,,EF∥BC,EF交AC于点F,设=a,=b,则等于(　　) A.-a+b B.a-b C.a-b D.a+b 3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　) 5.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________. 6.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基来表示=________,=________. e1+e2 e1+e2 =e1+(e2-e1)=e1+e2, (e2-e1)=e1+e2. (1)证明 假设a,b共线,则a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一组基. (2)解 设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得 故c=2a+b,即c=(2,1). 8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)求证:B,E,F三点共线. (1)解 如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b, (a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a). (2)证明 由(1)知,,∴共线. 又有公共点B,∴B,E,F三点共线. 9.如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n=(　　) A. B. C. D.1 () 解析 由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=(). 11.[2023湖北襄阳高一]如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=a,=b. (1)用向量a,b表示; (2)若3,连接DF并延长,交AC于点E,=λ,=μ,求λ和μ的值. 解(1)因为2, 所以2()=,即3=2, 所以a+b. (2)若=λ,=μ,则=μ=λ, 所以=λ(), =(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb. 由于a+b,所以4(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=. 12.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部. 证明 由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则=1.设P'为平面内一点,且,则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).因为=x+y=t,t∈(0,1), 即点P在线段OP'上(异于端点), 所以点P必在△OAB内部. $$