1.5.2 数量积的坐标表示及其计算课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.能用坐标表示平面向量数量积,会表示两个向量的模、夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　数量积的坐标表示 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积的坐标表达式为a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2. 过关自诊 若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=________.  8 解析　a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8. 知识点2　计算公式 1.向量的长度 (1)a·a=|a|2. 3.垂直条件 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 名师点睛 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2), a∥b⇔a1b2-a2b1=0;a⊥b⇔a1b1+a2b2=0. 这两个结论容易混淆,可分别简记为“纵横交错积的差为零,横横纵纵积的和为零”. 过关自诊 1.设a=(-2,3),则|a|=________.  2.若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x=_______________.  3.[北师大版教材例题]已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值. 1 解析　因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 数量积的坐标运算 角度1.数量积的基础坐标运算 【例1】 [苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 解 因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 角度2.数量积的坐标运算在几何图形中的应用 5 规律方法　数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先将向量用基表示,再利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. B C 【例3】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量. 探究点二 利用坐标运算解决模的问题 [0,4] 【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小. 探究点三 利用坐标运算解决夹角与垂直问题 解 (1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3. 故b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为θ, 变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值. 向量夹角的综合问题 【典例】 已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是(　　) 答案 B 规律方法　对非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角⇔cos θ>0,且cos θ ≠1⇔a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角⇔cos θ<0,且cos θ≠-1⇔a·b<0,且a≠mb(m<0);θ为直角⇔cos θ=0⇔a·b=0. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=________. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[2023河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1). (1)求a+2b的坐标与|a-b|; (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 9.[2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 [2,6] 解析 以边AB所在直线为x轴,边AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a=(x,y),则|a|=. 2.夹角余弦值 根据两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)数量积的定义,得到计算两向量夹角余弦值的公式为cos<a,b>=. 解析　|a|=. 解 设向量a与b的夹角为θ, 则cos θ=. 【例2】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且DM=MC,BN=BC,则=________.  解析　(方法1)·()=0+×22+×32+0=5. (方法2)以A为原点,AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略), 则A(0,0),M(1,2),N(3,1), 于是=(1,2),=(3,1),故=5. 变式训练1(1)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是边BC上一动点,则=(　　) A.2 B.-2 C.4 D.无法确定 解析　(1)因为=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3), 所以=1×(-3)+1×3=0. (2)(方法1)·()=, ∵∠ABC=90°,∴=0, ∴=4. (方法2)以B为原点,以的方向为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图. 则B(0,0),A(2,0),设D(0,y), 所以=(-2,0),=(-2,y), 得=(-2,0)·(-2,y)=4. 解 (1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|=. (方法2)因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|=,|b|=,a·b=1. 于是|a-2b|= = =. (2)因为a=(1,2),所以|a|=. 因此与a垂直的单位向量的坐标是±(2,-1), 即. (3)因为b=(3,-1),所以|b|=, 因此与b平行的单位向量的坐标是±b, 即. 规律方法　1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. 2.与已知向量垂直或平行的单位向量 (1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±·(x0,y0); (2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±·(-y0,x0). 变式训练2[2023浙江余姚期中]已知a=(1,),b=(cos θ,sin θ),则|a+2b|的取值范围是________.  解析　因为a=(1,),b=(cos θ,sin θ), 所以a+2b=(1+2cos θ,+2sin θ), 所以|a+2b|=, 当sin=1时,|a+2b|max=4; 当sin=-1时,|a+2b|min=0. 故|a+2b|的取值范围是[0,4]. 则cos θ==-. 因为θ∈[0,π],所以θ=,即m,n的夹角为. 解 由已知得c=(4,-3), 所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3), 于是(c+td)·d=4t+8+t-3=5t+5,|d|=, |c+td|=, 因此可得,解得t=-3或t=1, 但当t=-3时,<0不合题意,舍去,故t=1. 规律方法　解决向量夹角问题的方法 先利用平面向量的坐标表示求出两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再由cos θ=求出cos θ,也可由坐标表示cos θ=直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. A.(-2,+∞) B. C.(-∞,-2) D.(-2,2) 解析 当a与b共线时,2k-1=0,k=,此时a,b方向相同,夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角,则有a·b>0且a,b不同向.由a·b=2+k>0,且k≠,得k>-2,且k≠,即实数k的取值范围是. 1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论不正确的是( 　　) A.|a|=|b| B.a·b= C.a∥b D.a-b与b垂直 解析 A项,|a|=1,|b|=,故|a|≠|b|; B项,a·b=1×+0×; C项,1×≠0×; D项,a-b=,(a-b)·b==0,故a-b与b垂直. 2.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析 由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. 3.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析 如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2). 故=(1,2)·(0,2)=0+4=4. 4.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　) A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] 5.[2023四川模拟]已知向量a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的 夹角为________. 解析 a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2, 则x+1=-2,解得x=-3, 故a+b=(-1,), 则cos<a+b,b>==-, 又<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=. 解析 a·b=-1+3y,|a|=,|b|=, ∵a与b的夹角为45°, ∴cos 45°=. 解得y=2或y=-(舍去). 解 (1)a=(-1,2),b=(3,-1), 则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3), 所以|a-b|==5. (2)a=(-1,2),a-b=(-4,3), 则a·(a-b)=10,|a|=, 故cos<a,a-b>=. (1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴=(1,1),=(-3,3).又=1×(-3)+1×3=0,∴,∴AB⊥AD. (2)解 ∵,四边形ABCD为矩形,∴. 设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4). 又=(1,1),∴解得 ∴点C的坐标为(0,5). ∴=(-2,4),=(-4,2), ∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ= .故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为. 解析 ∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1), 则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B. 10.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为(　　) A.3 B.5 C.7 D.8 11.[2023北京西城校级期中]已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则的最小值为_______. 解析 已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则·()=4+2cos θ,又cos θ∈[-1,1],则∈[2,6],即的最小值为2. 12.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于点D的任意一点. (1)求的值; (2)判断的值是否为一个常数,并说明理由. 解 (1)以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A, 此时=(-10,0), 所以=-×(-10)+×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时, 所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数. 13.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R). (1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值. (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由. 解 (1)当α=时,b=,a·b=, ∴|m|=,∴当t=-时,|m|取得最小值. (2)存在.假设存在满足条件的实数t. 由条件得cos, ∵a⊥b,∴|a-b|=,|a+tb|=, (a-b)·(a+tb)=5-t,∴. ∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=. ∴存在t=满足条件. 14.已知△ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=90°,=3,若P是边BC上的动点,则 的取值范围是________. ∵AB=AC,BC=4,∠BAC=90°, ∴AB=AC=2,∴B(2,0),C(0,2). ∵=3,∴=3(), ∴=(). 设P(x,y),则x+y=2,0≤y≤2. 则x+y=(x+3y)=(2y+2)=(y+)∈[2,6]. 15.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x).若m⊥n,求tan x的值. 解 ∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n, ∴m·n=sin x-cos x=0, 即sin x=cos x,∴tan x==1. $$