1.5.1 数量积的定义及计算课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.5.1　数量积的定义及计算 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握平面向量数量积的运算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　数量积的定义 1.数量积定义:设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=________________________为a与b的数量积.  2.两个向量的垂直关系 由平面向量夹角的定义可知,<a,b>=α的取值范围为[0,π].由数量积定义可知: a·b=0⇔________或________或________.  (1)当a,b均不为0时,a·b=0⇔________⇔________⇔a⊥b.  (2)当a=0或b=0时,由于________与任意向量垂直,因而仍有a⊥b.  因此,a·b=0⇔a⊥b对所有情形均成立. a·b=0为a⊥b的充要条件 |a||b|cos<a,b> |a|=0 　|b|=0 　cos α=0 cos α=0 零向量 名师点睛 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、向量数乘的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示. 过关自诊 1.两个向量的数量积结果是向量还是数量? 提示 是数量. -2 8 知识点2　投影 1.投影向量与投影长 投影向量 名师点睛 1.投影向量可类比物理上力做功问题中力在位移方向上的分力; 2.由投影与数量积的关系可得b在a方向上的投影|b|cos α的公式:|b|cos α= . B 2.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b上的投影为________.  3.若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a上的投影为________.  知识点3　平面向量数量积的运算律 交换律 ________________ 与数乘的结合律 ________________ 分配律 ________________ 名师点睛 1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c b=c. 2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c 表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量. a·b=b·a a·(λb)=λ(a·b) a·(b+c)=a·b+a·c A 重难探究•能力素养全提升 探究点一 求平面向量的数量积 角度1.数量积的简单计算 【例1】 [北师大版教材习题]已知|a|=4,|b|=2,求分别在下列条件下a·b的值. (1)<a,b>=120°; (2)a⊥b; (3)a∥b. (2)a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a,b方向相同时,a·b=|a||b|cos 0°=4×2=8. 当a,b方向相反时,a·b=|a||b|cos 180°=-4×2=-8. 规律方法　求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. -1 探究点二 求向量的投影 【例3】 如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求: 解 如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°, 所以△ABC是等腰直角三角形. 又因为D是BC边的中点, 所以AD⊥BC,∠ABD=45°, 规律方法　向量的投影的求解策略 求向量的投影要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共起点”. A 探究点三利用数量积解决向量的夹角与垂直问题 【例4】 (1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析　因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0, 所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ, 则2|a||b|cos θ+|b|2=0. 又|a|=|b|,所以2|b|2cos θ+|b|2=0, (2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角. 变式探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值. 解 因为(a+2b)⊥(ka-b), 所以(a+2b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0, 规律方法　求平面向量夹角的方法 (1)求向量的夹角,主要是利用公式cos θ= 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解. (2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解. 答案 B 答案 A 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(　　) A.9 B.0 C.-3 D.-9 解析 由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有(　　 ) A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a,b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(　　 ) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 ACD 解析 根据向量数量积的分配律知,A正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边, 所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确; 根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 14.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. α= 2.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角是 135°,则a·b=________.  3.△ABC是边长为4的等边三角形,则=________.  解析　a·b=|a||b|cos 135°=2×=-2. 解析　=||||cos∠BAC=4×4×cos 60°=8. 如图,作=a,=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,我们把称为方向上的________,投影向量的长度||=________　称为投影长.  |||cos α| 2.投影与数量积的关系 (1)投影:________刻画了投影向量的大小和方向,称为方向上的投影.  (2)一般地,a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积. ||cos α 过关自诊 1.已知|b|=3,a在b方向上的投影是,则a·b为(　　) A.3 B. C.2 D. 解析　a·b=|a||b|cos<a,b>=3×. - 解析　向量a在向量b上的投影为|a|cos θ=3×cos 120°=-. - 解析　向量b在向量a上的投影为=-. 过关自诊 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)=(　　) A. B.- C.- D. 解析　(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2-3+1×. 解 (1)a·b=|a||b|cos<a,b>=4×2×(-)=-4. 角度2.几何图形中向量数量积的计算 【例2】 在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=________.  解析　∵AD∥BC,且∠DAB=30°, ∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∴∠AEB=120°. 在△AEB中,EA=EB=2,=()·()=-||2+=-12+2×2×cos 30°+5×2×cos 30°+5×2×cos 180°=-22+6+15=-1. 规律方法　平面向量的数量积在平面几何中的应用 (1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量. (2)向量的夹角是由向量的方向确定的,在△ABC中,的夹角不是∠C,∠A,∠B,而是它们的补角. 变式训练1(1)如图所示,已知☉O为△ABC的外接圆,AB=6,BC=7,CA=8,则=　 .  - 解析=||||cos(180°-∠BAO)=-|2, 同理,=-|2,=-|2, ∴=-×(62+72+82)=-. (2)[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,求a·b. 解 a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos=5×4×(-)=-10. (1)上的投影; (2)上的投影. 所以BD=2.延长AB到E, 则的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.因此, (1)上的投影是||cos 135°=4×=-2. (2)上的投影是||cos 135°=2=-2. 变式训练2已知△ABC外接圆的圆心为O,半径为2,=0且||=||,则向量上的投影为(　　) A. B.3 C. D.2 解析　如图, ∵=0, ∴=0,∴. ∴四边形ABOC为平行四边形. 又O为△ABC外接圆的圆心,且||=||=2, ∴△OAB是边长为2的正三角形,∴平行四边形ABOC是边长为2的菱形且∠ABO=60°.∴||=2,∠ACB=30°,故向量上的投影为||cos∠ACB=2×cos 30°=. 因此cos θ=-,从而θ=120°.故选C. 解 如图,在平面内取一点O,作=a,=b,使||=||, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, ∴四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,这时=a+b,=a-b. 由于|a|=|b|=|a+b|, 即||=||=||, ∴∠AOC=60°,即a与a+b的夹角为60°. ∵∠AOC=60°,∴∠AOB=120°.又||=||, ∴∠OAB=30°,即a与a-b的夹角为30°. 所以k|a|2+|a|2-2|a|2=0, 化简得k+-2=0,解得k=. 利用向量的数量积判断几何图形的形状 【例1】 若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析-2,于是||=||, 所以||2=||2,即=0,从而AB⊥AC. 故△ABC为直角三角形. 【例2】 若O为△ABC的内心,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 解析-2=()+()=,所以由()·(-2)=0得()·()=0,即||2=||2,所以||=||,故△ABC为等腰三角形. 规律方法　能够将2拆成,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息. 2.已知正方形ABCD的边长为3,=2,则=(　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为(　　) A. B.1 C. D.2 解析 设AB的长为a,因为, 所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2. 解析 因为向量a+kb与a-kb互相垂直, 所以(a+kb)·(a-kb)=0⇒a2-k2b2=0⇒9-16k2=0⇒k=±.故选D. 4.已知a,b是非零向量,且a,b不共线,|a|=3,|b|=4,若向量a+kb与a-kb互相垂直,则实数k的值为(　　) A.±2 B.± C.± D.± 解析 ∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角), ∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1, ∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确. 若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确. 设=a,=b,当a⊥b时,以AB,AD为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以AB,AD为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确. 当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|. 故D错误. 6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是________. 7.[人教A版教材习题]如图,在☉C中,是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度,就可以求出的值? 解 只与弦AB的长度有关,与半径无关.理由如下:设☉C的半径为r,AB的长度为2a,取AB的中点D,连接CD(图略),则CD⊥AB.在Rt△ACD中,AD=a, AC=r,cos∠CAD=,所以=2a·r·cos∠CAD= 2ar·=2a2. 8.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1. (1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|; (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ. 解 (1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5, 所以|a+b|=. (2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0. 所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1,所以cos θ=. 又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为. 9.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=(　　) A.2 B. C. D. 解析 因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为, 所以a·b=1×2×=1,则|a+b|=.故选D. 11.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a·(a-b)=,则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析 因为|a|=|b|=1,a·(a-b)=,即a2-a·b=,|a|2-|a||b|cos<a,b>=,求得cos<a,b>=,所以向量a与b的夹角为.故选B. 12.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状? 解 ∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2, 即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2, 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ① 同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ② ①-②,得|b|2=|d|2, ①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形. ∵,∴a=-c.又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0, ∴.故四边形ABCD为正方形. 13.[人教A版教材习题]如图,在△ABC中,AD=AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设=a,=b. (1)用a,b表示. (2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论. 解 (1)a-b,a. (2)CD⊥EF.证明如下: 设AC=m,则AB=2m,EF=m. =(a-b)·a=a2-a·b=×(2m)2-×2m×m×cos 60°=m2-m2=0. 所以,所以 CD⊥EF. A. B. C. D. 解析 由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A. 解 根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2. 而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2, ∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ. 则cos θ=.∴θ=30°. 故a与a+b的夹角为30°. $$